13º Desafío matemático de El País: Una camiseta bordada en zigzag


Ya está AQUÍ un nuevo desafío. Me alegro de que esté de nuevo presentado por dos chicas del Proyecto ESTALMAT, en este caso el de Cataluña.

 

Dos estudiantes de Estalmat-Catalunya Andrea Isern Granados, alumna de 3º de ESO en el Instituto Salvador Espriu de Barcelona, y Silvia Martos Baeza, alumna de 3º de ESO en el Instituto Cubelles, de Cubelles (Garraf, Barcelona) presentan el decimotercero de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 14 de junio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com y gana una biblioteca matemática como la que cada semana distribuye EL PAÍS y, excepcionalmente en esta ocasión, un detalle sorpresa. Esta semana en el quiosco, junto al periódico por 9,95 euros, La certeza absoluta y otras ficciones, de Pere Grima. Además esta semana habrá un regalo sorpresa.

A continuación, para aclarar posibles dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado por escrito.

Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:

a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).

b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).

c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.

d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.

e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.

Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?

62 comentarios

Archivado bajo OTROS

62 Respuestas a “13º Desafío matemático de El País: Una camiseta bordada en zigzag

  1. Mileton

    Ahora no encuentro los apuntes de trigonometría, no se donde los puse hace 35 años.
    La primera pregunta es fácil, creo haberlo sacado, para la segunda sigo buscando esos apuntes. Un saludo.

  2. jabon

    Algo lo tengo trabajado, simplemente una pregunta para quien lo tenga resuelto y me entienda.

    Me hubiese dado más juego si el valor fuese tres unidades mayor. ¿Crees que debo plantarme con esa respuesta o tengo que seguir buscando otra?

  3. Raúl

    No sé si he entendido bien el problema, porque si es así, me parece mucho más elemental que los anteriores
    Mi solución (atención, censura, por favor)

    *****************************************************************

  4. A mí me ha parecido laborioso y pesado (sobre todo la primera pregunta), pero fácil.

    (Luego será como el otro problema que presentaron los genios de Estalmat (el del cubo de suma cero): lo que a mí me ha parecido larguísimo ellos lo resolverán de un único paso genial y asombroso en sólo media línea)

    Y también en mi opinión, la más bonita es la tercera pregunta, la que se puede resolver de forma más ingeniosa y, por decirlo de alguna forma (espero no asustar a nadie) con una “idea feliz” (pero, repito: no es una idea feliz de éstas complicadas e imposibles, de éstas que sólo se te ocurren tras horas dándole vueltas al problema, es una idea muy obvia, muy visual, muy intuitiva).

    Jabon, no entiendo a qué te refieres con “si el valor fuera tres unidades mayor”. Le sumo tres unidades a mi valor del ángulo alfa, o a mi valor de longitud de la puntada, y no me sale nada revelador, ni la fecha de la festividad de un obispo ni nada :-)

    • Este jabon y sus jeroglíficos… yo sí que lo he pillado y la cosa va bien.

      • Vale, gracias a tu comentario para Jabon (“mejor plántate no vaya a ser que te pases”) ya lo he cogido yo también :-) Qué jodío (con perdón), je, je.

        No te copio mi solución para no agobiarte con una más de las decenas que recibirás con sus triangulitos y sus sumas de ángulos, pero, vamos, visto que ya entiendo la “pista” de Jabon estoy seguro de que lo tengo bien (… o de que todos lo tenemos mal, je, je)

        Bueno, rectifico, te mando sólo mi razonamiento sobre la tercera, que es cortito:

        *********************************************************************************************************************************

  5. jabon

    En primer lugar comentaros que me ha gustado la presentación del video, y el problema en sí. Por cierto, además de listas y guapas , qué bien se expresan.
    Luego agradecer a los compañeros y profesor, por la lectura de mis mensajes.
    He tenido que trabajar el reto, para dar con la solución, me ha entretenido. Hay una parte que me ha dejado un poco frío, no sé si esconde algo más, o es que es lo que es.
    Vincent, te prometo que esta vez es más sencillo de entender mi comentario. Seguro que ya has dado, o si no, lo harás muy pronto. Si tienes la respuesta, no digo cual para no dar más datos, caerás siempre que hagas una lectura completa. Para quien no sabe la respuesta, creo que es muy difícil descifrarlo.
    Santi, gracias….

    • Hombre, es que aunque lo descifrase, la cifra en sí dice muy poco si no eres capaz de encontrar la manera de llegar a ella. A mí también me ha gustado, aunque es de los más facilitos es también bonito. Un saludo.

