6º Desafío Matemático de El País: Una cuestión de sombreros


Aquí está el sexto Desafío Matemático de El País; Una cuestión de sombreros.

Para acceder, pulsar AQUÍ.

Esto es el texto que se publica:

Javier Lázaro, estudiante de 4º de Matemáticas en la Universidad de Zaragoza, presenta el sexto desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes (00.00 horas del martes). Entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que ofrece cada semana EL PAÍS. Este domingo, por 9,95 euros con el periódico en el quiosco, Los secretos del número Pi, de Joaquín Navarro.

Nota importante: Para aclarar todas las dudas sobre el problema y en atención a nuestros lectores sordos incluimos también el enunciado del problema por escrito. Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13…). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.

Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?

Atención: Para aclarar algunas dudas que han surgido ya entre los lectores. Los prisioneros no pueden hacer señas, ni tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz… deben contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.

34 comentarios

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34 Respuestas a “6º Desafío Matemático de El País: Una cuestión de sombreros

  1. Salvar a la mitad es trivial, a mí de momento se me ocurre cómo salvar a 20, pero todavía no he cogido un bolígrafo para pensar (y es bien sabido que sin un bolígrafo en la mano es imposible que llegue la inspiración… ;) Seguramente se podrán salvar más.

  2. luque

    Vaya, estoy decepcionado con el acertijo, ya lo conocía pues aparece en muchas webs de acertijos, así pues es fácil buscarlo en internet. Realmente es un acertijo sin más y no tiene nada o poco que ver con procedimientos matemáticos. Esperemos pues al siguiente desafío.No entiendo que un estudiante de 4º con nombre y todo se atreva a presentar un simple acertijo tan conocido.

  3. En todo caso a mí me parece un “acertijo” bastante bonito y no hay que olvidar que está dirigido a todos los públicos. Seguiré dándole vueltas sin buscar la solución, y animo a todos los que no lo conozcan a que hagan lo mismo. Mi enhorabuena de nuevo a El País.

  4. jose antonio

    Tengo una solución que salvaría a 25, incluso si se da una determinada circusntancía, que todos menos el del primero al que se le pregunta sean del mismo color, en el que se salvarían los 30. si estas interesado te la mando y me dices si falla y en dónde y si se puede mejorar, que yo soy de todos los públicos. :)

  5. Bueno, llevo un rato pensándolo, he refinado un poco mi estrategia y ahora soy capaz de salvar a 22 seguro, pero ahí me he quedado de momento.

  6. jabon

    No lo conocía, y me ha parecido un problema fascinante después de dar con la respuesta.
    Qué pasada, me imagino una ruleta, no diré si rusa, de la suerte, americana o francesa.
    Desconozco si está por internet, pero merece la pena pensar.
    En primer lugar salvaba a 15, luego conseguí a 22, y al final (no diré cuantos), pero salvo alguno más todavía.
    Interesant´simo.

      • jabon

        Santi, la estrategia para salvar a 22, es la base para el siguiente escalón.
        La lista de Schindler es aún mayor, supera los 25 que ha comentado otro.
        Si lo descubres es fascinante, créeme.
        Yo tb estaba atascado en 22, y pensé que era la solución, pero se puede superar.
        Cuando lo descubras entenderás por qué he dicho una cósa antes.
        Merece la pena pensar. La sorpresa es espectacular.
        El “último de la fila”, es el auténtico Schindler.
        Merece la pena que el alcaide le otorgue también la libertad.

  7. Al final he visto la luz y lo he solucionado, y ahora sí, estoy convencido de que no es posible salvar a más (yo tampoco diré, hasta el martes a las 00:01, ni cuántos ni cómo). Lo cierto es que mi estrategia para salvar a 22 y la definitiva no se parecen demasiado, como suele suceder la buena es más fácil de explicar; más sencilla.
    Jabon, estuve un rato pensando que teníamos distinta estrategia, por aquello de: “Cuando lo descubras entenderás por qué he dicho una cosa antes”, pero creo que ya sé a lo que te referías…

  8. jabon

    Me alegro, la verdad es que cuesta dar, pero al final te das cuenta de que es la definitiva.
    Yo tb estaba atascado en 22 con las ternas y llegué a pensar que era la definitiva.
    Para el que lo supiese le parecerá insulso, para el que piensa y da con la respuesta: fascinante.
    Seguro que has entendido mi pista

    • Sí, sí, creo que sí, pero a posteriori. De todas formas una vez resuelto he estado mirando un poco por ahí y no lo he encontrado. Me parece que el acertijo sobre sombreros que hay es otro diferente, no este, así que además es original. En todo caso, si está resuelto me da igual, como tú dices lo divertido es averiguarlo. Si los gorros blancos fueran rojos, y 36 en lugar de 30, aún sería más similar a tu pista… ¿ibas por ahí?

