10º Desafío Matemático de El País: Cómo rellenar con piezas un tablero


María López Valdés, licenciada en Matemáticas y promotora de la empresa Bit&Brain Technologies, presenta el décimo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del martes 24 de mayo (00.00 horas del miércoles). Entre los acertantes sortearemos unabiblioteca matemática como la que ofrece cada semana EL PAÍS. Este domingo, por 9,95 euros con el periódico en el quiosco, Mapas del metro y redes neuronales, de Claudi Alsina.

NOTA IMPORTANTE: Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito.

Tenemos un tablero cuadrado de 9×9=81 casillas iguales y 20 piezas idénticas de la forma que se muestra en el vídeo.

Se trata de ir poniendo piezas en el tablero en cualquier posición, como en un puzzle, con el objetivo final de cubrir el MAYOR número de cuadrados posible, o lo que es lo mismo, dejando vacíos el MENOR número de cuadrados posible. Cada cuadrado de la pieza ocupa exactamente un cuadrado del tablero y las piezas no se pueden solapar.

Dividimos el problema en dos cuestiones:

1. Demostrar que NO ES POSIBLE cubrirlo dejando solo un cuadrado libre.

2. ¿Cuál es el MENOR número de cuadrados que pueden dejarse VACÍOS en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?

Nota: Las piezas son reversibles

76 comentarios

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76 Respuestas a “10º Desafío Matemático de El País: Cómo rellenar con piezas un tablero

  1. jabon

    Este tipo de lógica espacial no es lo mío, y tampoco he jugado mucho al Tetris.
    Veo algo…., pero no sé, no entiendo el motivo. ¿El resultado?, ese número que pienso era el preferido de mi profesor de mates de C.O.U.

    A la vuelta del fin de semana, lo retomaré; cuando lea vuestros comentarios.

  2. Jose Luis

    Personalmente, me parece un desafío demasiado simplón, en cuento a la primera pregunta (casi diría que insultantemente ridículo)

    En cuanto a una posible solución a la hora de dejar el menor número de celdas en blanco, me temo que lo han planteado como una mera cuestión de simple prueba y error. A lo mejor por programación lineal se podría montar algo, o hay algo que se me escapa.

    Ojalá me equivoque y nos sorprendan con la solución. Aunque no habría que descartar la aparición en escena de algún obispo

    Saludos

  3. Sí, la primera pregunta es realmente fácil, aunque me he quedado bastante satisfecho con la demostración que se me ha ocurrido, es bastante bonita. En cuanto a la segunda, en cuanto tenga un ratillo la miro. Desde luego sé que nunca se podrán llenar más de xx casillas (jejeje, ya empezamos a ponernos eróticos con tanta x) pero no sé si se puede llegar a esas xx o no.

    No sé si esta semana esto va a dar mucho juego…

  4. Keith

    El problema es el que más me gusta de los que han publicado. Lo que me parece deplorable es que usen a las matemáticas para vender automóviles, o para promocionar a la empresa de esta señora.

    • Hombre, míralo de este modo, poner anuncios es su forma de subsistir y hacer su negocio, a cambio nos proponen estos problemillas que nos entretienen de una forma bastante honorable, usado nuestra inteligencia. Lo de la empresa de la señora, me imagino que será una deferencia de El País por colaborar con un problema. Yo no lo veo mal.

  5. jabon

    De la primera no comento nada…
    En la segunda he hecho un planteamiento que me conduce a una curiosidad.
    Por eso ya me he parado. ¿Habéis observado algún hecho curioso también?

  6. Pedro Correa

    La primera me parece fácil de resolver, pero mi demostración no me parece para nada elegante.

    La segunda… he estado bastante rato rellenando casillas y no he sido capaz de dejar menos de xx espacios en blanco. Pero me parecen demasiados. Me da la sensación de que la respuesta puede ser x, pero no sé cómo llegar a ella. De hecho he tenido el impulso de mandar las soluciones x, x, x y x usando a miembros de mi familia. Pero me parece poco ético, sobre todo cuando se supone que no lo hacemos por el premio, sino por el placer personal de las matemáticas.

    De todas formas, este me parece el desafío menos matemático de todos.

