BOMBILLAS


Este problema se puso el año pasado en la prueba de selección de ESTALMAT en Castilla y León. Aquí lo dejo para los aficionados a este tipo de retos… por 2 gallifantes:

Raúl ha montado un circuito eléctrico formado por 25 bombillas y 10 interruptores, A,B,C,D,E,F,G,H,I,J  como en el dibujo de la abajo. Si tocamos un interruptor cualquiera las 5 bombillas situadas en la línea del interruptor cambian de estado, es decir las que estaban encendidas se apagan y las que estaban apagadas se encienden.

PREGUNTA 1: Si inicialmente están todas encendidas (figura a), describe un proceso por el que se llegue a la situación de la figura b, donde los puntos representan las  bombillas que están encendidas y el resto están apagadas.

PREGUNTA 2: Imagínate que inicialmente tenemos la situación dibujada en la figura c (los puntos rojos son bombillas encendidas) ¿Podrías manipular los interruptores de manera que en cada una de las 10 líneas haya más bombillas encendidas que apagadas?

PREGUNTA 3: Si partimos de una situación como la de la pregunta 2, manipulando  los interruptores ¿se podría llegar a tener todas las bombillas apagadas?

PREGUNTA 4: Sabrías decir cuántas configuraciones son posibles para las bombillas. Partiendo de la configuración de la pregunta 2 ¿cuántas configuraciones distintas se pueden obtener manipulando los interruptores?

PREGUNTA 5 (BONUS TRACK): ¿cuál es el total de configuraciones posibles?

48 comentarios

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48 Respuestas a “BOMBILLAS

  1. Lo pensaré esta tarde, parece divertido ;)

  2. 1:
    Desconectamos ********************

    2:

    Primero *******************************

  3. 3:

    Me sale que ****, pero por ahora no sé demostrar por qué

  4. pipin

    Tiene su gracia, aunque la cuarta pregunta se ma ha atravesado.

    Saludos.

  5. 3: *********************************************** Todavía buscando el por qué matemático, he probado con Álgebra de Boole, pero me sale un mastodonte de matriz.

    4: Me sale que puedo ******************************************* aún no lo tengo ;)

    Mañana más

  6. Idea feliz:

    **********************************.

  7. Lo siento me he picado:

    *************************************

    Me voy a dormir :(

  8. Pregunta 1: Se ve con bastante facilidad, casi intuitivamente y de un golpe:****

    Pregunta 2: Un poco por ensayo y error, probando y arreglando lo que se estropea en cada paso: ****

    Pregunta 3: Idea feliz (aunque con un desarrollo “un poco” enrevesado, estoy seguro de que hay una solución mucho más fácil, evidente y elegante que ésta): Si suponemos que las bombillas encendidas son****************************

    Pregunta 4: Como estoy casi seguro de que mi respuesta a la pregunta 3 no es la “oficial” o “esperada” (vamos, la que te serviría para encaminarte, ampliando y generalizando su razonamiento, hacia la solución de la pregunta 4), esta última no tengo ni idea (aún) de cómo afrontarla, ejem…

  9. Bueno esas serían las posiciones posibles de los interruptores, evidentemente ahora que lo pienso, para asegurar lo anterior habría que ver si una misma posición puede tener distantas distribuciones de bombillas encendidad.

    Lo pensaré esta tarde, pero si es como tú dices, es lo mismo que el anterior pero sabiendo que cada 4 bombillas (cuadrito) pueden tener 8 posiciones diferentes, y como hay 16 cuadritos..,

  10. Me remito a mi soluciñon anterior (sólo que estaba mal calculada), no es ************************** posiciones posibles de los interruptores

  11. Keith

    1) C************************
    2) C**************************
    3) *******************************e bombillas
    4) *******************************************

  12. No entiendo muy bien la cuestión 5, ¿en que se diferencia de la 4?, es decir, ¿te refieres a configuraciones independientes de los interruptores?, es decir se cuál sea la posición de partida, sabemos que hay configuraciones a las que nunca llegaremos. Por lo tanto tu pregunta es: ¿Cuántas configuraciones hay de bombillas sin tener en cuenta si son o no posibles?

