5º Desafío matemático de El País: Un PAIS de palillos.


Ya está aquí el 5º desafío matemático de El País; en este caso sobre juegos de estrategia ganadora.

El quinto desafío de EL PAÍS, con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española, lo presenta Fernando Corbalán, catedrático de matemáticas y subdirector de DivulgaMAT. Nuestros lectores tienen hasta las 00.00 horas del martes 19 de abril para presentar sus soluciones. En esta ocasión el reto consta de dos preguntas. Las soluciones deben enviarse al correoproblemamatematicas@gmail.com (Nota: hemos cambiado de correo para facilitar el acceso de los profesores a las soluciones).

En todo caso, las respuestas que lleguen al correo antiguo serán reenviadas a la nueva dirección. Como esta semana hay dos preguntas habrá dos premios. Sortearemos un lote de libros de matemáticas entre los acertantes de la primera cuestión (más fácil) y la biblioteca completa que ofrece cada domingo EL PAÍSentre quienes acierten las dos. Esta semana en el quiosco, La secta de los números, de Claudi Alsina por 9,95 euros con el periódico.

Para aclarar cualquier duda y en atención también a nuestros lectores sordos incluimos por escrito el problema por escrito.

Presentamos dos juegos y se trata de encontrar qué estrategia ganadora tienen, esto es el procedimiento para ganar siempre, por muy hábil que sea nuestro rival. La estrategia puede ser del jugador que mueve primero o del segundo, eso también hay que averiguarlo. Obviamente, si el primer jugador tiene estrategia ganadora, no la tendrá el segundo. Para ambos juegos formamos la palabra PAIS con palillos de la forma en que se ve la imagen de arriba o el vídeo.

Primer juego: Por turnos, cada jugador retira uno, dos o tres palillos del dibujo. Gana el que retira el último palillo, esto es, el que deja la mesa vacía.

Segundo juego: Por turnos, los jugadores retiran el número que quieran de palillos pero siempre de la misma letra (de la P, de la A, de la I o de la S). Gana también el que retira el último palillo.

Se trata, como decíamos de hallar la estrategia ganadora en ambos juegos (el modo de ganar seguro) precisando si la tiene el jugador que abre el juego o el segundo.

37 comentarios

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37 Respuestas a “5º Desafío matemático de El País: Un PAIS de palillos.

  1. A primera vista parece bastante asequible, pero ya lo veremos cuando tengamos un ratillo…

    • Jesus

      Solucion sin complejidades matematicas:
      Estrategia juego 1: Gana siempre jugador 1
      ——————————————
      Se trata de hacer grupos de 4 desde la situacion final (si le dejamos 4 al segundo jugador ganamos seguro).
      Como son 19=4+4+4+4+3
      – Jugador 1 toma 3 palillos
      – Cada vez que le toca al jugador 1, toma tantos palillos como 4-tomados
      por jugador 2 (si 1, tomo 3, si 2 tomo 2, si 3 tomo 1)
      Los grupos de 4 van desapareciendo hasta que quedan 4 lo que es una
      jugada ganadora.

      Estrategia juego 2: Gana siempre jugador 1
      ——————————————
      Este ha sido mas “divertido” (y si, es una variante del famoso juego de Nim, pero no hacen falta ni binarios ni XORs para resolverlo)
      Se trata de mantener “columnas” de palillos equilibradas dos a dos.
      Como partimos de 4-5-5-5
      – Jugador 1 toma 1 palillo de una de 5 (por simplicidad 4-4-5-5). Eso
      crea dos parejas de columnas “espejo” (4-4 y 5-5)
      – Cada vez que le toca al jugador 1, toma tantos palillos de la columna
      “espejo” como los tomados por el jugador 2, es decir, si toma 2 de la
      segunda (4-2-5-5),equilibramos en la primera (2-2-5-5), o si toma de la
      cuarta (4-4-5-3),equilibramos con la tercera (4-4-3-3) o si toma todos
      de la 4 (4-4-5-0) equilibramos con la tercera (4-4-0-0)… etc

      Eso garantiza que las columnas “espejo” se van cancelando entre si y el
      jugador 1 tomara el ultimo palillo.

  2. jabon

    El primero me ha costado un pelín más. Al principio me he despistado por un camino que no conducía a nada.
    El segundo me ha parecido una chorrada. Volveré a ver el vídeo porque este lo veo demasiado fácil.
    Creo que no es bueno dar ninguna pista a estas alturas.

  3. Bueno, el primero es realmente fácil; el segundo… ya veremos.

  4. Keith

    Es una pena que el problema de esta semana no sea original. Es un antíguo juego cuya solución matemática fue dada en 1901. Esto me quita las ganas de enviar la solución. Para mi, los problemas matemáticos se deben resolver pensando y no copiándolos de wikipedia.

    • Keith

      El segundo es un problema difícil. Para el que conoce la teoría, es aplicar una receta simple. Para el que no la conozca, todos mis respetos si la deduce.

