7º Desafío Matemático de El País: Un piano gigantesco


Ya está publicado el 7º Desafío Matemático de El País: Un piano gigantesco.

Esto es lo que se publica:

José Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza, presenta el séptimo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse aproblemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 2 de mayo (00.00 horas del martes). Entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que ofrece cada semana EL PAÍS. Este domingo, por 9,95 euros con el periódico en el quiosco, La cuarta dimensión, de Raúl Ibáñez.

Nota importante: Para evitar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado del problema por escrito.

Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?

Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.

64 comentarios

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64 Respuestas a “7º Desafío Matemático de El País: Un piano gigantesco

  1. Menudo crack el Sr. Garay, de paso nos da unas nociones musicales, jejeje.

  2. jabon

    Para animar a la peña.
    Bueno, las respuestas creo que las tengo. No sé explicarlo matemáticamente porque se me antoja que supera mis conocimientos. Veo por donde van los tiros, intentaré esforzarme pero dudo que lo pueda hacer científicamente.
    Sólo una pista, lo de 7000 teclas tiene su explicación y no es otra que hacer más sencillas las operaciones y no tener que emplear una calculadora.

    • Jesus

      A mi me pasa igual. Tarde como dos minutos en dar con la solucion pero estoy tratando de darle formalismo matematico antes de mandarlo (aunque dudo que se lean la explicacion)

    • Javier

      Quizás esté equivocado Jabón pero creo que podría haber dicho 70.000 teclas y no por ello sería más complicado.
      Un saludo.

  3. Encontrar la solución es bastante fácil; el más fácil de los siete que se han publicado hasta ahora sin duda.
    El reto sería demostrar por qué sucede lo que sucede. El martes lo explicaré por si a alguien le interesa.

    • Javier

      Yo lo veo demasiado sencillo… incluso lo que sucede es muy lógico… quizás se pueda dar alguna explicación matemática que demuestre lo que sucede… quizás mi lógica es lógica pero no demuestra nada.
      Un saludo.

  4. jabon

    En efecto, Santi.
    Soy capaz de ver el error”monumental” de la aclaración del país, donde dicen que hay 24.500.000 teclas, porque no es así, según mis cuentas son 24.500.001 (salvo error mío, he estado contándolas toda la noche con los dedos), y además saber que correspondería a la nota “UT”, incluso por dos métodos distintos. Y sabría el número de teclas en cualquier posición, y la letra que corresponde, pero por ahora no encuentro la explicación de lo que más me intriga, el reto que tú citas.

  5. jabon

    Me parece que son 24.496.501 y no las que he dicho antes ¿no?

    • Solomillo

      A mí me sale 24.503.501 usando la suma de 7000 números consecutivos +1

      • Miletón

        Os pillé en un error.
        La tecla tocada en la posición 7000 se correspondería con la 24.496.501 a partir de la primera “Do”, pero el teclado debería tener por lo menos 24.496.503 teclas, puesto que la primera “do” es la tercera tecla.
        Lo que no entiendo es porque contais hasta 7000 + 1.

        • Cierto, los 24.496.501 serían si la primera y la última teclas son DO. Si hay dos antes serían efectivamente 24.496.503 teclas. Esto pasa por no saber tocar el piano, jejeje

          • Miletón

            Yo tampoco se tocar el piano, pero en el video se ve, :)
            Sobre el problema: la cifra la he sacado con hoja de cálculo, se que hay una fórmula para expresar un elemento de la serie respecto al anterior, pero ¿se puede obtener una fórmula para calcular el valor númerico de cualquier elemento?.

          • Sí, se puede obtener un témino general, pero creo que no debo decirlo…

      • jabon

        Ahora tengo dudas. Yo creo que el término general es sumatorio de XXXXXXXX. o si lo prefieren de otro modo XXXXX Con lo cual para el 7000, es la suma de los 6999 primeros + 1.
        De todas maneras, mi comentario iba en plan chiste, y aparte, lo que más me mosquea es el otro reto. Tengo un fin de semana para pensar, pero se me antoja muy complicado.