      • jabon

        En efecto.
        Era una pista que solo la relacionas cuando atinas con la estrategia. Casi más despista.

      • luque

        Hola amigos, el martes os diré donde está el acertijo , y muchisimos más, es una excelente página, la mejor que he visto de juegos de lógica, ingenio, inteligencia, etc. , fantástica. Seguro que la conoceis pero hay tantos juegos…
        Supongo que teneis la respuesta correcta, enhorabuena, pero no entiendo lo que dices de los gorros rojos y de que hubieran 36 en lugar de 30, ??? la respuesta es independientemente del numero de presos, 30, 40 ó 347. Saludos.

        • OK, el martes aclaramos también lo de los rojos y los 36.

        • jabon

          Acabo de verlo en internet, con algún sombrero más.
          Seguramente inventar algo es muy difícil. De todas maneras en este desafío no te dicen el número que puedes salvar. Si me hubieran dicho de entrada ese dato, creo que hubiese dado antes. El hecho de no saber cuántos, era un handicap. Cuando di con 22, ya pensaba que lo tenía resuelto.
          Mañana comentaré mi estrategia para salvar 22, porque parece que hay otras alternativas, y es bueno compartir.
          A mí me ha costado dar con el quiz. Una vez resuelto parece fácil, pero creo que no soy el único que dio vueltas al tema. No lo veo tan pobre.
          Lo de 36, ya te ha comentado Santi que tiene otro sentido. Piensa en algo que tenga 36 opciones (aunque esto no es exacto del todo) y que sean negras o rojas, y que además incorpore algún elemento que guarda relación con este supuesto.

          • Totalmente de acuerdo, de hecho yo estaba a punto de dejarlo hasta que pusiste tu comentario sobre la lista de Schindler… a mí me ha gustado bastante y como no voy a por el premio, sino a por la satisfacción personal de sacarlo, me da igual que esté por ahí resuelto o no, porque simplemente no lo busco. Yo creo que todos lo habremos resuelto igual, pero los 22… ya lo veremos.

  9. Marta

    Hola, tras pasar por las obviedades que salvavan a sólo 15, pasé por la estrategia de salvar a 20. La de salvar a 22 no he dado con ella…. De ahí me he ido a xxxxx (creo que es sólida). Lo de salvar a los 30 me parece que es imposible… Un saludo a todos, os leo todas las semanas………

    • Buenas Marta y bienvenida, ya te digo que la mía de 22 y la definitiva no tienen demasiado que ver, así que no era en absoluto necesario pasar por ese peldaño. Un saludo y gracias por comentar.

  10. Turner

    Hola,

    Inicialmente pensé que era una tontería y que la única solución posible era 15, con uno argumento profundo: “para salvar a uno hay que sacrificar a uno” y así lo dejé.
    Luego me picó la curiosidad y ayer entré en este blog para ver por donde andabais, y descubrí ,con horror, que habíais salvado 22 o más….(en ese momento).
    Depues de estar todo el domingo dandole la vuelta (¡¡mientras hacía otras cosas eh!!) y creo que he llegado a la misma solución que todos y que tambien sigue un razonamiento profundo “hay que sacrificar a xxxxx para que los demás se salven”
    Sinceramente; me ha parecido una ocurrencia, más que un problema. No se sí cuando den la solución le darán un “barniz matemático mas general” como hicieron con el tema de los palillos.

    • Miletón

      He visto la luz … después de darle muchas vueltas y releer varias veces vuestras pistas “encriptadas”. Y me voy a permitir ayudar un poco: no perdais tanto tiempo como yo buscando el mensaje en binario.
      Añadir que no tengo nada que ver con las matemáticas, profesionalmente digo, y que los problemillas estos me están gustando mucho; hasta el momento he contestado las seis veces y acertado cinco (incluyendo esta que la doy ya como respuesta correcta).
      Un saludo.

      • Aquí hay bastante más de ingenio que de matemáticas propiamente dichas (aunque ambas cosas están íntimamente relacionadas) eso es lo bueno y lo que hace que estos desafíos sean accesibles a todo el que le guste el razonamiento lógico.

  11. Amigo Pp

    El nº es xxxxxx seguro. Sea cual sea la combinacion de colores.