  7. Zapa

    He resuelto el problema de golpe y con un augumento bastante simple, eso sí, despues de darle bastantes vueltas.
    Me parece un problema muy bonito tras encontrar la respuesta.
    A primera vista, no me gusto.

    Pero al final vi la luz y me pareció fascinante.

    Un saludo y enhorabuena por el foro.

  8. jabon

    bueno, me marcho de viaje.
    Ya me indicáis si voy por buen camino

    Según mis cáculos en un tablero de 1111 x 1111, por poner un ejemplo

    quedarían 2221 huecos vacíos (casi me parece muchos)

    O en uno de 1800 x 1800 (3596)

    No sé si voy bien.

    Hasta la vuelta, que veré lo que me indicáis.

    • Pues yo estoy en el punto de que sé la solución (me refiero a la segunda pregunta, la primera ya la tengo demostrada) pero quiero encontrar una demostración simple. La verdad es que no he generalizado la solución, pero aun no he dispuesto de 5 minutos seguidos para pensar.

    • Keith

      Coincido con tus cálculos.

    • Javier

      Jabon… también he llegado a esa conclusión. Según mis cálculos 1111 x 1111 quedarían 2221 huecos y en uno de 1301 x 1301 quedarían 2601 huecos.
      En un principio creí que estaba equivocado, pues son demasiados huecos libres… pero al ver tu comentario me ha hecho pensar que voy por buen camino.

      De momento este es el desafío que menos me ha gustado.

      Un saludo.

  9. Jose Luis

    De la simple observación y razonando un poco, llego a estas conclusiones:

    Para tableros “par x par” de “n” casillas por cada lado
    Casillas en blanco: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

    Para tableros “impar x impar” de “n” casillas por cada lado
    Casillas en blanco: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

    Saludos

    • Jose Luis

      Se había colado un signo menos que no correspondía. Quería decir:

      Para tableros “par x par” de “n” casillas por cada lado
      Casillas en blanco: n + (((n/2)-2)*2)

      Para tableros “impar x impar” de “n” casillas por cada lado
      Casillas en blanco: n + (((n-1)/2)*2)

    • Ok, lo publicamos el martes. El problema que yo estoy encontrando es que la respuesta se base sólo en la observación, trataré de llegar a una explicación más convincente.

  10. Ahora que ya llevamos 10 de los 30 desafíos, he creado una encuesta para ver las preferencias de la gente:
    https://santiprofemates.wordpress.com/2011/05/20/encuesta-para-el-club-de-los-frikis-de-los-desafios-matematicos/

  11. La primera sale con razonamiento directo, y la segunda parte también con un poco de “colorete”. Ninguna de las dos pruebas requiere ni dos líneas.

    • Keith

      Me parece a mi que, en la segunda parte, lo que se puede demostrar en dos líneas, con un poco de colorete, es que la cantidad mínima de casillas vacías debe ser por lo menos X. Para demostrar que es efectivamente X creo que hacen falta un poco más de dos líneas (depende de qué tan largas sean las líneas, por supuesto :). Una forma (hay otras, por supuesto) es dando un ejemplo concreto con X casillas vacías.

  12. Parece aburrido, pero si te ponés a probar seguro que lentamente se va volviendo entretenido.

    Yo jugué ajedrez muchos años, de forma profesional, ya estoy bastante retirado, pero hay ejercicios similares en el ajedrez. Muy buena entrada!

    Un beso!

  13. MN

    Sugerencia:
    Hola Santi, algunas de tus páginas pueden llegar a tener muchos comentarios, esto es muy bueno, pero uno puede volver varias veces, incluso en distintos días, a seguir desde donde terminó en la última visita, sería útil si cada comentario fuera numerado para buscar antes donde te quedaste en vez de releer post.

  14. Marta

    Hola otra vez!! Este a mi me ha costado un poco… lo considero de “idea feliz” como decíamos en la carrera de Mates…
    AL final la solución me la dado el fijarme en que las filas y columnas estaban numeradas….
    Os envío mi solución para que Santi la censure convenientemente hasta el miércoles….

    Solución al 10º Desafío Matemático de El País: Cómo rellenar con piezas un tablero.