        • Perdón por la censura de las XXXXXXXX, tienes el término general bien, pero permíteme que no lo publiquemos; con él si sustituyes n=7000, ya te sale, sumándole las dos primeras que habíamos obviado. Lo del chiste ya lo había pillado; lo de los dedos y lo del monumental error, muy bueno, jejeje ;)

        • Perdón por la censura de las XXXXXXXX, tienes el término general bien, pero permíteme que no lo publiquemos; con él, si sustituyes n=7000, ya te sale, sumándole las dos primeras que habíamos obviado. Lo del chiste ya lo había pillado; lo de los dedos y lo del monumental error, muy bueno, jejeje ;)

          • jabon

            Muchas gracias.
            Haces en bien en censurarlo, me costó sacarlo, debe de ser porque dejé las matemáticas hace unos 30 años.
            Pero es bueno recordar cosas, viene bien para el Alzheimer.
            Me voy de puente, entre tanto intentaré darle vueltas a lo que me intriga más de este desafío, que dicho de paso no son las preguntas.

  6. Miletón

    Este es muy fácil. Ayer, al poco de leerlo, ya tenía las soluciones. Antes de la cena le eché un ratillo y creo que también tengo la demostración con unas ecuaciones y sustituciones. Aunque, la verdad, no piden que expliques las soluciones …

  7. Rogelio

    la propiedad es bastante basica, no importa el numero de notas que haya.
    Si hubiera elegido la escala dodecafonica (12 notas) se podria resolver el problema de igual forma.

  8. Javier

    Es cierto… este es sin duda el más fácil de los 7 desafios propuestos. El nº de teclas desde el primer do (según mis cálculos) son de 24.496.501
    Miletón está en lo cierto: “el teclado debería tener por lo menos 24.496.503 teclas, puesto que la primera “do” es la tercera tecla”. En este detalle no había caído… buena observación Miletón.

  9. Bueno, acabo de “fusilar” la demostración. Curioso problema, la regla se ve con la gorra, pero la demostración de que eso es así indefinidamente es bastante más sutil que los seis anteriores.

  10. Zap

    El problema es sencillo. He dado una demostración formal, esto no creo que sea tan sencillo. Yo, para demostrar que hay teclas que no son tocadas he empleado algo de técnica matemática que puede ser desconocida para los profanos en la materia, pero que es de sobra conocida para gente que tenga conocimientos un poco más avanzados de mates.

  11. Alex

    Hola amigos,

    Yo encontré la solución haciendo un programa de ordenador que me hace los cálculos. Si estoy en lo correcto no son pulsadas X notas, ¿es esto así? Pero no encuentro la manera de hacer estos cálculos sencillamente a mano, con una fórmula ¿Alguna pista? Me tiene intrigado pues se supone que es el más fácil y casualmente es el que más me está costando xD

    • Hola Alex, he borrado el número de notas que has puesto, para no publicar la solución, ni parte de ella, antes de tiempo. El número que dices es el correcto. En cuanto a la fórmula, sí, 1,2,4,7,11,16… es una sucesión; se trataría de encontrar su término general.

      Por orden:

      – Obtener el número de veces que se pulsa el DO es muy fácil.
      – Obtener las notas que sí se pulsan (y cuantas vezas cada una) y las que no, también.
      – El término general es bastante asequible, aunque no es necesario, salvo para contar el número mínimo de teclas de ese hipotético piano gigante y para la demostración.
      – Demostrar que la regla obtenida por simple tanteo se cumple indefinidamente, es bastante más difícil que lo anterior.

      • Alex

        Vale, ahora, escribiendo la serie en un papel he visto la luz en cinco minutos. Me había obcecado en mirarlo en forma de reloj, sin nombrar las notas y por eso no lo veía xD Supongo que con lo que se da en un primero de álgebra y análisis de una ingeniería técnica será suficiente materia para demostrar que siempre se cumple la serie. Voy a desempolvar apuntes :)
        Gracias!