    • Gracias Jabon, sí, ya he dado con el “quid” de tu pista: en cuanto Santi dijo lo de “mejor plántate para no pasarte”, le sumé las tres unidades de marras que tú decías a mi solución y sí, en ese caso, no es que hubiera dado más juego, es que daría el juego perfecto, je, je.

  6. Pedro Correa

    A mí me ha parecido sencillo y divertido. Y no me da la sensación de que se necesite ninguna idea feliz.

    Sin embargo, yo en 1o BUP no sabía nada de trigonometría, lo que me hace pensar que ¿podría haber una respuesta a la 2ª pregunta en la que no se usara trigonometría?

    • Mmmmm así a bote pronto creo que no, pero lo pensaré…

    • Pedro, cuando dije lo de “idea feliz” (refiriéndome únicamente a la tercera pregunta) ya advertí de que no quería asustar, que no se trata de una de esas “ideas felices” milagrosas complicadísimas y enrevesadas, sino algo obvio, sencillo, sorprendente y elegante. Vamos, que si das con ello, la tercera pregunta no te da ningún trabajo… literalmente.

  7. Bueno santi a ver que te parece la demostración a la tercera pregunta, ***********************¿Hay otra más simple?

  8. Antonio

    Hola¡
    No es un problema complicado pero hay algo que no me cuadra del trazado de la poligonal. En el vídeo se ve que las puntadas 1 y 2 las dan en el lado horizontal del ángulo, la primera en el vértice, es decir, el primer segmento de la poligonal es horizontal. *************************************************************************Creo que no acabo de ver el diseño de la poligonal o no está bien explicado en el enunciado. ¿Alguna aclaración del dibujo? Gracias.
    Antonio.

    • Importante duda, yo he contado con que el lado que está en el lado horizontal es una única puntada, de no ser así pasaría lo que tú dices… ¿?

      • Antonio

        He escrito un correo a la dirección donde se envían los problemas para ver si pueden aclarar la situación, como ya hicieron en el primer desafío. Además de considerarse el primer segmento horizontal la poligonal ya no sería un zig-zag, aunque eso no es ningún problema, sino lo que se deriva de ello, como ya he comentado.
        Gracias

  9. pipin

    Quiero entender que la primera puntada se da en la intersección de las rectas, y la segunda iría en la recta horizontal, por llamarla de alguna forma, aunque si la segunda puntada estuviera en la otra recta, la inclinada, todo sería lo mismo; y luego una puntada en cada recta de forma alternativa. Si el planteamiento no es de esta forma comentarlo.

    Por cierto Jabón, ¿ el numerillo del enigma corresponde a las 21 puntadas?.

    Saludos.

  10. He vuelto a ver el vídeo y yo creo que no cabe duda; las chicas llaman en todo momento “puntada” a cada segmento de longitud “l”, es decir, la primera puntada (que tiene un punto inicial y otro final, pero de la misma puntada) está en el segmento horizontal, la segunda ya está inclinada, etc.

    • Raúl

      Así lo entiendo yo también.
      El RAE acepta como significado de “puntada”, tanto el agujero (punto), como el segmento entre dos de estos agujeros. Pero, por otra parte, las chicas hablan de que la última puntada a de ser perpendicular a la recta horozontal, por lo que por puntada se refieren a cada segmento

        • Además, el hecho de que el primer segmento sea sólo una puntada tiene unas implicaciones (la 20 va “hacia arriba”, la 21 va “hacia abajo”) que hacen que la tercera pregunta sea bonita e interesante. Si consideramos que el primer segmento se “come” dos puntadas y que por lo tanto hay un segmento menos, la “paridad” (je, je) de las direcciones de las puntadas cambia (20 “hacia abajo”, 21 “hacia arriba”) y la pregunta 3 sería mucho más fea, rutinaria y vulgar…

          Y yo creo que si hacen la pregunta 3 es por algo, no para que sea una “repetición” o una “extensión” de la pregunta 1, de esa forma no aportaría nada nuevo a lo ya hecho, sino que la plantean para que tenga algo de especial, y eso sólo se consigue entendiendo la situación como la primera opción

          • pipin

            Con todo respeto me parece que para lo bonito o lo para lo aburrido es irrelevante cómo se intreprete lo de las puntadas; al haberse propuesto dos núneros consecutivos siempre nos daremos de bruces con el caso bonito y con el trivial, aunque sea en un orden contrario.

