Desafío nº 15 de El País: Una cuestión de unos y ceros


Jesús Gago, profesor titular del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, presenta el decimoquinto de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 28 de junio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com y gana una biblioteca matemática como la que cada semana distribuye EL PAÍS. Esta semana en el quiosco, junto al periódico por 9,95 euros, Del ábaco a la revolución digital, de Vicenç Torra.

A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito.

El problema de esta semana parte de la observación de que todos los números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. (Por ejemplo: 1×100=10; 2×5=10; 3×37=111; 4X25=100; 5X2=10; 6X185=1110; 7×143=1001; 8X125=1000; 9×12345679=111111111… y así para cualquier número natural). La pregunta de la semana es: ¿por qué sucede esto?

87 comentarios

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87 Respuestas a “Desafío nº 15 de El País: Una cuestión de unos y ceros

  1. Javier

    Ummmm… ni idea.

  2. Saúl

    Tendrá que ver con la base 10?

  3. Pedro Correa

    Daría alguna pista, pero no me cabe en este espacio tan pequeño…

  4. Pedro Correa

    Es un problema clásico de las Olimpiadas Matemáticas. Cuando empezaron estos desafíos me piqué tanto, tanto que me puse a resolver problemas de Olimpiadas de los últimos años. Este (o uno parecido) me costó bastante resolverlo, pero me pareció muy bonito.

  5. Jose Luis

    Como diría Mou… ¿por qué?

  6. jabon

    Se me antoja complicado de antemano.
    Veremos a ver si el fin de semana se me ocurre algo.
    Podían haber hecho la pregunta en sistema binario, que esa sí la sé responder.

  7. jabon

    Me ha ayudado un compañero, licenciado en matemáticas, solo no hubiese podido sacarlo; al menos sin oir los comentarios de un locutor, narrando un partido de Nadal.
    Muy sencillo de explicar y comprender, pero para mí excesivamente complejo de resolver.
    Reto bonito y complicado, me ha sobrepasado.

    • jajaja… esta es una pista casi tan audaz como la del obispo, me ha llevado un ratito pillarlo… y eso que yo me sé la solución. Creo que este problema lo habría solucionado mejor Agassi, aunque tampoco es que yo sea un experto en la materia…

  8. Hipatia

    ¿Por qué sucede esto? Básicamente:

    ***********************************

  9. Anónimo

    Hola, Santi.

    Aunque no le he dedicado (todavía) demasiado tiempo al problema, la verdad es que tiene toda la pinta, a falta de encontrar la “idea feliz”, de que se me atrancará más que ninguno de los desafíos anteriores. La pega importante que veo en la solución es que ésta no parece que pueda deducirse de forma inductiva o recursiva (dada la solución para un número natural, n, no se puede obtener un procedimiento general para el natural n+1). Por otra parte, me ha sorprendido un poco el comentario de jabo cuando afirma que “es un problema complejo de resolver”, pues se supone que el desafío de “El País” es para “todos los públicos”, en el sentido de que no se precisan, en principio, conocimientos de alta matemática. Mi primera tentativa de demostración fue el de intentar probar que para todo natural, n, existirá un k, tal que n*k = b, donde b tiene el “formato binario”, es decir, que tras sumar k veces n (con k tan grande como sea necesario) se llegará al fin a una cifra formada sólo por ceros y unos. Pero me desanima el alto número de combinaciones posibles.a falta de encontrar un patrón general.

    Un saludo

    • No, por inducción sobre n no se puede y sí, es mucho más matemático (si se puede decir así) que los anteriores. Es un resultado clásico de la aritmética, otra cosa es las demostración…

      Saludos.

  10. Jose Angel

    Te vuelvo a enviar un borrador de mi solución en pdf, que lo que he escrito me va a costar exponerlo aquí. A ver que te parece, que me saltan dudas…..

  11. MN

    Buff, he encontrado la solución pero he necesitado ayuda, considero que este es un problema de idea feliz, o incluso muy feliz, aunque la solución es sencilla de entender cuando la tienes delante.