  12. Uhmmm… A lo mejor me estoy liando, o es que soy una persona complicada :-) pero… la idea general que saco de todos los comentarios es que lo fácil es hallar la solución “por tanteo” y que lo difícil es luego formalizarla con argumentos matemáticos… Joé, yo lo he hecho exactamente al revés: me ha parecido ver clara la aproximación matemática y rigurosa al problema y ha sido sólo después, una vez hallada mi solución formal, cuando he comprobado de forma intuitiva y numérica (con las primeras dos o tres escalas) que mi razonamiento abstracto era correcto.
    Digamos que mi aproximación a la primera parte del problema ha sido congruente y mútiplo, digo múltiple… y que esa primera solución me ha inducido fácilmente hacia la segunda… A buen entendedor…
    Por cierto, espero que no se pongan muy tiquismiquis con lo de que la primera tecla del piano no es un “do”, o si hay que tener en cuenta las tres anteriores… Yo he empezado mi mail con la demostración con “sea “0” la primera tecla del piano, el primer do…” Como sean muy duros corrigiendo me tiran ya el problema en la primera frase, jeje.
    Saludos y buen finde

    • Jajaja, si ha sido “congruente y múltiple/o” no creo que te lo tiren por otras pequeñeces… pero claro, estarás conmigo en que no cualquiera podrá hacer una demostración “congruente y múltiple/o”. Si fuiste de lo general a lo particular enhorabuena, eso es que tienes las cosas muy claritas…
      Saludos, buen finde para ti también y gracias.

      • Sí, después de enviar el comentario he pensado un poco más sobre el tema y me he dicho: “mira que eres brutito, con lo fácil que era sacar las primeras diez o quince pulsaciones, deducir de ahí intuitivamente una regla general y luego intentar sacar algo formal que lo sintetizara, vas y te pones directamente con un par de narices a ver si sacas algo congruente por ahí…”
        Vamos, que ahora entiendo los comentarios: todos matando moscas con el insecticida y yo haciéndolo a cañonazos :-)
        Es que estudié física teórica: mis compis experimentales seguro que lo hubieran hecho de la forma intuitiva, pegada al mundo real, pero es que a mí me das una buena oportunidad de ponerme a plantear ecuaciones y me pierdo, je, je…
        Por cierto, es la segunda vez que comento el reto matemático de El País en tu blog y creo que la vez anterior se me olvidó agradecerte el que inicies y moderes este foro para hablar de razonamientos y soluciones.
        Lo dicho, gracias y buen finde!

    • Por cierto, curradísimo tu libro on-line: elautenticovincentprice.blogspot.com

  13. Marta

    Hola,
    Pues efectivamente, estoy de acuerdo en que me ha parecido el más fácil de los 7 desafíos. Además es cierto que no pide ninguna demostración como otras veces….. Aún así, tampoco parece muy difícil hacer una regla general una vez que destripas las dos o tres primeras escalas teniendo en cuenta que siempre tenemos las mismas 7 notas (se las puede llamar 1 2 3 4 5 6 y 7, así todo se simplifica mucho).

    Lo que no entiendo es porqué decís que la primera no es un DO, si dice en el enunciado:
    “Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re….”

    Un saludo y buen puente!,
    Marta.

    • No, no pide demostraciones, es un reto que nos hemos planteado algunos y que sin duda es mucho más desafiante que lo que se pide. Lo de que la primera no es un DO es sólo para calcular el número mínimo de teclas, cosa que tampoco se pide, te pones a calcular suponiendo que el DO es la primera, pero como nos hemos dejado dos a la izquierda, hay que sumarlas después, nada más.
      Otro saludo y buen puente… para los que lo tengan, gracias Marta.

  14. RaulM

    Buenas noches
    Lo primero, felicitarte por el blog…
    Respecto al problema, no veo tan difícil sacar una demostración razonada a partir de la regla obtenida por muestreo, sin tener que usar ecuaciones ni series.
    Como para casi todo en matemáticas, con tener una buena base y saber sumar…

    Un saludo!

    • Mmmm, ya nos contarás entonces, yo no encontré una manera muy sencilla para explicarlo.

      • Javier

        Recuerdo que lo más complicado en las matemáticas era desmostrar algo… ese “algo” estaba claro, por ejemplo, para x=1, x=2… etc… lo más difícil era demostrar que era válido para cualquier valor de x. Quizás aquí suceda algo similar.

