7º Desafío Matemático; mi demostración


Como se ha comentado sobradamente, el verdadero desafío de esta semana no era tanto responder a las preguntas (2000 do, 2000 re, 0 mi, 2000 fa, 0 sol, 0 la, 1000 si) sino demostrarlas.

P. Picasso - Nature morte au piano

Yo he recurrido a numerar las teclas empezando por el primer do, hallar el término general de la sucesión: 1, 2, 4, 7, 11… y probar, en base 7, que los términos de esa sucesión terminan siempre en 1, 2, 4 y 0, lo que significa que siempre se tocan do, re, fa y si respectivamente y además las tres primeras 2 de cada 7 veces y la última 1 de cada 7.

Ruth Angulo - Piano Infinito

En mi demostración he tratado de huir de la aritmética modular deliberadamente, para que sea accesible al mayor número de personas posible, aunque en el fondo se trata exactamente de eso.

Y aquí está: un-piano-gigantesco-demostracion-SAP

12 comentarios

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12 Respuestas a “7º Desafío Matemático; mi demostración

  1. Antonio

    Hola!
    Creo que esta forma que aporto de obtener la solución es bastante más sencilla y muy fácil de entender para cualquiera:
    Podemos considerar el piano formado por bloques de 7 teclas, siendo Do la primera, de la forma 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ………..Si escribimos la sucesión de teclas tocadas obtenemos:
    1, 2, 4, 7, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 7, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 7, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 7, 4, 2, 1,…………donde observamos que el bloque de 7 teclas 1, 2, 4, 7, 4, 2, 1 se repite periódicamente. Entonces en 7000 teclas de dicha sucesión hay 7000 : 7 =1000 bloques de esas 7 teclas y como en cada bloque está el 1(Do) dos veces, el 2(Re) dos veces, el 4(Fa) dos veces y el 7(Si) una vez, tendremos que la tecla Do es tocada 2×1000=2000 veces y que las teclas Mi, Sol y La no son tocadas ninguna vez.
    La cuestión ahora es ¿qué asegura que ese bloque de 7 teclas se repita continuamente?. Pues esto es así porque siempre se hace la misma operación, saltar una tecla más, con lo que en cuanto se produce por primera vez la repetición de una secuencia de teclas tocadas, 1-2, es esta secuencia, las teclas pulsadas posteriormente serán las mismas y el bloque anterior a esa secuencia de teclas es el que se repetirá sucesivamente. Digamos que es como realizar siempre la misma traslación.
    1(0)2(1)4(2)7(3)4(4)2(5)1(6)1(7)2(8)4(9)7(10)4(11)2(12)1(13)1(14)2 (15)4(16)7 (17)4(18)2(19)1 (20)1(21)2(22)4(23)7(24)4(25)2(26)1(27)1(28)2
    El número entre paréntesis entre dos teclas consecutivas pulsadas indica la cantidad de teclas saltadas entre una y otra pulsación. La diferencia de teclas saltadas entre dos teclas consecutivas es siempre 1.En cuanto se produce por primera vez la repetición de una secuencia de teclas pulsadas, 1-2, es esta secuencia, las teclas pulsadas posteriores serán las mismas y el bloque anterior a esa secuencia de teclas es el que se repetirá sucesivamente. Luego todos los bloques de 7 teclas equivalen a repetir sucesivamente el bloque 1 (0) 2 (1) 4 (2) 7 (3) 4 (4) 2 (5) 1.
    Antonio

  2. jabon

    Esta parte nos supera a quienes tenemos conocimientos más limitados de matemáticas. Expuesta así, llego a entender algo.

    Yo intentaba buscar la explicación con mis escasos conocimientos en el tema de funciones, buscando una que me diese una representación de esos valores continuos o incluso una sinusoidal (que también podría pensarse). Evidentemente, esto aún me superaba más y es muy probable que eso sea inviable.

    • Lo de la función sinusoidal es curioso, porque si representas en un eje vertical las 7 notas y en otro horizontal los términos de la sucesión y unes los puntos que vas obteniendo, resulta algo como una pelota botando en la que cada bote describe una forma semejante al anterior pero más largo.

  3. Turner

    Yo lo razoné creo que de manera más simple. Haciéndolo con números, como Antonio se ve facilmente que después de pulsar 7 teclas nos encotramos otra vez en la situación inicial, en un “do” o (o la tecla 1) a partir de ahí hay que sumar 1 (en realidad 8 pero con siete teclas equivale a saltar una octava u sumar 1) luego 2, 3 .etc. Es decir la secuencia que hemos visto en las 7 primeras pulsaciones necesariamente se va a repetir indefinidamente.