    Lo que no me gusta demasiado de este problema es que o tienes la idea que te permite avanzar en la demostración o no da demasiado juego con otras posiblidades por las que vas investigando hasta que finalmente se te ocurre aquello que te permite completar tu demostración, o tienes la gran idea o te quedas mirando el papel en blanco, en fin, que lo paséis lo mejor posible intentándolo.

  12. Javier

    Este desafío no voy a poder demostrarlo con un método que me resulte convincente, me siento incapar de ver algo.
    Dado cualquier número debo encontrar otro que multiplicado entre sí todas sus cifras sean 0 o 1.
    Para calcular o localizar ese “otro número” debo empezar por ver que números dan 0 o 1 en las unidades, luego en las decenas, centenas, etc.
    Sabemos que cualquier nº de 0 a 9 tiene otro que multiplicado por el termina en 1 o 0 (fácil de comprobar). Si continuo así con el mismo procedimiento encontraré poco a poco las decenas, centenas, etc. que tengan como resultado 0 o 1 (hasta aquí lo veo lógico). Pero al final, pues debe tener un final… tiene que dar un resultado que sea 1, 10 o 11… y me lio.

  13. TONI

    Hola a todas/os y SOCORRO!!!
    Me encanta este blog, me encantan los retos matemáticos y me encantan los compromisos conmigo mismo.

    Hace ya 25 años que recibí mi última clase de algo que tuviera que ver con matemáticas y era Lógica, pero era en una facultad de Filosofía. Aún tendría que mirar 5 años más para atrás para tener una clase en la que aparecía algo de Teoría de Conjuntos en mi Diplomatura, 4 más para Bioestadística y 2 más para atrás para recordar mis últimas Funciones en COU. Vamos, hay una eternidad entre mis últimos aprendizajes y hoy. Sobretodo porque la vida, en el día a día, se compone de millones de cosas. Pero me siguen encantando los retos y juegos que tengan que ver con las matemáticas.

    Este reto me ha planteado un problema potente. Se trata de la misma pregunta que hacen en el Desafío: ¿Por qué ocurre esto?

    Estoy dándole vueltas al tema, a la situación, y … el ¿Porqué? no sé como contestarlo. Sólo se me ocurre que … pues por que sí, por que sí es posible, por que sí ocurre. ¿Porqué?

    Como respuesta a un ¿porqué? formulado así, se me ocurre que debe haber una explicación previa, clara y conocida pero extrañamente oculta a simple vista para que el ¿porqué? forme parte de un desafío. Y ahí no llega mi memoria histórico – matemática. Pero sin embargo si encuentro una, como mínimo una, explicación de cómo conseguir demostrar que es cierto, que es real, que si se dan las circunstancias que describe el desafío y que, incluso, se puede llega a saber y conocer el número preciso para considerarlo como multiplicador de cualquier otro buscando un producto con 1s y 0s.

    Sé que mi método es tan torpe como los que usaron conmigo para enseñarme a multiplicar y dividir cuando era niño, pero … ¿Es eso lo que nos están preguntando? o ¿tal vez quieren algo más complejo y distinto? Vamos, dicho de otra manera ¿Porqué? significa ¿Por qué pasa eso? O quiere decir ¿Cómo hacerlo? O es igual que … “Demuéstralo genéricamente y demuéstralo prácticamente”

    ¿¿¿Por qué sucede eso???

    • Yo creo que lo que pretenden es que encuentres una demostración de que ese hecho es cierto para cualquier número natural, de manera que al demostrarlo hay que explicar el buscado porqué inexorablemente. Esta vez no es como las últimas, no es evidente ni elemental, aunque tampoco es que sea algo inalcanzable… bueno, cada cual tendrá que buscar sus límites. ¡Ah, por cierto! gracias por participar y por tus palabras sobre el blog.
      Un saludo.

  14. tokland

    Santi, que no te di las gracias por mirarte mi solución al problema anterior (el de las partículas), te las doy ahora. En cuanto al problema de esta semana, estoy de acuerdo con lo ya dicho, es un problema fácil para la gente del gremio, pero para los demás es complicado intuir el primer paso de la demostración (el resto ya no tiene mucho misterio). Imagino que éste será el desafío con menor cantidad de soluciones correctas.