      • Javier

        En este desafío estoy seguro que no tengo una demostración matemática de lo que sucede pero… creo que con un procedimiento sencillo basado en la repetición se observa que siempre sucede lo mismo.

  15. Borja

    Hola a todos y felicidades por el blog. El problema es fácil pero bien seleccionado si lo que se pretende es llegar a un público amplio.
    En cuanto a lo de generalizar el resultado, es muy sencillo, por inducción, pero es que ni siquiera hay que llegar ahí. Ya lo veremos cuando se pueda.

    Un saludo

  16. clara

    hola :
    soy estudiante de segundo de bachillerarto y quería saber si la solución que tengo y el modo de hacerlo son correctos.
    Si cada X teclas tocadas de las 7000 se repite una sucesión, he hecho lo siguiente 7000/X=X, después he aplicado una regla de tres para hallar el número de teclas tocadas es decir do, re, mi ,fa, sol, la, si, que en la sucesición aparecen , me salen así X, X, X, y X.
    Gracias .
    P.D. me encanta este blog .

    • Hola Clara, me alegro mucho de que te encante el Blog y de que tengas este tipo de inquietudes. Lo que has hecho está perfecto. Perdona que haya censurado algunas partes de tu mensaje, pero por respeto al concurso no publico las soluciones antes de tiempo. Una manía personal: si en lugar de “regla de tres” lo llamases proporcionalidad directa, mucho mejor.

      Un saludo, bienvenida y gracias por tu comentario.

  17. Javier

    Si lo consideras oportuno no publiques este comentario pues seguramente he dado algunos pista que no debieran aparecer, aunque si me gustaría que me contestases dándome una opinión.
    No creo que sea una demostración pero yo no necesito hacer muchas repeticiones para observar que lo que sucede… sucede siempre.
    Me explico.

    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

    No sé si me he explicado bien, quizás no…
    Espero tu respuesta.
    Gracias.

    • Te explicas perfectamente y sí, es una muy buena explicación. Las demostraciones que se hagan, con mayor o menor formalismo y rigor matemático se basan justamente en eso explicabas en tu comentario (en la parte censurada, claro). OK Javier.

  18. Pedro Correa

    No sé si es una pista o no, pero se puede ver como un reloj en el que las horas van desde la 1 hasta las 7 y en el que sólo nos importa la hora, no los días que pasen…

  19. César

    Hola, efectivamente la solución propuesta por Clara es correcta (he sustituido mentalmente las Xs por los valores que he usado yo, jejejeje).
    Pero yo lo que creo que es lo más interesante es saber por qué se repite esa sucesión y expresarlo de forma matemática. Creo que ahí radica la “gracia” del problema.

    Un saludo.

  20. jose antonio

    Facilmente con una hoja se ve graficamente que hay una sucesión que se repite y es sencillo saber cuantas veces suena DO y que no hay ninguna nota aparte de DO,RE,FA,SI que suene. La cuestión esta en saber porque si esta sucesión se repite indefinidamente.

    Me gustaría saber si el planteamiento es acertado, pero no consigo que me salga menos farragoso.

    A partir de la pulsación septima, los espacios, las teclas no pulsadas entre nota y nota siempre será mayor de 7, por lo tanto se saltará siempre el mismo bloque sucesivo de notas tantas veces como se avance más los espacios comprendidos entre 0 y 6, hasta completar otro bloque idéntico múltiplo de 7, Estos espacios añadidos serían el resto de los bloques de notas sucesivas múltiplos de 7.

    Este resto corresponderían al mismo orden de las siete primeras notas que han sonado.
    Por lo tanto las que no sonaron entre estas MI, LA, SOL, no sonaran jamás y el resto lo harán un numero proporcional de veces igual, menos SI que será la mitad de DO RE FA.

    Desde luego que estas cosas me resultan mucho más entretenidas que rellenar sudokus, y te agradezco sinceramente el que tengas esta página.

    • El planteamiento desde luego es correcto, creo que esta semana nos ha pasado a todos algo parecido, ves la idea, pero cuando te pones a explicarla resulta un rollo.

      Muchas gracias por tus palabras Jose Antonio.