  11. pipin

    Después de los últimos comentarios al respecto de las “puntadas”, creo que ha quedado claro que en el planteamiento del desafío con puntada se quiere decir segmento ó tramo; yo estaba equivocado y lo que son 20 puntadas para mí eran 21.

    Saludos.

    • Pipin, a lo mejor no me he explicado bien: el orden de las puntadas sí que importa en el sentido de que, aunque te doy la razón en que las soluciones bonita-trivial siempre van en parejas, se emparejan en el orden “hacia arriba”-“hacia abajo” (siento no ser más explícito para no dar más pistas, si quieres lo comentamos cuando se dé la solución y se pueda hablar libremente): si al 20 va “hacia arriba”, va emparejada con la 21 “hacia abajo” y por lo tanto la 21 es trivial. En cambio, si la 20 va “hacia abajo”, con la que iría emparejada es con la 19, que sería su correspondiente “hacia arriba” (y la 21 “hacia arriba” iría emparejada con la 22 que sería su correspondiente “hacia abajo”) por lo tanto la 21 y la 22, serían dos casos completamente distintos y “desparejados” y la tercera pregunta no ser resolvería “trivialmente” (ya me entiendes :-) ), sino volviendo a repetir, dando un paso más, lo mismo que se ha hecho en la primera: no sería una pregunta nueva, ingeniosa, sino una repetición de la primera, sin nueva “chicha”, y, en mi opinión, no tendría sentido preguntarla.

      Lo dicho, no sé si me explico bien y ya comprendes lo que quería decir, si quieres lo hablamos explícitamente una vez la solución esté dada.

  12. jabon

    Veo que la gente sabe coser, no se me ocurrió pensar en lo de puntada como paso de aguja, pero no deja de ser curioso ese matiz, yo lo entendí como segmentos, pero comprendo perfectamente las dudas planteadas. Coso poco como veis.
    Vincent, ya tiene por lo que veo la jugada ganadora, aunque creo que pasando a radianes, como apunta Santi, es como contar y cantar.

  13. Antonio

    Hola!
    Me han respondido desde elpais a la duda planteada, literalmente “la primera puntada sobre el vértice del ángulo y la segunda sobre el lado horizontal se consideran una única puntada”. Con esto ya no hay duda de que cada puntada es un segmento y no los extremos.

  14. Bonito problema. Reconozco para mi bochorno que empecé calculando distancias entre puntadas, pero por ese camino ya vi que era como ir de Madrid a Segovia pasando por los polos; así que al final, creo que como todo el mundo, me centré en los ángulos. Y como Jabón, me quedé a tres de tener una buena mano (al principio pensaba que hablaba de Mus y eso me despistó porque me faltaba mucho para llegar al 31 ;-)

  15. TONI

    Hola a todos. Mi trigonometría andaba muy olvidada en los espacios del tiempo lejano. Me ha constado deducir cosas pero … espero no haberme equivocado mucho.

    He enviado estas soluciones.

    A partir de aquí, Santi, borra si es correcto y sino … SOS

    Un saludo

    ******************************************************************

  16. Marta

    Hola, pues tras el susto inicial de la primera impresión (me parecó muy complicada), cuando te pones, no lo es ni mucho menos.

    Ahí va lo que se me ha ocurrido (que difícil es expresar los problemas gráfico por escrito…):
    ——————————————
    *********************************************
    ————————————-
    Santi, está todo OK??

    Saludos,
    Marta.

  17. Rafael

    Hola desde La Coruña, pero después de hallar el valor del ángulo el resto del problema me parece muy sencillo.
    A poco que nos fijemos,
    ************************************************************
    ¿Alguna idea feliz?

  18. Yo acabo de ver el vídeo y me he puesto con el reto, y sinceramente no lo veo fácil, y el ángulo que me sale no es ni mucho menos exacto. Sin embargo no encuentro el error en mi planteamiento. A ver si me puedes ayudar:

    ***************************************************************

    No creo que esta sea la solución al problema pero trigonométricamente no encuentro el error.

    Y desde luego no se por ahora como hacerlo sin usar la trigonometría.

    • Falla tu premisa inicial: “por lo tanto cada triángulo isósceles tendrá una altura L/10 mayor que el anterior, y el primer triángulo isósceles tiene una altura de exactamente L/10” eso sería cierto si los vértices de los 9 triángulos dividiesen a esa hipotenusa en 10 partes iguales, pero a medida que vamos dando puntadas esos vértices cada vez están más próximos y el incremento de alturas es menor. Deberás ir por otro camino…

  19. Jesus

    Pues a mi, curiosamente, me ha parecido el mas facil hasta la fecha. Supongo que depende bastante de como te pille… Incluso la enigmatica pregunta final….