    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

    Muchas gracias y un saludo,
    Marta.

    • Marta, simplemente CHAPEAU! esto que has mandado es lo que yo buscaba y aún no había encontrado. El miércoles lo publicaré con todos los honores aquí en los comentarios.

      Otro saludo y gracias a ti.

    • Por cierto, debo darme una colleja a mí mismo, no busqué con demasiado empeño porque no tenía demasiada fe en que existiese una solución como esta. Yo esta semana no lo envío (aunque no pedían demo ¿no?)

  15. Hola,

    bueno, esta semana no he podido ponerme “al tema” hasta esta tarde y creo que coincido con la mayoría: para una rejilla de 2577 x 2577 yo diría que me quedarían 5153 cuadrados libres.

    Pero, como me pasa siempre (habláis de demostraciones “elegantes” de un par de líneas) creo intuir que la mía es mucho más tosca, menos teórica y más por “fuerza bruta”. Santi, te la copio aquí debajo (por supuesto, conviértela en un nuevo párrafo erótico lleno de x) y te agradecería que me dijeras en qué grado de “elegancia” me he quedado: ¿algo parecido al “primer nivel de elegancia”, que era esa primera solución que decías compartir con Keith? ¿Algo entre ese “primer nivel” y el “segundo nivel” que dices que es la elegantísima solución de Marta? ¿Soy tan “bruto” en mi enfoque, tan poco teórico y sutil, que incluso estoy muy por debajo del “primer nivel”? Ponme nota en sutileza y elegancia, je, je.

    Una vez más, por supuesto, mi agradecimento por este agradable lugar para convertir una anodina tarde de domingo en un buen divertimento con números, o, en el caso de hoy, jugando al tetris :-)

    Aquí va mi demo:

    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

  16. jabon

    Veo que hay coincidencias en general.
    Al principio me parecían muchos huecos libres la verdad.

    • Sí, pasa como casi siempre; el resultado se ve fácil, el verdadero reto es demostrarlo de una forma sencilla.

      • Tengo una nueva solución, más abstracta, más “elegante”, menos “bruta” que la anterior. Te la copio aquí abajo (la censuras como siempre, por supuesto) y ya me dirás si por lo menos he llegado al “nivel uno” de elegancia, je, je.

        XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

        • JAJAJA yo creo que ahora subes al nivel 1,5; básicamente es la misma que la de marta pero se puede resumir de una manera algo más sencilla. Muy bien vincent, eres un crack.

          • Uffff…. Ya puedo dormir tranquilo, qué peso me quito de encima :-)

            Ya en serio, muchísimas gracias, Santi. Es en casos como éste en los que veo de forma más clara la valiosa función de este blog: sin él, y tras hallar mi primera solución (bastante tosca, pura fuerza bruta), no habría tenido ningún “feedback” y, aunque no es que estuviera especialmente orgulloso de ella, me habría quedado ahí, sin ningún estímulo, sin ninguna referencia, para continuar.

            Pero gracias a este blog (gracias a ti, Santi, y a todos los que comentan) el gusanillo de la curiosidad ha seguido ahí, incansablemente, hasta llegar a una mejor solución.

            Espero con impaciencia a que termine el plazo para poder ver las soluciones tanto de “nivel uno” (Keith y Santi) como la de “nivel dos” (Marta).

            …ya ya de paso saber qué pinta la semana santa en todo esto, jabon siempre metiendo pistas de estas intrigantes que te dejan con ganas de más :-)

          • Me sonrojas vincent… yo también estoy impaciente con la semana santa; me huele a que tendrá algo que ver con cruces, pero no sabría explicar por qué; intuición femenina ;-)

  17. Javier

    Esta vez me siento incapaz de encontrar algo que demuestre lo que veo con tanta claridad.
    Sin embargo (y no lo puedo demostrar)… si en lugar de la figura planteada en el desafio fuese una L (3 piezas + 1 pieza) si sería posible dejar un hueco libre en tableros n x n (siendo n un nº impar).
    Un saludo.