  15. TONI

    Hola de nuevo a todos y gracias Santi por la aclaración.

    Vamos a ver como llevo la cosa. Esto está resultando duro de roer.
    Os voy a contar lo que estoy descubriendo pero, Santi, si entiendes que, por casualidad descubren algo inadecuado o son pistas demasiado obvias, censura. Me encantaría que censuraras mucho porque eso significaría que voy bien, aunque, en este momento, no se salir del atolladero.

    Bien, he descubierto que todos los primos multiplicados por otro primo determinado (en algún caso han de ser dos) nos dan como resultado un número que reúne las condiciones exigidas en el desafío. Me he hecho tan familiar con ellos que los llamo “primos hermanos entre si”. Sin duda esa relación hace referencia a algo que yo desconozco y entiendo que esa debe ser la clave del asunto.

    Los números que no son primos se pueden descomponer en primos y si multiplicamos entre si los primos hermanos de cada uno de los primos que resultan de la descomposición del número nos dá como resultado otro que al multiplicarlo con él vuelve a cumplir las exigencias del desafío.

    Y ahí estoy plantao.

    • pipin

      Bueno estoy bastante perdido, pero como se ha hecho referencia más arriba hay un problema de una Olimpiada matemática , en concreto el nº4 del año 1993 que es posible que tenga una relación importante con éste.
      Toni quizás si le echas un vistazo al pequeño reorema de Fermat y a la solución del problema de la O.M. puedas salir del atolladero.

      En mi caso lo tengo más crudo porque no he descubierto esos primos que hacen filigranas.

      Saludos.

  16. Manuel

    Hola a todos.

    Santi, soy el que dejó el mensaje anónimo, el que comentaba que este problema se le estaba atragantando más que todos los desafíos anteriores y que no se veía una solución a este problema por inducción.
    Se me olvidó decir que estudié ingeniería informática, y que, por eso, la propuesta de un resultado formado por ceros y unos me llegó al alma. Después de varias intentonas por diversos medios, el desafío se me sigue antojando bastante escurridizo (en mi descargo, he de decir que las matemáticas en informática no son tan duras como en otras ingenierías y que, por cosas de la vida, hace bastantes años que trabajo en algo que no tiene relación con lo que estudié, con los que tengo bastantes oxidados mis conocimientos de aritmética). Parece claro que mediante métodos “paleolíticos” como simular el algoritmo de multiplicación que nos enseñaron en la escuela primaria están abocados al fracaso; está claro (y no estoy inventando la sopa de ajo, desde luego) que si la última cifra del resultado ha de ser 0 ó 1, no es posible que la última cifra del factor (el que multiplica el natural n) sea una cualquiera. Por ejemplo, si el natural acaba en 5, la última cifra del factor ha de ser múltiplo de 2 (0, 2, 4, 6, 8); si acaba en 6, la última cifra del factor sólo puede ser 0 ó 5, etc.

    Desde luego, el número de combinaciones es muy alto, con el añadido de los acarreos que pasan de una columna a otra en cada sumatorio y que complican más el asunto.

    Cambiando de enfoque, he intentado hasta diseñar un proceso iterativo, con el cual se demostrara que se podía llegar al resultado final en un número finito de pasos, en cuyo caso, se podría considerar formalmente una solución. No he tenido éxito, claro.

    Por otra parte, el hecho de que la solución S ********************************************************************************************************************************************************
    aunque sólo es una idea, claro.

    ¿Qué opinas?

    Un saludo.

  17. Uff, qué mala suerte tengo, justo esta semana que no he podido mirar el problema hasta muy tarde, justo coincide con que es el problema más difícil con diferencia (al menos, a mí me lo parece).

    He visto el vídeo hace hora y pico y llevo esa hora y pico delante de un papel escribiendo tonterías, garabatos, palos de ciego, pero sin ninguna idea clara.

    Estoy casi seguro de que voy a ser incapaz de resolverlo, porque no se me ocurre absolutamente nada de cómo abordarlo, por dónde tirar.