      • Keith

        Pensándolo mejor, por las características de este problema en particular, puede que la solución no sea tan complicada para quien no conoce la teoría. Pero, lamentablemente, como yo ya la conocía, me autoexcluiré de participar. Espero que la semana próxima el problema sea más original.

          • Hola,

            el primero parece bastante fácil.

            Con respecto al segundo, yo no conocía el juego de *** por ese nombre (lo he llamado de toda la vida “el juego de los montones de palitos” :-) ), pero una búsqueda trivial por google me ha llevado a él y a su teoría. Al principio, me he sentido decepcionado por el problema: se supone que son problemas “para todos los públicos”, y la teoría del juego de ***, con su uso de números en binario y operaciones XOR -perdón por dar esta mínima pista, pero es que si no soy incapaz de explicarme-, quiero decir, con su uso de operadores que necesitan un cierto nivel matemático, me ha parecido injusto… Así que he seguido pensando, me he forzado a olvidarme de la teoría, y he conseguido hallar una solución completamente intuitiva, conseguible por cualquier persona sin ninguna idea de matemática más allá de la básica, simplemente usando un poco de razonamiento lógico acerca de las situaciones que “aseguran la victoria” de uno de los jugadores.

            Con todo este rollo lo que quiero decir es que discrepo con los comentarios de Keith y el autor del blog: aunque por un lado es decepcionante que sea un problema que, efectivamente, para ser resuelto “formalmente” necesita unos conocimientos digamos elevados, por otro lado se salva al poder resolverse también de forma totalmente “amateur”, aplicando razonamientos intuitivos y naturales.

            En ese sentido me recuerda al primero de los problemas que se propuso en el periódico: podía resolverse “formalmente” aplicando la teoría de grafos, de lo que es un ciclo hamiltoniano… pero también podían hayarse soluciones sencillas e intuitivas coloreando ciudades, “eliminando” caminos, etcétera.

            Saludos

          • Keith

            Vincent,
            Tienes mucha razón. A mi me paso algo similar. Conociendo la teoría, al principo, me pareció lo mismo que a ti con lo del xor y por eso mi primer comentario acerca de la dificultad fue en base a eso. Después me di cuenta de que por las características del problema no hacía falta complicarse tanto la vida.
            Para mi, la lección es que, a veces, más vale aplicar el sentido común que las soluciones ya hechas.

          • Me quedo por encima de todo con tu frase final: “la lección es que, a veces, más vale aplicar el sentido común que las soluciones ya hechas”. Creo que ése debería ser el espíritu de estos problemas: matemáticas formalmente avanzadas pero que tengan interpretaciones intuitivas al alcance de todos: ¿qué mejor forma de popularizar las matemáticas?

            Hasta ahora (salvo en el problema de la hormiga, que la intuitividad no estaba en ningún sitio, por lo menos en mi opinión) creo que lo han conseguido: el resto de los problemas publicados son perfectamente resolubles con un poco de sentido común, lógica y paciencia.

            Saludos

  5. Ooooooooooooooo… ¡qué chasco! el desafío de esta semana no es más que el clásico juego del *********************** (no lo diré).

  6. jabon

    Mi opinión, son problemas más de ingenio que de matemáticas en sentido estricto. Es verdad que son fáciles, pero no puede pretenderse que el concurso sea para “matemáticos”, entonces la gente normal ni los miraría.
    Puede ser que alguien ya conociese la respuesta, pero créeme, a mí me ha entretenido un poco el primero. Empiezas de una manera, y ves que aquello no tiene salida, buscas otra y caes en el detalle, a partir de ahí la secuencia es clara.
    El segundo, o no lo he entendido bien, o me parece una auténtica chorrada. En segundos di con la respuesta. He vuelto a ver el video, y sigo pensando lo mismo, o sigo obstinado o me parece excesivamente fácil.

    P.D. no conocía ninguno de los dos.

  7. Ups… Mil perdones: acabo de leer mejor el comentario de Keith: yo había leído “la solución es complicada para quien no conoce la teoría”, y realmente habías dicho “puede que la solución NO SEA TAN complicada para quien no conoce la teoría”.

    Entonces estamos de acuerdo: hay también solución intuitiva :-) Perdón por haber leído mal. Pido al autor del blog que, si quiere eliminar “ruido” de los comentarios, que elimine este y el mío anterior.

    Perdón de nuevo por la confusión, saludos

    • No te preocupes Vincent, el malentendido queda totalmente aclarado; y por concretar mi opinión, el juego es precioso y apto para cualquiera, como debe ser, y felicito de nuevo a El País. La lástima es justamente lo que tú dices, que en este caso la solución puede encontrarse en internet en un momento. Todo claro, un saludo y gracias por tus intervenciones.