  18. Yo acabo de ver el vídeo, esta semana entre las elecciones y otros menesteres, ni me he acordado del desafío.

    Le echare un vistazo, aunque a simple vista, no se me ocurre nada XD

  19. Vale ya he visto que si es impar sale que los huecos son xxxxxxxxxx. Pero la primera que es la simple sigo sin verla

  20. Maureen

    Hola. Llevo participando en el concurso desde el primer desafío y leyendo los desafíos en este blog casi desde entonces, pero no había tenido ocasión de comentar nada hasta ahora.
    En primer lugar, decirte que me gusta leerlo porque es más o menos el único sitio donde se están discutiendo estos problemas de una forma amena y educada (los comentarios que hacen en El País no me gustan, hay demasiadas descalificaciones).
    Y en segundo lugar, el problema me ha parecido de los más interesantes. Me ha costado varios días darle vueltas y no se me ocurrió la solución hasta que vi un tablero de ajedrez. He llegado a una conclusión corta y yo diría que elegante por su sencillez. Si no aparece por aquí, la publico el miércoles, aunque me da que no soy la única que ha razonado así, por algún comentario que he leído :-)
    Un saludo a todos

  21. Pedro Correa

    La primera demostración es muy fácil, pero la segunda… quería dar la enhorabuena a los que la habéis logrado.

    A mí me ha llevado varias horas de autobús y no he dado con ella, aunque la respuesta sea la misma que la que se obtendría rellenando el tablero con cuadrados 2×2, no he sido capaz de demostrarlo.

  22. Borja

    Hola a todos, como cada semana creo haber llegado a la solución, te la envío por correo. Evalúa mi nivel de elegancia, ¿vale? HE de decir, que hasta ahora es el que más se me ha atrancado.

    Hasta pronto

  23. Tengo la solución redactada en un ordenador al que accederé mañana por la mañana. En cuanto me siente frente a él, la publico.

  24. Miletón

    Hola.
    Esta semana he tenido poco tiempo y, aunque os he leido, no he intervenido (que casi siempre lo hago buscando pistas). Esta mañana ya he leido alguna respuesta que parece razonable; pero es que para mi la primera parte ya estaba demostrada de por sí. Me acordé por los puzzles de M. Gardner. La ficha en cuestión es un tetromino, el Z-tetromino, que casualmente es el único de los cinco que no puede ser rectificado, es decir, que no se puede formarse un rectángulo con duplicados del mismo; para cualquier tablero rectágulo que intentemos cubrir quedan al menos dos cuadros huecos. En este sentido ha sido mi respuesta, no se si valdrá como solución correcta. Un saludo.

  25. Marta

    Hola Santi,
    creo que esta semana fui yo la que te estropeó la solución (para una vez que se me ocurre rápido…). La verdad es que pensé que ya la tenías…. Lo siento un montón. Para otra vez, tendré más cuidado….

    Un saludo y gracias por todo!!
    Marta.

    • No te preocupes Marta, te confieso que fue un alivio, porque no estaba muy motivado, lo que pasa es que como me gustó tanto, me fastidió no haberla descubierto yo, jajaja esta semana eres la heroína del Blog, gracias.

  26. Javier

    La solución de Marta es … ¡CHAPEAUXCELENTE!
    No sólo demuestra que no se puede dejar un hueco… además demuestra cual es el mínimo de huecos.
    ¡Las dos preguntas en una sóla demostración¡.
    y cierto…. es ¡SENCILLA, INGENIOSA y ELEGANTE!.
    Me tiraría de los pelos por no ser capaz de descubrirla si no fuera porque no tengo.

  27. Manuel

    Hola a todos,
    No consigo ver esa solución aportada por Marta. Estoy más que intrigado.

    saludos.

  28. pipin

    Discupar mi patosería, pero como puedo ver la elegantísima solución de Marta.

    Saludos.

  29. pipin

    Disculpar mi patosería, pero como puedo ver la elegantísima solución de Marta.

    Saludos.

  30. pipin

    Gracias Santi, y efectivamente la explicación de Marta de chapeao.
    Saludos.

  31. Esta semana, me costo ponerme, luego di una solución, como la que indican arriba del tetris. Por cierto ¿cómo decís que es la solución de Marta?

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