    Santi, te pido, un par de orientaciones o pistas si te parece bien:

    Primero: Por ahí arriba se da a entender que hay una especie de “idea feliz”, un “primer paso” que una vez lo ves, te simplifica la resolución y a partir de ahí es evidente. Pues bien: ¿es este “primer paso” accesible para los que no somos matemáticos? Es decir: ¿se puede resolver sin conocer el segundo teorema no completo de las congruencias diofánticas en cuarto orden de Cauchy :-) , o es necesaria alguna base… “específicamente matemática”? Vamos: ¿mis conocimientos de tío-de-ciencias-puras-pero-no-matemático deberían ser suficientes?

    Segundo: Una vez se tiene esa “idea feliz”: ¿la demostración es tan obvia, sencilla y evidente que cabe en dos líneas, o es de estas en las que, pese a tener la idea, aún queda mucho curro, mucho trabajo de campo a lo bruto, por ejemplo: probando las diferentes combinaciones de las multiplicaciones entre 0 …. 99 x 0 …. 99, por decir algo?

    Muchas gracias y si no te parece bien responder “en abierto”, te agradecería un mail…

    Ay, con la de cosas que tenía yo que hacer este domingo por la tarde y se van a tener que quedar en segundo plano… :-)

    • MN

      Hola Vincent:
      no hace falta conocer ningún teorema matemático especializado para resolver el problema (como mucho uno que tiene que ver con aves) ni para entender la demostracíón, ahora bien, viéndo la solución no creo, y subrayo no creo, que alguién se haya hecho alguna vez la pregunta que propone el problema y se haya puesto a resolverlo, más bien diría que buscando otra cosa se hayan encontrado con este resultado, al menos en la solución que yo conozco considero que es dificil conseguirla sin una idea feliz a pesar de que no se requieren elementos matemáticos avanzados, como no han hecho falta en problemas anteriores.

  18. Perdonad, fin de semana en familia, apenas tengo tiempo para comentar y no sé cómo dar pistas de una cosa así… censuro poquito a ver si así entre todos lo vais sacando.

    Un saludo.

  19. Antonio

    Para mí, el desafío se hace más difícil porque han puesto un ejemplo “trampa”. No digo más.

    Saludos,
    Antonio

  20. Maito

    Hola a todos,
    llevo varias semanas siguiendo vuestros comentarios y me alegro del buen rollo que hay en el blog, creo que además el grupo es variado en edad y que incluso hay alguno de mi quinta (mi edad es el cuadrado de un número primo y el producto de sus cifras es el cuadrado de un número perfecto).
    Bueno al grano, creo como todos vosotros, que este problema excede el nivel de otros desafíos anteriores y no es por desmerecerlos pues a parte de su explicación coloquial suelen ser de interés matemático.
    Aprovechando que Santi y promete dar manga ancha yo apunto la pista de Euler, aunque aún así hay que currárselo.

  21. Rafael

    Tarde de campo y tumbona, escenario ideal para buscar la inspiración.
    Veamos, que aún no estoy seguro…

    **************************************************************

  22. Manuel

    Para Maito: espero que no te enfades si hago pública tu edad (49) ;-)
    7 * 7 = 49
    4 * 9 = 36 = 6 ^2.
    Donde 6 = 3 + 2 +1 (es un número perfecto: es la suma de sus divisores excepto él mismo).

    Volviendo al problema, la verdad es que sigo estancado y ya no tendré tiempo de intentar resolverlo (como no me ocurra algo parecido a lo de Arquímedes cuando se introdujo en aquella famosa bañera).

    Dejo aquí mi última conjetura: de los ejemplos que ofrece el enunciado, parece ser que el natural n y el factor f que lo multiplica con el propósito de obtener una cifra compuesta de cero y unos han de ser primos entre sí (m.c.d (n, f) = 1). ¿El Teorema chino del resto sería de utilidad en esta caso?