  21. César

    Yo había pensado en lo siguiente. Partimos de la tecla DO y las siguientes posiciones son saltar los siguientes números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…, que da DO, RE, FA, SI, FA, RE, DO, etc.
    Ahora re-escribimos la sucesión 0,1,2…, cuyo término general es An = n, como An = Int ( n / 7) * 7 + n mod 7, y como cualquier tecla más 7 posiciones vuelve a tener el mismo nombre, tenemos que las diferentes posiciones nos las va dando n mod 7, que va del 0 al 6. Por lo tanto, vemos que la secuencia DO RE FA SI FA RE DO se repetirá indefinidamente. En concreto, en 7000 teclas, 1000 veces, y por tanto, hay 2.000 DOs y no aparecen el MI, SOL y el LA.

  22. César

    Pues quizá es la deformación académica, pero la demostración del Profesor Garay, utilizando el método de inducción, me pareció demasiado liosa y farragosa, una decepción, y eso que, como siempre, la explicó de forma magistral y con sentido del humor.
    Insuperable el momentazo al final del video, recomiendo verlo enterito.

  23. Manolo

    Conseguí resolverlo y publiqué en mi blog el resultado. Partí de la fórmula que nos permite calcular la suma de los términos de una progresión: S=n(n+1)/2, siendo los valores de n de 1 a 7000. Cada vez que ‘S’ sea múltiplo de 7, la tecla tocada será ‘Do’… Y ‘S’ será múltiplo de 7 siempre que lo sean n ó (n+1). Eso ocurre dos veces cada siete: n=7, n= 14, n=21… Ó n=6, n=13, n=20… O sea cada 7 teclas tocadas, dos serán ‘Do’; por lo tanto, de 7.000 lo serán 2.000.

    Para la 2ª pregunta, desarrollé la misma fórmula suponiéndole a ‘n’ múltiplo de 7. Luego incrementé ‘n’ en 1,2,3,4,5, y 6. Y vi que el resto de la división S/7 era de 0,1,3,6,3,1,0 . No aparecían los restos 2, 4 y 5 que se corresponden con las notas Mi, Sol y La.

  24. Manolo

    Mandé el resultado pero… no tuve suerte.

  25. Manolo

    Perdona, no quiero ser pesado. La página es de progresiones aritméticas y al final, comenta una historia de Gauss y el problema que le planteó un profesor. Y aparece la fórmula: S=n(n+1)/2, como la utilizada para hallar la suma de los primeros ‘n’ números.
    – Cuando pulso una tecla por 7ª vez (sin contar el primer ‘Do’), me habré desplazado 7+6+5+4+3+2+1 teclas de la inicial. Como la suma de todas ellas es 28 (S=7.8/2), que es múltiplo de 7, volverá coincidir con un ‘Do’.
    – Cuando pulso una tecla por 35ª vez, me habré desplazado 35+34+33+32+… O sea, =35.36/2. Eso da 630, que es múltiplo de 7 y volverá a coincidir con ‘Do’.
    – Sin embargo a la siguiente, la 36º, me habré desplazado 36.37/2=666. Este número no es divisible por 7 y el resto de la división es 1, con lo cual estaría tocando la nota siguiente a un ‘Do’ (‘Re’)
    Probablemente no sea la manera más ortodoxa de resolverlo, pero a mi me sirvió para dar respuesta a las dos preguntas.

    • Ahhhhh… ahora lo he entendido; se trata en efecto de una suma de los términos de una progresión, pero no de una progresión cualquiera, sino de la suma de los n primeros números naturales (progresión aritmética con a1=1 y d=1). Tal como lo expresabas: “Partí de la fórmula que nos permite calcular la suma de los términos de una progresión…” suponía que estabas sumando los términos de la progresión que usábamos tod@s: an=n(n+1)/2=0, 1, 3, 6, 10… que es la progresión de las teclas pulsadas (y cuya suma no tiene sentido aquí). Ahora ya he entendido a lo que te referías, desde luego es una forma indirecta y poco convencional pero correcta, así que muy bien, una manera más a añadir a las demás.
      Por otro lado, la vocación de este Blog, es la de compartir y participar, así que de “pesado” nada, te agradezco tus intervenciones, tus aclaraciones y que compartas con los demás tu solución.

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