  20. jabon

    La segunda pregunta, no me paré mucho a pensar.
    Deduzco que se puede hacer también sin acudir a funciones trigonométricas, por algún método similar al razonamiento del primer enunciado.
    No tengo mucho tiempo, pero sólo es saber si se puede hacer, por intentarlo, o pasar de ello.

  21. Miletón

    Después de un despiste descomunal (no leer bien el enunciado) que me atascó en la segunda, creo que ya lo tengo. Muy larga me sale la explicación, pero espero que comprensible; a ver que opina Santi. Lo que estoy es un poco desilusionado porque nadie se haya ofrecido a pasarme sus apuntes de trigo, al final se los he tenido que pedir a wiki.
    Un saludo.

    ********************************

    • Está perfecto, la segunda se puede hacer más rápido con otra razón trigonométrica, pero al final es lo mismo.

      Saludos.

      • Miletón

        Es que la segunda la he hecho ya cabreado por el despite supino y, además, sin los apuntes de trigo, que sigo sin saber donde los puse. Gracias.

      • Miletón

        Esto está pareciendo un vicio: no me he conformado con que me digas que va bien, me he picado con lo de “más fácil” y a repasar los apuntes de wiki. Menos mal que rápidamente he visto el teorema de los senos, te referías a eso ¿verdad?.

  22. Borja

    Hola a todos una semana más, a ver si estáis de acuerdo conmigo:

    Intentaré explicarlo lo más claramente posible:

    Cada puntada que damos, a partir de la segunda, ****************************************

  23. Maureen

    De una obra de teatro que me gusta mucho, y que creo que hablaba Jabón en su comentario :-)
    Y un juego vil
    que no hay que jugarlo a ciegas,
    pues juegas cien veces, mil,
    y de las mil, ves febril
    que o te pasas o no llegas.
    Y el no llegar da dolor,
    pues indica que mal tasas
    y eres del otro deudor.
    Mas ¡ay de ti si te pasas!
    ¡Si te pasas es peor!
    (La venganza de don Mendo)
    ¿No es eso? :-P

  24. Manolo

    Pues yo lo hice así:
    No caí en la cuenta hasta que hice un ensayo con mi compás, regla, transportador de ángulos…
    Táchese lo que no proceda
    De las veinte puntadas, diez, las pares, van ‘hacia arriba’ (parten de la horizontal). Cada puntada par forma un ángulo con la horizontal cada vez más abierto. Pero siempre aumenta el valor en 2α. (Me di cuenta de esta detalle ensayando con un ejemplo de α=15º, los ángulos van aumentado de 30º en 30º)
    Pues si en 10 puntadas tiene que ir de 0º de la primera a 90º de la última, en cada puntada el ángulo se incrementara 9º.
    Entonces 9º = 2α y por lo tanto, α = 4’5º.
    La 2ª pregunta la deduje por trigonometría.
    Para formar un ángulo recto la 21ª, obligaría a la 20ª a ser más larga, ya que sería la hipotenusa de un hipotético triángulo rectángulo.

  25. Por fin he dado (creo) con la solución, he aquí lo que he mandado ;):
    Mi solución de esta semana:

    1)¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones?. El ángulo debe ser :4,5º.
    Explicación: Tenemos con la puntada 20, perpendicular a la horizontal, un triángulo rectángulo (principal) con dos ángulos complementarios α y β.
    Donde α + β = 90º. Los dos catetos son la horizontal y la puntada 20, y el tercer lado será la hipotenusa.

    Al realizar la segunda puntada (la primera es en la horizontal), tendremos un triángulo isósceles formado por las dos puntadas de longitud L, y cuyos ángulos serán α, α y 2β.

    Al bordar la tercera puntada obtenemos un segundo triángulo isósceles, donde los dos lados iguales son las puntadas 2 y 3. Este triángulo tendrá los ángulos γ, γ y δ. (como se ve en el dibujo). Pero sabemos que α + β = 90º, luego 2α + 2β = 180º, y γ = 180 – 2β = 2α.

    Al bordar la cuarta puntada obtenemos un tercer triángulo isósceles, donde los lados iguales de longitud L, y ángulos (siguiendo el mismo procedimiento que en apartado anterior y por semejanza de triángulos) 3α, 3α y ε.