  23. Comentarios sobre el problema, ahora que estoy más tranquilo (fin de semana contrarreloj)
    – El problema que se enuncia de forma general, con un múltiplo de 1’s y 0’s se demuestra (al menos es la demo que yo manejo) para números del tipo: 11…100…0, es decir, primero los unos y después los ceros. Es una propiedad que se demuestra haciendo uso de ********************************* NO LO PUEDO DECIR!!!!
    – Se demuestra en pocas líneas, pero no es sencillo que se te ocurra si no sabes lo que hay bajo esos asteriscos.
    – Sobre si la demostración responde o no a la pregunta ¿por qué? yo entiendo que toda demostración responde a un “por qué” mejor que ninguna otra cosa en matemáticas, si bien puede que no sea una explicación muy elocuente.
    – Nadal y las aves son las mejores pistas que se pueden dar.
    Saludos a todos, lamento no haber atendido el blog suficientemente este fin de semana.

  24. Antonio

    Hola!
    Por lo que estoy leyendo, hay algunos que parece que llevan un camino equivocado en la búsqueda de la demostración, deambulando por terrenos demasiado pantanosos y oscuros. No se puede llegar intentando buscar para cada natural un factor de tal forma que el producto cumpla con ese formato de número. Conozco la demostración y hay que llegar a dicho número de forma indirecta, por decirlo de alguna manera. Finalmente, la demostración es muy sencilla y sobra con dos lineas para explicarla. Considero que es una idea brillante, fantástica, como todas las ideas que hacen que las cosas sean breves y sencillas de explicar y de entender. En este caso, he de reconocer que la demostración no es de mi cosecha, simplemente llegué, busqué y encontré rápidamente. Más que posible que alguien más esté en esta misma situación.
    Así que por aportar algo que me he dado cuenta, aporto un corolario trivial y es que “cualquier número natural tiene al menos un múltiplo cuyos dígitos son todos 2 y 0, 3 y 0, 4 y 0, ………. , 8 y 0, 9 y 0”.
    Saludos
    Antonio

    • Jose Angel

      También se puede encontrar un múltiplo formado por la combinación de dígitos que queramos y ceros. Por ejemplo, un múltiplo de 3 formado por 4s, 6s y 0s sería 64646400=21548800×3, y sin ceros tomando el 215488.

  25. jabon

    Creo que hay dos bandos claramente diferenciados, y que en este reto se manifiesta claramente.
    Para quienes tenemos conocimientos más limitados de matemáticas, este reto es complicado de resolver. Uno se da cuenta enseguida de que todos los caminos o se cortan o se hacen demasiado largos.
    Santi, yo lo saqué con ayuda. Aunque hay pistas por ahí, creo que en este problema hay que ayudar un pelín más, si no te parece bien, borra lo que consideres oportuno. A mi el premio me da igual, y me alegraría de que algún seguidor de tu blog lo ganase.
    Santi os ha dicho que la demostración es para números que empiezan por unos y terminan por ceros ¿no?
    Ej: 111111100000
    Así que si empezáis pensando en Atila y seguimos las pistas que hay por ahí… Y creo que ya estoy hablando mucho, así que lo que resta lo tenéis que poner de vuestra parte.

    • Desde luego jabon, el premio a mí también me importa muy poco, si lo gano lo donaré a la biblioteca de mi instituto, nunca censuro por eso, sino por una cuestión de respeto al concurso y a El País que ha tenido el valor de lanzar esta iniciativa. ¡Ojalá alguno de los habituales del blog resulte ganador alguna semana! sería realmente bonito.
      El problema de este desafío en particular es que es muy difícil dar más pistas de las que se han dado ya, o al menos a mí no se me ocurre cómo ¿?
      Si a Nadal y los pájaros les añadimos a Atila… poco más se puede decir, aunque aún así no será fácil.
      Un saludo.

  26. jabon

    Santi, al dar mi última pista, tenía alguna duda por si era muy elocuente, y también hay que respetar la iniciativa del país. Aunque creo, que también contribuimos a que se propague la misma. Este reto es de lo que sin ayudas, yo hubiese claudicado, y creo que es bueno que los compañeros piensen que es posible.