    Si es así yo digo que ***** posibilidades

  13. Pregunta 4: Creo que cuando más y mejor pienso, cuando más “ideas felices” se me ocurren, es por la noche mientras no me duermo, je, je. Ésta es mi idea, aunque se podría resumir voy a ser muy explícito, detallando todos los pasos para asegurarme de que no me he confundido en el razonamiento:

    **********************************

    Por cierto Santi, se me olvidó comentártelo ayer: precisamente, mira tú que casualidad, ayer mi sobrino de doce años estuvo haciendo las pruebas de ESTALMAT para la Comunidad de Madrid. Había 400 y pico críos y creo que sólo cogían a 25, a ver si tiene suerte.

    (Y esto último si quieres “censuralo”: mi sobrino asegura que el niño que estaba a su lado resolviendo las pruebas tenía una calculadora escondida entre las piernas que se sacó del bolsillo, pero que no quiso ser un “chivato” y no se lo dijo a los profes que cuidaban el examen… Supongo que no será la habitual, pero es triste pensar que hay padres o “educadores”, entrecomillo porque en realidad no lo son, que digo yo que serían conscientes de la trampa, que prefieran que su niño “gane como sea” a realmente saber si es bueno o no… Que esto no es un casino que ganas dinero y hay que ganar como sea, coño, se supone que esto lo haces para que tu hijo o tu alumno, si tiene aptitudes, y si demuestra estar entre los mejores, las desarrolle, no es que te vayan a regalar como premio un coche o un apartamento… Me dio mucha pena según el enano me lo contaba, en serio)

    • Jo***… tu razonamiento es completísimo, el caso es que ya sois dos que decís *** pulsaciones y a mí me da: 2·***-1. Tendré que revisar mis cálculos…

      En cuanto a lo del Estalmat de tu sobrino, entrar en el de Madrid debe ser realmente duro; mucha competencia, ojalá lo consiga. Lo de la calculadora es una pena y es vergonzoso, pero ten en cuenta que lo que se busca en estas selecciones en ningún caso te lo puede dar una calculadora, lo que se busca son chicos que sepan razonar, que piensen bien, diría que el resultado final es lo de menos, porque entre otras cosas casi ninguno llega (por ejemplo, este de las bombillas era uno de seis ejercicios, a resolver en dos horas, imposible; lo que buscas es alguno que esboce una estrategia adecuada, más que si le salen 512 o 1023, eso importa menos)

      • Primero: gracias por tu comentario a mi razonamiento :-)

        Segundo: sobre los exámenes de ESTALMAT, sí, yo ya daba por supuesto, entre lo que me comentó el sábado mi sobrino de las “burradas” que les habían preguntado y entre ver este problema de las bombillas (¡yo me tiré un finde dándole vueltas! ¡y se les plantea a chavales de doce años, no uno, sino SEIS problemas como éste, con sólo dos horas de tiempo!) de que el examen se plantea, no tanto para que lo resuelvan completamente (materialmente imposible) sino para ver cómo plantean sus estrategias, y que una calculadora sería un poco inútil… pero, aún así, habrá algún problema para el que puedas usarla al menos para que te dé un “orden de magnitud” y sepas que vas por el buen camino (por ejemplo, mi sobrino me habló de un problema que parecía de probabilidad, de tirar no sé cuántas veces una moneda… si tienes una calcu que te dice directamente las primeras 10-15 potencias de dos -si los críos curraran con ordenadores se las sabrían ya de memoria, je, je- ganas tiempo), y, por otro lado, ayude o no, no deja de estar la censurable y “sucia” intención de hacer trampas. Como me dijo una vez no sé quién: “infiel e hijo de… no es el que pone los cuernos a su mujer, es el que lo intenta” :-)

        Pero, vamos, que te lo dije sólo en plan “anécdota” y pataleo, te doy la razón en que la calculadora supondrá poca diferencia en la calificación del chavalín de marras.