    Por el mismo procedimiento podemos construir 19 triángulos isósceles con las 20 puntadas. En cada nuevo triángulo isósceles se incrementa el ángulo igual en α grados, luego para el triángulo 19, los ángulos iguales valdrán 19α. Pero en este último triángulo sabíamos por el dato del principio que esos dos lados iguales valían β grados (recordar el triángulo principal), Luego:

    β=19α, como α + β = 90º; tenemos que 20α = 90º, por lo que despejando obtenemos que α = 4,5 º y β = 85,5º

    (si no se puede ver: http://img204.imageshack.us/img204/5907/tringulo2.jpg)

    2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?

    Aplicamos trigonometría básica tgα = L/25. tg 4,5º = L/25. Despejando L = 1,9675…

    3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?

    Es imposible, las puntadas pares se pueden hacer perpendiculares a la horizontal (base del triángulo principal), pero las impares sólo pueden hacerse perpendiculares a la hipotenusa del triángulo principal, nunca a la horizontal y 21 es una puntada impar.

    Como información adicional destacar que se pueden obtener analíticamente todos los ángulos α, para la puntada que queramos (eso sí si es una puntada par la última puntada será perpendicular a la base (horizontal) y si es impar perpendicular a la hipotenusa del triángulo rectángulo principal.

    La fórmula es α = 45/(p/2), siendo “p” el número de puntadas, esto es para las 21 primeras puntadas (por dar una solución al apartado 3) pero con la perpendicular a la hipotenusa):

    Puntada 2: α = 45/(2/2) = 45º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 3: α = 45/(3/2) = 30º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 4: α = 45/(4/2) = 22,5º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 5: α = 45/(5/2) = 18º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 6: α = 45/(6/2) = 15º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 7: α = 45/(7/2) = 12,8571..º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 8: α = 45/(8/2) = 11,25º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 9: α = 45/(9/2) = 10º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 10: α = 45/(10/2) = 9º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 11: α = 45/(11/2) = 8,1818…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 12: α = 45/(12/2) = 7,5º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 13: α = 45/(13/2) = 6,923…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 14: α = 45/(14/2) = 6,4285…º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 15: α = 45/(15/2) = 6º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 16: α = 45/(16/2) = 5,625º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 17: α = 45/(17/2) = 5,2941…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 18: α = 45/(18/2) = 5º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 19: α = 45/(19/2) = 4,7368…º (perpendicular respecto la hipotenusa)
    Puntada 20: α = 45/(20/2) = 4,5º (perpendicular respecto la horizontal)
    Puntada 21: α = 45/(21/2) = 4,2857…º (perpendicular respecto la hipotenusa)

  26. Carlos

    Hola a todos.

    Acabo de enviar la respuesta. Uno de los problemas más interesantes pero espero haber interpretado bien la 3ª pregunta.

    Las soluciones son:

    1- Ángulo = 4,5º

    Razonamiento: observamos que con las rectas y dos de las puntadas se forman triángulos isósceles ya que las puntadas tienen todas la misma longitud. Por esta razón, estos triángulos que se van formando tienen 2 ángulos iguales y el tercero lo podemos hallar restando de 180º. De esta forma podemos ir calculando el ángulo de cada puntada con las rectas y obtenemos los siguiente:

    Llamando al angulo entre las dos rectas w

    ángulo puntada 1 = 0º por la definición del problema
    ángulo puntada 2 = 2*w
    ángulo puntada 3 = 3*w
    ángulo puntada 4 = 4*w ….

    ángulo puntada n = n*w

    Como el ángulo de la puntada 20 debe ser de 90º entonces 20*w = 90º por lo que w = 4,5º

    2- longitud puntada l = 1,967 cm.

    Razonamiento: el triángulo formado por las rectas iniciales y la última puntada es rectángulo por ser la última puntada perpendicular a la recta inferior. Sabemos que el cateto adyacente al ángulo tiene 25 cm. y el cateto opuesto al ángulo es la longitud l que buscamos. La tangente del ángulo es el cateto opuesto dividido por el cateto adyacente.

    tan w = l/25 => l = 25*tan w = 25*tan 4,5º= 1,967

    3- Para 21 puntadas:
    Ángulo = 90/22
    longitud = 1,788 cm

    Razonamiento: Para 21 puntadas, la última puntada va a ir de la recta superior a la inferior. El enunciado nos dice que debe formar un ángulo de 90º con la recta inferior por lo que el ángulo con la recta superior debe ser de 90º + w. Utilizando las relaciones anteriores:

    21*w = 90º+w -> 22*w = 90º -> w = 90º/22

    l = 25*tan w -> l = 25*tan 90/22 = 1,788 cm

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s