12º Desafío Matemático de El País: Solución


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Nuestra demostración es la siguiente. Vamos a suponer que n es el número de vehículos en cada lado del cuadrado incial, n+5 el número de vehículos en uno de los lados del rectángulo final y k el número de vehículos en el otro lado del rectángulo.

Si n^2 = (n+5) k, entonces n+5 divide a n^2 pero como claramente n+5 divide a (n+5)(n-5) = n^2 -25, necesariamente n+5 ha de dividir a 25 = n^2 -(n+5)(n-5) y, como los únicos divisores de 25 son 1, 5 y 25, se deduce que necesariamente n+5 = 25 y, por tanto, n = 20. Es decir, podemos afirmar con total seguridad que participarán 400 coches. Es más, se puede ver que n+5 divide a n^2 si y sólo si n+5 divide a 25.

Esta demostración tan sencilla, nos indica que si, en lugar de 5, hubiéramos pedido que se aumentara en un número primo p de filas, la respuesta hubiera sido que sí se puede decir con total seguridad que participarían (p^2 -p)^2 coches, mientras que si hubiéramos dicho que se aumentara en un número K que no es primo la respuesta hubiera sido que no se podía decir con total seguridad, pues el número de posibilidades que tendríamos serían el número de divisores de K^2 mayores estrictamente que K, ya que bastaría con que n+K fuera divisor de K^2 y el número de éstos es mayor que 1.

Hemos querido, no obstante, dar una demostración (larga) que pensamos podían intentar nuestros lectores y que daba la clave sobre qué es lo que tenían que probar. También podríamos haber optado por realizar la división n^2 /(n+5) y habríamos obtenido k = n^2 /(n+5) = n-5 + 25/(n+5) de donde claramente se obtiene que n+5 ha de dividir a 25. Equivocadamente pensamos que la división de polinomios no sería el camino que se seguiría, pero ésta ha sido la solución elegida por un 10% de los acertantes. ¡Enhorabuena!

Se han recibido 1.865 respuestas de las cuales un 60% aproximadamente han sido correctas. De las incorrectas, el 90% han acertado la solución de 400 coches pero no han demostrado que solo hay una solución (o bien no lo han intentado o bien la demostración que dan no es correcta) por lo que no han entrado en sorteo.

De las soluciones correctas, la opción más elegida (un 60% de los acertantes) ha sido la siguiente:

Si n^2 = (n+5)(n-j), se tiene que 5j = n(5-j) y, por tanto, n = 5j/(5-j). Luego, j sólo puede ser 1, 2, 3 ó 4. Substituyendo estos 4 valores se ve que la única solución que da n un número natural es j = 4.

Esta demostración ha sido muy sencilla debido a que 5 es un número muy pequeño y, aunque no permite visualizar de forma inmediata que la propiedad importante en 5 es la de ser un número primo, sí demuestra que, a veces, un cambio en la notación (k = n-j) simplifica los cálculos.

Aquellos concursantes que han optado por el camino largo expuesto en nuestra primera opción, o bien han cometido un error que les ha llevado a concluir que no se podía decir con total seguridad el número de coches que participaban en la exhibición, o bien han optado por otra demostración larga y que consiste en resolver la ecuación de segundo grado resultante n^2 -nk-5k = 0, lo cual les ha llevado a tener que demostrar cuándo k satisface que k (k+20) es un cuadrado perfecto. En la mayoría de los casos, han probado que k = 16 lo satisface pero no han sabido probar la unicidad (la solución única), salvo en casos excepcionales como precisamente el ganador del concurso Luis Alonso Albir o, por ejemplo, Paula González Gómez o Alfonso Jesús Población Sáez, que lo han probado de una forma muy elegante.

Finalmente, en este problema ni los ficheros Excel, ni los programas informáticos que buscan los números n tales n^2/(n+5) es un número natural sirven para probar la unicidad de la solución aunque se programen hasta n = 1.000 como nos dice un concursante y se argumente que con eso basta, pues no hay ningún sitio donde se pueda hacer una exhibición de 1.000.000 coches, lo cual, aunque totalmente cierto y nos hace sonreír, no podemos darlo por correcto.

Queremos enviar, por último, muchos ánimos a Jesús González Santos para que consiga que sus hijos se interesen por la matemáticas. El próximo jueves tendrá una nueva ocasión para instruirlos con nuestro decimotercer desafío.

4 comentarios

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4 Respuestas a “12º Desafío Matemático de El País: Solución

  1. Acabo de ver, más por curiosidad que por otra cosa, el vídeo de “El País” con la solución. Con respecto a la solución “larga” que expone la presentadora del problema… ¡por dios, qué engendro más lioso, complejo y equívoco! Con la de formas elegantes, ingeniosas y, sobre todo, visuales y fácilmente entendibles que hay de resolver el problema (unas cuantas se han expuesto por aquí) que la solución oficial sea… “eso”, como que me parece un poco triste o contraproducente: si alguien intentó solucionar el problema, no lo consiguió y se pone a ver la solución para comprobar donde falló… ¡para la semana siguiente se le quitan las ganas! ¡a quién podría ocurrírsele dar tantas vueltas y revueltas con lo fáciles que eran otros caminos, caminos que, con su sencillez y elegancia, podrían animar a los que fallaron esta semana a intentarlo en la próxima!

    • Pues la verdad es que el vídeo no lo he visto, leí la solución escrita. Lo veré…

      • La solución es, básicamente, la misma que se ha expuesto aquí en variadas formas: plantear la ecuación n^2 = (n + 5)*m, trabajarla un poquillo y demostrar de que la única forma de que salga un número natural es que n = 20. El problema es cómo enfoca ese “trabajarla”: hace, deshace, cambia variables, las vuelve a cambiar, despeja por un lado, sustituye en otro… convierte en cuarenta pasos con cincuenta cambios de variable algo que puede hacerse en dos líneas. Intutividad, capacidad de “mostrar”, de “hacer comprender” lo que realmente se está haciendo = cero.

    • Cierto, visto el vídeo parece mucho más difícil de lo que en realidad es. Creo que pone todo su empeño en terminar demostrando el caso más general, el de n+p, y por eso lo enfoca así, cuando lo que se pedía era mucho más sencillo de probar. Lástima que no preguntasen eso también.

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