    **************************************************

  27. Pues yo sigo más perdido que Atila jugando un partido de tenis con Nadal rodeados de aves…

    Santi, por estar “en igualdad de condiciones con los matemáticos” (no publiques estr párrafo si no quieres, claro): ¿podrías ser más explícito con respecto al “teorema de las aves”? Es decir, si un matemático conoce dicho teorema y puede hacer uso de él en la demostración, me parece justo y legítimo que los “no matemáticos” también podamos usarlo. Me he sacado de la wikipedia un listado de teoremas y, o soy muy tonto, o no encuentro ninguno remotamente relacionado con pajaritos… Lo que más me suena a ese respecto son las ecuaciones de Volterra de los halcones y las palomas, je, je.

    Por cierto, esta semana hay que agradecerte especialmente el esfuerzo con el blog: tu fin de semana liado te ha impedido actualizar tanto como semanas anteriores, y es en esos momentos de “ausencia” donde realmente más se aprcia y se valora el esfuerzo desinteresado que realizas cada semana.

    • Bueno, seré más explícito y en abierto; las aves son palomas, pero tienen que jugar en conjunto con Nadal y después de haber llamado a Atila… jajaja esto de las pistas siempre nos lleva a comentarios surrealistas.

      Gracias Vincent.

      • Pues, tras darle un par de vueltas a las pistas y tirar de google a ver si me iluminaba, sigo igual (lo único que consigo relacionado con palomas es el principio de Dirichlet, y soy incapaz de encontrarle una aplicación a este caso), y no tengo un matemático a mano para que me eche una ídem como a algunos de los compañeros “no-matemáticos” :-(

        • Te aseguro que en tu carrera disteis lo necesario para este desafío más que de sobra y sí, vas bien por Dirichlet, pero la aplicación no es inmediata, ya digo que hay que jugar un poco al tenis antes…

          • Javier

            Entiendo lo de las palomas (principio de Dirichlet) que de momento para lo único que me ha servido es para saber que en España hay al menos 2 ( y muchas más) personas con el mismo número de pelos en la cabeza…

          • jajaja, dado que es seguro que nadie tiene 40 millones de pelos en la cabeza ¿no? jejeje curiosa aplicación del Principio.

  28. Miletón

    Lo leí el viernes, me pareció difícil y por la falta de tiempo lo iba a dejar. Esta mañana me he dado otra oportunidad, me he leído todo el blog y, aunque no caigo en lo de Nadal (más que porque es el número uno) ni en lo de las aves, creo que me ha venido la idea feliz y lo tengo. Para asegurarme, a mi me sale que incluso, salvo excepciones claras, para casi todos se podría encontrar un múltiplo formado sólo por unos; ¿es eso así?. De todas formas voy a redactarlo para que me lo revise el profe.

    • Miletón

      No, no lo tengo. Me parece que la idea feliz si, pero luego me atasco:

      Con el pequeño teorema de Fermat consigo demostrar que todos lo números primos tienen un múltiplo con todas sus cifras uno (excepto 2 y 5, para los que vale el múltiplo 10); pero luego no se como generalizar a los números compuestos.

      ¿Hay alguna pista para lo mío?
      Gracias

  29. Raúl

    Muy bueno lo de las aves y sus obviedades.
    por ahí se llega a las soluciones de que habla Santi.
    Al menos, a mi me permite demostrar que es cierto que existe siempre el número y cómo llegar a él o ellos. La cuestión es si esto responde a la pregunta de ¿Por qué sucede esto?
    Censura
    *******************************************

  30. Pedro Correa

    Si es una pista demasiado evidente, censúralo. Si no, la lanzo, porque cuando resolví el problema de la olimpiada tiré por ahí…

    ¿Os acordáis cuando en EGB nos enseñaban a pasar de fracciones a números periódicos? Las fracciones generatrices y esas cosas…

    Si os acordáis (o miráis en wikipedia) de cómo se componía el denominador de esas fracciones, igual por ahí podéis sacar alguna pista que os indique cómo llegar al resultado.

  31. TONI

    Hola de nuevo a todos.
    Me estoy riendo un montón. Primero por los enigmas que escribimos, luego por lo tozudos que somos todos. Yo creo que nadie esta haciendo esto por la colección de libros sino por el puro vicio y goce de los desafíos. Pero aunque me lo esté pasando genial me está saliendo humo de las cejas. Yo en este, creo que voy a claudicar aunque ya he descubierto muchas cosas con mis esfuerzos, la wiki, vuestras ayudas y un porrón de horas.
    Hago mías las palabras de agradecimiento a Santi pero no sólo en este desafío sino en todos.

