Unos, ceros… y palomas. Solución de El País al 15º Desafío Matemático


La solución más breve es la siguiente: dado un número natural N, al dividir cualquier número natural entre N sólo se pueden obtener N restos distintos: 0, 1, 2,…, N-1. Por tanto, si consideramos N+1 números de la forma 1, 11, 111, 1111, 11111,…, necesariamente hay dos que dan el mismo resto al dividir entre N (¡esto es el Principio del Palomar!), y su diferencia es un múltiplo de N. Esta diferencia (restando el menor del mayor) la forman unos cuantos unos seguidos de unos cuantos ceros, con lo que hemos resuelto el desafío. Ésta es la demostración que ha dado ganador del sorteo.

Una segunda solución, que también ilustra el Principio del Palomar, es la enviada, entre otros, por Fernando Holgado (el residuo módulo N es otra forma de llamar al resto al dividir entre N):

Sea N el número natural del que queremos hallar un múltiplo cuyas cifras son ceros y unos. Consideramos todas las potencias de 10 y vamos calculando sus residuos módulo N. Si alguno de ellos es cero, esa potencia de 10 será un múltiplo de N y ya tendríamos un múltiplo formado por unos y cero . Si ninguna de ellas da resto 0, tendrá que haber un momento en que se repita el resto que se obtiene (sólo hay N restos distintos posibles). Es decir, 10^a=10^(a+h) módulo N. Y por tanto, 10^a=10^(a+h)=10^(a+2h)=10^(a+mh) módulo N para cualquier m mayor o igual que 1 [algunos lectores han sustituido este argumento por la observación de que, al estar considerando infinitas potencias de 10 y ser los posibles restos un número finito, al menos uno de ellos debe repetirse infinitas veces]. Si denotamos 10^a=r módulo 10, se tendrá que

10^a+10^(a+h)+10^(a+2h)+…+10^(a+(N-1)h)=r+r+r+…+r=Nr=0 módulo N, es decir, el número indicado es un múltiplo de N, que al ser una suma de potencias de 10, estará formado exclusivamente por unos y ceros.

Hemos recibido un tercer tipo de solución, quizás incluso más elemental, que se basa en escribir la expansión decimal de 1/N. La versión más sencilla de este argumento la ha dado Maider Goñi Urreta, que considera en realidad la expansión decimal de 1/(9N), observar que es finita o periódica y recuerda que, en cualquier caso, se puede escribir como una fracción con denominador bien 10^k formado bien formado sólo por nueves y ceros. A partir de aquí se ve que ese denominador es un múltiplo de 9N y, para acabar, basta con dividir por 9 si fuese necesario.

Algunos lectores han enviado soluciones basadas directamente en la tabla de multiplicar y en ir encontrando una a una las cifras del número por el que hay que multiplicar N. Como ellos mismos han comprobado, dar esa demostración con todos los detalles es costoso. Aun así algunos lo han conseguido, y esperamos que sean precisamente ellos quienes más aprecien el valor del Principio del Palomar.

Queremos comentar por último que se han recibido soluciones que, antes de usar el Principio del Palomar, invocaban el Teorema de Euler-Fermat. Por supuesto son correctas, pero esta vez, y sin que sirva de precedente, usar “más matemáticas” alargaba la solución.

El jueves presentaremos un nuevo desafío.

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