  12. Javier

    En un principio llegué a los 15 pero estaba seguro que se podría superar… esto era demasiado obvio. Pensando un poco descubrí una estrategia que salvaban 20… Más tarde conseguí otra que salvaba 24 y fue entonces cuando intuí que se podría salvar a xxxxx, el primero depende de la suerte.
    Me llevó su tiempo pero finalmente lo conseguí… sa salvan xxxx. Lo curioso es que es más fácil de lo que parece… tan fácil que me extrañó no haberlo acertado antes. Lo cierto es que he tardado en encontrar la solución, dando vueltas ingeniosas pero complicadas cuando ésta era más sencilla de lo que imaginaba.

    Ciertamente como dicen algunos esta estrategia es válida para cualquier número de presos . Se salvan todos con seguridad menos xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

  13. Javier

    Estoy seguro que la solución a la que he llegado es correcta… solución sencilla y correcta para salvar xxxxx… estoy seguro que no he sido el único en llegar a esta conclusión.
    Lo que si deseo aclarar es que no conocía el problema, no lo he buscado por internet ni lo he intentado… sólo he intentado divertirme un poco y poner a prueba mi ingenio.
    El desafío ofrecido me ha gustado.
    Gracias.

  14. Jesus

    Pues yo he salvado(supongo que como la mayoría) a 29 (o a los treinta, depende de la suerte) y me siento muy contento por facilitar una reinserción adecuada a tanto preso. Se trata de que el primero diga blanco si el numero de blancos que ve es par (o cero) y negro si ve un numero par de negros (o cero). Entonces si ha dicho blanco y el segundo ve un numero par de blancos, sabe que el suyo es negro. Si ve un numero impar, el suyo es blanco. El metodo es:
    – Si blanco el primero:
    “Si veo un numero (impar) de blancos, soy blanco” (sino, negro)
    Cada vez que oigo blanco a alguien de atras, cambio (impar) por (par) y viceversa en el método
    Obviamente, cambio blanco por negro y viceversa si el primero ha dicho negro.

    Total, 29 salvados y el primero, con un 50% tambien podría salvarse.
    Eso sí, como uno se equivoque la lía…. :)

  15. jabon

    En efecto, la cuestión par o impar, era la receta. Mi explicación es similar, sólo que como eran días de fiesta, lo detallé haciendo referencia al juego de la ruleta, de manera que la contraseña era “29, negro, impar y pasa”, todo porque Schindler había sido croupier en un casino.

    Como se habló de otras estrategias iniciales (cuando se veía la cosa no tan clara), os comento la mía del 22 que en su momento me parecía ya buena.

    Según turno de respuesta, el 1º, 5º, 9º, 13º, etc., salvarían a los tres siguientes reclusos de cada uno de ellos respectivamente (7 ternas de 3, más uno al final)
    Verían esos tres sombreros, con un color dominante (salvo el número 29º que sólo ve uno). De ese color dominante puede haber 2 ó 3, hay que introducir un elemento diferenciador, por ejemplo decir en el caso de 2, el color real, y en el de 3 el color contrario.
    Los reclusos harán caso de ese color que domina (si hay dos todo coincide), y si observan que hay una contradicción (ven dos de un color dominante y han oido el contrario a su salvador) deducirán que son los 3 del mismo color.
    Este hecho diferenciador de 2 y 3, fue el que me ayudó para caer en lo de “par”, “impar”.

    El desafío nos parece ahora fácil. La dificultad estriba más en el desconocimiento inicial de los que se salvaban. Si te dicen que eran 29 de inicio, nos hubiese costado menos.

    • Muy bien, la mía de los 22 era básicamente igual, o muy parecida. Yo planteaba también por ternas pero introducía otro “elemento diferenciador”. Por ejemplo para los cuatro primeros en elegir (los 4 últimos):

      RECLUSO1(R1) ->RECLUSO2(R2) ->RECLUSO3(R3) ->RECLUSO4(R4)

      Estrategia:
      Si R2=R3, entonces R1 dice la verdad sobre R4
      Si R2 distinto de R3, entonces R1 dice mentira sobre R4

      Entonces le toca elegir a R2, si R1 ha dicho la verdad sobre R4, sabe que comparte color con R3 y al revés.
      R3 también sabe si R1 mintió o no, así que actúa en consecuencia, según lo que haya dicho R2.
      R4 conoce las elecciones de R2 y R3, si son iguales es que R1 dijo la verdad sobre su sombrero y al revés.

      Un poco enrevesadillo… pero casi me planto ahí.

  16. Javier

    Hola. Efectivamente la solución está en contar por ejemplo los gorros negros Si es impar dice “NEGRO”, en caso contrario dice “BLANCO”, pero no es necesario como he oido por ahí que los demás presos cambien de par a impar…
    la regla es siempre la misma… los presos deben contar los gorros negros que ven más los gorros negros que oyen de los presos de atrás suya.
    ¡Funciona!.
    Un saludo.

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