    • Bueno, muchas gracias…. como he dicho en otras ocasiones, sarna con gusto no pica, yo también me lo paso muy bien. En cuanto a este desafío en concreto, es algo más árido que otros, pero bueno, tiene que haber de todo…

  32. Javier

    Santi…. hoy por fin termina el calvario… soy impaciente… por favor no te olvides hoy de decir la solución en cuanto se pueda.
    Estaré esperando.
    He visto un partido de tenis, aunque no me gusta. Leido la historia de Atila y he dado de comer en la plaza a las palomas… y no me ha llegado la idea feliz.

  33. Miletón

    Yo creo que, por lo menos para mí, si está esto pasando a vicio; hoy sin tiempo decido dedicarle un ratito, creo encontrar la idea feliz (luego no era) y ya no podía dejarlo. Casi toda la mañana perdida. Cuando iba a abandonar, sólo probando con multiplicaciones de unos y ceros, me doy cuenta de que las restas van mejor y cambio el enfoque del principio, parece que he acertado:

    ********************************************************************************************************************

    Pero lo más grave es que conseguido el objetivo no sabía que tenían que ver las palomas con todo esto y me he pasado un buen rato averiguándolo hasta que he dado con el principio ese de lo que no se puede decir que, sin saberlo, está en mi solución.
    Si el adicto al juego es ludópata, yo debo ser matepata (o quizás metepatas?).

  34. ¡Sobre la bocina! ¡Qué contento estoy! ¡El esfuerzo y las comidas de tarro han merecido la pena!

    Ahí va:

    ************************************************

    Aunque he aplicado las palomitas, y lo de Atila era más o menos obvio por el propio enunciado del problema (hunos –> unos) no sé dónde entra Nadal en todo esto… ya lo explicarás, Santi… Jabon, esta vez a mí en vez de ayudarme me has despistado, je, je.

    Por supuesto, tengo que agradecer a Santi en particular, pero también a todos, la “vidilla” que ha tenido este blog (una semana más) durante todo el tiempo de vigencia del desafío. Sin vuestras ayudas y sin vuestros comentarios (lo del palomar no se me habría ocurrido a mí solo ni de coña… hasta que Santi no me confirmó que ese era seguro el teorema que había que aplicar no me puse a atacarlo con fuerza y a mirarlo por todos los posibles ángulos) no lo habría conseguido. Muchas gracias de verdad.

  35. Justo he publicado el comentario anterior y he tenido una especie de iluminacion mística que me ha abierto la mente que ríete tú de Santa Teresa. Acabo de tener la “idea feliz” más ingeniosa de todo el fin de semana:

    Nadal, el tenis —> los restos

    Mira que sois jodíos y rebuscados :-)

  36. Ana

    Hola, yo siempre a última hora…
    Pero más vale tarde que nunca :-D

    Antes de nada recordamos que el resto de una división en la que el
    dividendo es una resta (suma) es igual a la resta (suma) de los restos
    individuales de cada factor.

    Es decir, si tenemos dos números A y B (con A≥B ) tal que:
    A=n • d + r
    B=m • d + r’
    Es decir que al dividir A/d y B/d los restos son r y r’ respectivamente,
    tendremos que:
    (A-B)=(n-m) • d + (r-r’)
    Es decir, que el resto (A-B)/d es justamente (r-r’) que es la diferencia
    de los restos.