  14. Acabo de ver el “bonus track”, la pregunta 5… Debe ser que aún estoy medio dormido, pero no entiendo la diferencia con la pregunta 4, ¿podrías aclarar las diferencias entre ambas preguntas, por favor?

    • No es lo mismo cualquier configuración posible (aproximadamente… un huevo de ellas) que las que se pueden obtener a partir de la configuración de la figc. (El comentario largo, ahora no puedo leerlo, luego contesto)

    • Ya te adelantaste y la respondiste en el comentario largo ;)

      • Je, je, suponía que te referías a eso, lo que yo llamaba en mi razonamiento configuraciones “posibles” (las teóricamente compatibles con el tablero) y configuraciones “accesibles” (la que serían “realmente” alcanzables manipulando los interruptores, lo cual entronca directamente con la pregutna 3), ¿verdad?

        Es que me “enrollé” tanto con la pregunta 4, quise ser tan explícito y cuidadoso para no dejar cabos sueltos que hasta acabé respondiendo a más cosas de la cuenta :-)

  15. ACLARACIÓN: gogely y vincent, me habéis convencido, tanto vosotros como keith y yo llegamos a un mismo número: x. En ese punto yo hacía x-1 y vosotros x/2. Y sí, tenéis razón, yo sólo consideraba que los casos PULSAR TODOS y NO PULSAR NINGUNO eran equivalentes; pero lo cierto es que cada caso tiene su equivalente.
    Grace 1000 ;).

    • Al contrario Santi, gracias x 1000 (o x 10^6, ó x un gugol, ó x un “gugolple” como los bautizó Carl Sagan) a ti por plantearnos el problema, proporcionarnos este foro de discusión y amablemente comentar / discutir nuestras respuestas. No sabes lo que gana un fin de semana sin mucho que hacer con retos como éste, je, je.

      Yo al principio ni me di cuenta de que “todos sin pulsar” y “todos pulsados” eran equivalentes… de hecho, no fue hasta que estaba redactando mi respuesta al final que, casi por casualidad, al hacer una última comprobación, lo descubrí… y, a partir de ahí, lo de que había que dividir entre 2 “el número” :-) me salió inmediatamente, deformación profesional: en mi trabajo muchas veces tengo que tratar con tramas de telemetría y telecomandos de satélites, un chorro de datos que hay que manipular y estudiar a nivel de byte e incluso muchas veces a nivel de bit: tengo tan metido en mi cerebelo el concepto de “complemento a 2” que lo raro habría sido que no me saltaran las alarmas :-)

  16. manuel

    Muy bueno el acertijo. No estoy seguro de haberlo resuelto correctamente, me aventuro a preguntarte así a bote pronto si estoy en lo cierto. A ver,
    ********************************************************

  17. jabon

    Leí anoche este desafío. Las dos primeras sin problema, la tercera anda atascado, no doy con vuestra idea feliz. También estoy algo perdido por ahora con las siguientes, será porque estoy de exámenes finales (los de los chicos claro está), no alcanzo a entender el planteamiento real, y veo alguna similitud, entre preguntas.
    Está claro, que el problema está bien explicado, y soy yo quien tiene la mente nublada por ahora.

  18. jabon

    Mira a ver Santi, si la idea feliz que comentáis tiene que ver con esto:

    ********************

  19. jabon

    Hola Santi, he visto las respuestas, la 4 con las pistas que vi, la tenía solventada.
    La 5 la planteé inicialmente como comentas, pero me surgió una duda, puede que lo del bonus track me influyese, y me dijese ” eso no es para mí”.
    Te explico mis elucubraciones, si en la tercera pregunta hemos demostrado que desde algunas posiciones no es posible llegar a otras y viceversa. Manipulando interruptores, desde cualquier posición inicial, sea cual fuere, nunca podríamos llegar a algunas combinaciones concretas, no sé si me explico bien. El caso es que yo no sabía cómo resolver esa cuestión, como cuantificarlas.

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