  8. jabon

    Efectivamente lo había entendido mal el segundo, no podía ser tan simple.
    Es algo más complejo de lo que yo pensaba, pero creo que lo resolveré. Me falta el desarrollo (nada de teorías matemáticas) hay que pensar como un niño.
    Un saludo a todos

  9. Jesus

    El primero era trivial. El segundo me ha costado un poco mas dar una solucion intuitiva (ni xor ni leches :)) pero bueno,… al final lo encontre. Lo mande al mediodia pero no me ha gustado demasiado este reto.
    A ver si la semana que viene ponen algo mas ingenioso…

  10. luque

    No conozco la teoría de la que hablais pero pienso que tanto el primero como el segundo son fáciles de resolver sin necesidad de conocimientos ninguno de matemáticas. Es cuestión de echarle un ratito, al segundo, el primero es sumamente fácil. El segundo es cuestión de no complicarse y dar con la tecla.

  11. jabon

    La verdad es que estoy un poco despistado con el segundo. Habláis de un supuesto teorema. Yo encontré una respuesta en segundos, pensé que me había equivocado, tras leer algunos de vuestros comentarios, pero después de meditar estoy en la misma.
    Tengo ganas de ver la respuesta porque no me aclaro. Me sigue pareciendo súmamente fácil.
    No voy a poner la respuesta, pero según pienso la clave está en una jugada que hace uno de los dos (no voy a decir cual), que tiene hasta tres variantes), a partir de ahí puede haber un sinfín de posibilidades pero todas tienen la misma estrategia… para ese jugador
    ¿voy bien?

  12. jabon

    Muchas gracias por tu respuesta.
    Leía algún comentario, y entiendo que si el supuesto hubiese sido distinto la cosa podría ser compleja, pero el problema en sí, hacía un planteamiento muy sencillo de intuir; tanto que hasta llegué a pensar que no lo debía de estar entendiendo bien.

  13. Turner

    Yo que soy “normal” es decir no matemático (je je je) he resuelto los dos de de manera semejante; analizando que se debía de encontrar mi contrincante en la mesa, en la penúltima jugada para que, haga lo que haga, en la última jugada yo pueda retirar el último palillo y ganar. Una vez identificada ese característica la estrategia es bien sencilla; jugar de manera que cada le toque mi contrincante la característica se mantenga……

  14. Turner

    Veo que he dado con la solución, por que yo también me habría retirado si en la primera jugada me quitas una, ¡¡¡y solo una!!! de la P de la S o de la A.
    Mi razonamiento muy sencillo, ver como tienen que acabar la partida para recojer el último palillo,y ganar y tratar de replicar esa configuración a lo largo de la partida.

    Hay un dato que hay que tener en cuenta para este, y futuros retos matemáticos de El Pais. La solución no puede ser muy complicada ya que tienen que ser capaces de explicarla en 2 minutos a no matematicos.
    Si lo pensais bien, este hecho descarta algunos caminos complicados, y hace que lo mejor sea concentrarse en ideas simples.

    • Totalmente de acuerdo, aunque en el de la hormiga les cupo la respuesta en 2 min porque no demostraron la primera pregunta (probabilidad de que la hormiga no muriese nunca) e hicieron un resumen de la segunda…

    • jabon

      En efecto,al ver tres letras de 5 y una de 4, si eliminas un palillo de una de 5, conviertes el tablero en dos letras de 5 y dos de 4. (número par de letras y de palillos totales)
      A partir de ahí, te imaginas que estás delante de un espejo y que a cada lado hay una letra de cinco y otra de cuatro. Y cada jugador está a un lado también.
      Si repites la jugada que hace el rival, es como si actuases de espejo, con lo cual haga lo que haga él, como hay lo mismo a cada lado, siempre terminarás tú. (él no puede coger lo que hay al otro lado….)

      Evidentemente esto en la realidad no ocurre porque el rival puede coger de tu letra, pero en este caso harías lo propio con su letra.

      De esta manera me imaginé el supuesto. De ahí que lo viese de inmediato y lo calificase de chorrada, y que luego tuviese tantas dudas a la vista de los comentarios, incluso del PAIS, que decía que era un poco más difícil.

      • La solución que yo conocía era bastante más engorrosa que esta, tiene que ver con códigos binarios y la paridad de las cifras de la suma en decimal… en fin, no la publicaré porque está en Internet en mil sitios como respuesta a la estrategia ganadora del juego del NIM. Esperemos a ver con qué nos sorprenden este jueves y enhorabuena a todos los que lo hayáis resuelto.

        • jabon

          Esa solución jamás la hubiese adivinado, me dejáis de piedra. Por ese motivo creo que el desafío ha sido interesante. Por un lado tiene su vertiente matemática y por otro lado la intuitiva. Por mis conocimientos me tendré que decantar casi siempre por esta última, si es posible, si no a resignarse.
          A mi crío le gustó mucho, también hay que pensar que ellos lo entiendan.

  15. Jmd

    Personalmente me ha gustado el reto porque no los conocía y tampoco he intentado encontrar nada por internet. El segundo no es muy complicado aunque en un principio llegué a una conclusión erronea… un pequeño detalle que no tuve en cuenta. Pero estoy seguro (ya lo he probado de mil formas) que he dado con la solución correcta.

    Saludos.

  16. andres

    esta dificil localizar a donde hay que enviar las respuestas del desafio matematico. problemamatematicas@gmail.com

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