Una enorme potencia de 2


Así resolví yo el desafío de esta semana:

enorme potencia de 2

Varias personas me han enviado sus razonamientos, los publico ahora en los comentarios del post dedicado a este 9º desafío.

Edgar Degas - Dos bailarinas en la barra

11 comentarios

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11 Respuestas a “Una enorme potencia de 2

  1. Sin embargo el gran enigma de la semana no eran los dos últimos números, ni mucho menos por qué esos números eran el 5 y el 2. El gran enigma lo puso sobre la mesa jabón; ¿cuál es la relación entre la solución y el Obispo Pedro Damián? Jabón, con tu permiso voy a desvelarlo porque hay gente que no podrá dormir si no lo hago:

    San Pedro Damián, Cardenal, Obispo de Ostia, Doctor de la Iglesia (año 1072) se celebra el 21 de Febrero: quincuagésimo segundo día del año.

    • Jesus

      Y el actor Pedro Damián,
      http://en.wikipedia.org/wiki/Pedro_Dami%C3%A1n
      nació en 1952…
      LOL

      Por cierto, yo lo he resuelto exactamente como tú pero en java (al cual soy adicto)

      Saludos
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
      import java.util.HashSet;
      import java.util.Hashtable;

      public class Numbers {

      public static int END_OF_EXPRESSION = 97301;
      public static int NUMBER_OF_DIGITS = 6;

      /*
      * @param args
      */
      public static void main(String[] args) {

      HashSet endings = new HashSet();
      Hashtable endingsTable = new Hashtable();
      Hashtable indexesTable = new Hashtable();

      int index = 1;
      int ending = 1;
      int correction = 1;
      int lastEnding = ending;
      int repeatedIndex = 1;

      for(int j=0; j<NUMBER_OF_DIGITS; j++) correction=correction*10;

      while(true) {
      ending = ending * 2;
      ending = ending – (ending / correction) * correction;

      if(endings.add(ending)) {
      System.out.println("index:" +index + " value:" + ending);
      endingsTable.put(ending,index);
      indexesTable.put(index,ending);
      } else {
      repeatedIndex = (Integer) endingsTable.get(ending);
      break;
      }

      index++;
      }

      System.out.println("repeatedIndex:" + repeatedIndex);

      int expressionEnding = END_OF_EXPRESSION – (END_OF_EXPRESSION / correction) * correction;
      int rest = expressionEnding;

      while(restindex) {
      rest = rest – index + repeatedIndex;
      }

      System.out.println(“Result:” + indexesTable.get(rest));

      }

      }

  2. jabon

    Muchas gracias a todos por vuestro interés, y mis disculpas a quienes se hayan sentido molestos, no era mi pretensión.
    Con lo del obispo Pedro Damián buscaba dar pistas, aunque el desafío era bastante sencillo.
    Vaya por delante que no soy devoto y sólo piso la iglesia en ceremonias.
    Aparte de celebrase su festividad el 52º día del año como apunta Santi, se trata de un hecho que también es periódico, se repite cada año.
    Y sí que parece que hay un hecho anecdótico, porque inicialmente parece que su festividad era el día 23 de febrero, y luego se cambió al 21. Pero su muerte parece ser que ocurrió el 22. Esto me ha picado la curiosidad y ya intentaré averiguar el motivo.

  3. Turner

    Cosas de la vida, yo lo que encontré en Google era actor, director y productor de cine mejicano, llamado tambien Pedro Damian y nacido en ……………¡¡¡1952!!!!!
    Increible pero cierto.

    Mi demostración era parecida, aunque me parecia más sencillo demostrar que si el exponente era multiplo de 100 la potencia acababa en 72. Luego añadir uno al exponente es multiplicar por dos y se obtiene el 52

  4. Turner

    Errata
    donde dice 72 quere decir 76

    Es el reto con el que más me he divertido, además descubrí una de esas curiosidades que tanto gustan a los matemáticos, y es que un el cuadrado de un número acabado en 76 acaba también en 76.
    Es posible que para un matemático sea elemental, pero para mí, el descubrirlo, y además que me llevase a la solución, me ha encantado

  5. Pedro Correa

    En las soluciones que habéis puesto, muchos habéis visto que el 76 cumplía que 76*76 acaba en 76; otros habéis puesto que el ciclo se repite cada 20 repeticiones, pero no habéis puesto por qué os habéis fijado en el 76.

    Toda potencia de 2 es múltiplo de 4 (excepto el 2). Esto ocurre si y solo si las dos últimas cifras son múltiplo de 4. Tenemos 25 posibilidades, por tanto, tantas como olimpiadas hay en un siglo.
    También sabemos que un número es múltiplo de 5 si acaba en 0 ó en 5. Pero una potencia de 2 no puede ser nunca múltiplo de 5. Por tanto, de las 25 posibilidades, hay 5 que no se podrán dar: que acabe en 20, en 40, en 60, en 80 y en 00. Nos quedan, por tanto 20 posibilidades para las 2 últimas cifras para cualquier potencia de 2 mayor que 2^1. Por eso es por lo que probamos con 2^20 como número “posiblemente especial”. Visto de otra forma, si dividimos 2^n entre 100 tenemos 20 restos posibles.

    Para demostrarlo matemáticamente, basta comprobar que (2^n)*(2^20) – (2^n) es múltiplo de 100 (por lo que sus dos últimas cifras serán iguales). Con esto es con lo que se demuestra que el ciclo se repite cada 20 potencias de 2.

    En resumen: un problema con un enunciado sencillo, conciso y atractivo, con una demostración muy interesante desde todos los puntos de vista.

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