    Dado un número n construimos la siguiente serie de n elementos:

    1, 11, 111, 1111, … hasta un número formado por n “1”s seguidos

    Si en esta serie hay algún número múltiplo de n ya habríamos acabado el
    problema, pero si no lo hubiera lo podemos conseguir a partir de ella
    puesto que al dividir cada elemento de la serie entre n, los restos sólo
    pueden ser 1, 2, 3, …y (n-1). Es decir hay n dividendos (1, 11, 111…) y
    sólo (n-1) restos posibles al dividir entre n. Por ello, podemos asegurar
    que habrá al menos dos números de la serie que den el mismo resto al
    dividir entre n. Y al restar estos dos números el número resultante dará
    cero de resto al dividirlo entre n, es decir, será múltiplo de n. Y además
    estará formado únicamente por ceros y unos ya que se obtiene de restar dos
    números formados sólo por unos. De hecho, con este método se obtiene
    siempre números que tienen unos en las cifras más significativas y ceros
    en las menos.
    Queda así demostrado que dado un numero natural n siempre podemos
    encontrar al menos un número formado sólo por ceros y unos que es múltiplo
    de él.
    Ejemplo n=4
    En la serie 1, 11, 111, 1111 no tenemos ningún múltiplo de 4 pero puesto
    que 11/4 y 111/4 tienen el mismo resto, 3, cuando hagamos 111-11 obtenemos
    100, que es múltiplo de 4. Igualmente, como 1111/4 da de resto 3,
    tendremos que 1111-111=1000 y 1111-11=1100 son múltiplos de 4.

  37. Carlos

    Gracias a los comentarios que se han hecho en este foro, y cuando ya lo veía tan complicado que casi lo daba por perdido, por curiosidad sobre el Teorema de Fermat, buscando y buscando, he acabado llegando a este Mathematical Excalibur (Example 2):
    http://www.math.ust.hk/excalibur/v2_n3.pdf
    Resultado que me ha parecido directamente aplicable al desafío de esta semana.
    A partir de este resultado he redactado una solución y la he mandado en el último minuto (tan a contra reloj que la última parte la he tenido que abreviar para que me diera tiempo a escribirla). Espero que haya entrado y que esté correcta…

    • Sí, yo tengo otra demostración, algo más farragosa, que se basa en llegar a 99999…9 que al ser múltiplo de 11111…1 sirve también para este desafío.

      • Miletón

        Por ahí empecé yo, para los números primos lo tenía claro, pero no podía generalizar a los compuestos. Despúes de subirme al palomar, sin papel ni nada, he pensado que lo que tenía valía también para todos los impares, con lo que estaría demostrado porque para los pares sólo haría falta multiplicar por 10. Ahora ya no se si me quedarán ganas de comprobarlo. Voy a leer el que señala Carlos.

    • Carlos

      Esta es la solución que he enviado:

      1) Todo número impar n no divisible por 5, divide a un número de la forma 99..9.
      Demostración:
      Si n es impar y no divisible por 5, entonces n y 10 son primos relativos.
      Por el teorema de Euler (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem):

      10^phi(n) = 1 (mod n)

      es decir, n divide a 10^phi(n) – 1 = 99..9

      2.a) Si n es impar no divisible por 5, 9·n también es impar no divisible por 5, con lo que divide a un número de la forma 99..9. Es decir, existe un k tal que:

      9·n·k = 99..9 = 9·11..1

      de donde:

      n·k = 11..1

      2.b) Si n es impar y divisible por 5, tendremos que n = 5^p·n’, donde n’ no divide a 5, con lo que de 2.a) habrá un k’ tal que:

      n’·k’ =

      y multiplicando también por 2^p tendremos un número formado por todo unos y terminado con p ceros:

      n·(k’·2^5) = 5^p·n’·k’·2^5 = 11..10..0

      2.c) Análogamente si n es par multiplicaremos por 5^p’ con el p’ adecuado para igualar la potencia del factor de 2 de n.

      QED

      … ahora que lo veo con más calma, los caso en que n sea par o múltiplo de 5 se pueden resumir diciendo que hay que multiplicar por una potencia de 2 o de 5 de forma que se igualen para formar un factor (2·5)^p = 10^p

      aagh.. con las prisas en el caso 2.b) me he dejado los unos:

      n’·k’ =11..1

  38. Zap

    Mi demostración se baso en el teorema de Euler-Fermat, pero viendo otras, parece que he matado moscas a cañonazos

  39. Maito

    Está claro que me gusta complicarme y en vez de “volar cuan paloma” me dio por cazarlas a cañonazos a mi también.
    Perdón a aquellos que haya podido desviar de la senda más intuitiva.

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