  4. Doctor Triana

    Hola:

    Creo que había una forma más fácil de demostrarlo.

    Había que pulsar, saltar 0 teclas, pulsar, luego 1, pulsar, luego saltar 2,… Debido a la disposición del piano, pulsar, saltar 6 teclas y pulsar, vuelves a la misma tecla (de la siguiente escala), saltar 7 es lo mismo que saltar 0,… Por tanto, sólo había que determinar la primera serie (Do, Re, Fa, Sol, Fa, Re, Do). Después quedaba demostrado que la serie se repetía.

    Como habéis comentado, determinando ese bloque, salían las solcuciones.

    Saludos.

    • Sí, sí, si tenéis razón, la idea está clara y todos la vimos, pero demostración, lo que se dice demostración, consiste en probar la veracidad de la tesis que se propone, no en explicarla…

  5. Vamos a ver, me explico; si queremos demostrar por ejemplo que el producto de tres números naturales consecutivos es siempre múltiplo de tres, podemos ver claro que es cierto, pensando que cada tres naturales consecutivos necesariamente uno es múltiplo de tres, y por lo tanto su producto va a incluir el factor 3 (elevado a la potencia que sea…) etc, etc, pero eso no es una demostración de la propiedad. En este caso recurriríamos normalmente a demostrar por inducción sobre n:
    n·(n+1)·(n+2)=3k (n,k, naturales)
    n=h …
    n=h+1 …
    ………..

  6. Alex

    Vaya… veo que mi intuición era buena cuando vi que en base 7(lo de base 7 fue una pista de Santi :D) las notas siempre terminaban en la misma unidad. Pero lamentablemente no supe llegar a una demostración de que aquello que se repetía hasta que me cansé de escribir números en un hoja, seguiría haciéndolo hasta por lo menos la 7000-ésima tecla, como mínimo.

    Gracias Santi por compartir tu explicación :)
    Haber si los de El País ofrecen ya la solución…

  7. Miletón

    Esta ha sido mi respuesta; a ver si me aprueba el profe (sólo pongo la demostración, a ver si cabe):
    Consideremos las teclas tocadas (7.000) como una serie numérica representada cada una por su posición con respecto a la primera “Do” que será el número 1. Así, los primeros elementos de la serie, según las condiciones, serán:
    1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, ….
    La correspondencia de cada elemento con las notas se puede establecer através de su resto al dividir por siete, siendo entonces:
    1 = Do; 2 = Re; 3 = Mi; 4 = Fa; 5 = Sol; 6 = La; 0 = Si
    Así las cosas, podemos comprobar que las primeras siete teclas que se tocarán serán: Do-Re-Fa-Si-Fa-Re-Do (1, 2, 4, 0, 4, 2, 1); y que las siete siguientes serán las mismas, y así sucesivamente.
    Por tanto, parece que existe una periodicidad en las teclas que se van tocando, que, de cumplirse hasta el final, daría lugar a las soluciones aportadas. Demostrando dicha periodicidad, quedarían demostrados los resultados.
    Cualquier elemento de la serie de teclas pulsadas (n) se puede representar en relación al anterior (n-1) con la siguiente expresión:
    X n = X n-1 + (n-1)
    Los siete elementos siguientes, por tanto, serían:
    X n+1 = X n + n
    X n+2 = X n+1 + n + 1
    X n+3 = X n+2 + n + 2
    X n+4 = X n+3 + n + 3
    X n+5 = X n+4 + n + 4
    X n+6 = X n+5 + n + 5
    X n+7 = X n+6 + n + 6
    De donde, por sustitución, concluiremos que
    X n+7 = X n + 7n + 21
    Lo que quiere decir que la diferencia entre el valor numérico de cualquiera dos teclas pulsadas separadas entre sí por otras seis teclas pulsadas es igual a 7n +21, valor que es múltiplo de siete; por lo tanto, esas dos teclas tendrán idéntico resto en su división por siete, o sea, se corresponderán con la misma nota. Con lo que se demuestra que existe una periodicidad en la serie de notas tocadas de una amplitud igual a siete. Habrá entonces 1.000 de esos periodos, en los que se toca dos veces la nota Do; por tanto, Do será pulsada 2.000 veces. Los restos de dividir por siete 3, 5 y 6 no se dan nunca, ; luego las notas Mi, Sol y La no se oirán en ninguna de las 7.000 pulsaciones.

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