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David Obrador Sala, profesor de matemáticas de educación secundaria y miembro de la Associació Catalana de GeoGebra, presenta el decimoctavo de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 19 de julio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com y gana una biblioteca matemática como la que cada semana distribuye EL PAÍS. Esta semana en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, Un descubrimiento sin fin, de Enrique Gracián.
A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito. Esta semana le echamos un poco de literatura al enunciado…
Hace muchos siglos un pequeño grupo de antepasados nuestros buscaban un lugar adecuado donde establecerse y formar un poblado. Fue así como descubrieron un magnífico territorio llano en forma de triángulo equilátero de 10 km de lado. Era una tierra llena de posibilidades:
A lo largo de uno de los lados del triángulo, discurría un río tranquilo y cristalino de donde podían tomar el agua e incluso pescar. Otro de los lados se abría en toda su longitud a una sabana en donde podrían cazar buenas piezas . El tercer lado limitaba completamente con un terreno fértil que podían cultivar
Felices con este descubrimiento se establecieron en un punto de esta vasta llanura triangular y construyeron tres caminos que unían el poblado con cada uno de los lados. Cada camino unía el poblado con uno de los lados en línea recta y de manera que el trayecto era el más corto posible. Y empezaron a vivir según sus ancestrales costumbres. Cada día, con el alba se dirigían al río a buscar agua e incluso algún pescado, si la suerte acompañaba. De regreso al poblado cambiaban los cántaros por los arcos y las flechas, y recorrían el camino hasta el límite de la sabana para cazar alguna presa que llevaban al poblado ante la alegría de todos. En la hoguera cocinaban sus manjares. Tras la comida y antes del trayecto vespertino, un poco de descanso. Por la tarde tomaban el camino hacia las zonas de cultivo para llevar a cabo rudimentarios trabajos agrícolas. Al atardecer volvían al poblado llevando, en ocasiones, el fruto de las sencillas cosechas.
Se trataba de una vida tranquila que sólo tenía el inconveniente de las largas caminatas de ida y vuelta en línea recta por los trillados caminos hacia el río, la sabana y los cultivos. Paso a paso, ni muy lentos ni muy rápidos, a una velocidad constante de 5 km/h, cada día recorrían los tres caminos que les aseguraban su sustento. Eran felices y vivían en paz… aunque a veces se sentían cansados de tanto caminar.
Lo que preguntamos esta semana es: ¿Cuántas horas empleaban cada día en recorrer estos caminos? ¿Cuántas horas emplea cada día un individuo de esta tribu en recorrer ida y vuelta estos trayectos?
NOTAS IMPORTANTES: Os pedimos la solución en horas con dos decimales, no en horas y minutos. Debéis enviarnos la solución y el razonamiento que os ha conducido a ella.
Santiprofemates 
Mucho enunciado y palabrería, pero al final el problema es bastante fácil, no sé si el más fácil de todos los publicados. Al menos, si se tienen unas nociones mínimas de geometría, baricentros y medianas. La mediana es la clave
Este se resuelve en minutos y aqui si que no hay posible error. Quizas se pueda dar con una respuesta mas elegante pero incluso a lo burro sale. Creo que es de nivel ESO (seguro que Santi nos puede dar su opinion al respecto).
Probablemente, han planteado algo asi para compensar el destrozo del desafio anterior…
vincent no tendra problemas en resolverlo en unos minutos…
Este desafío creo que no va a despertar pasiones… sólo se trata de geometría muy elemental. Nada de coordenadas ni geometría analítica… A los habitantes del triángulo mejor les seria tomar un taxi en lugar de andar tanto, para ello deben contactar con Omar …. aunque viva algo lejos…
«Entre los taxistas porteños se sabe que las paradas de taxis tienen un dueño. Y ese propietario sería Omar …… «.
Uno de los más sencillos, sin ninguna duda. La omisión en el enunciado es la mayor pista. Si aún el triánguno no fuera equilátero igual tendría algo más de chicha, pero así…
Parece más un problema de física (velocidad, espacio, tiempo), así que nuestro amigo Vincent_price estará más contento.
En apariencia muy simple, no sé si esconde algo
caray! tendrá tucro? matemáticamente es fácil de resolver pero será interesante ver las ideas felices que habrá seguramente para demostrarlo.¿por qué 2 decimales si tiene 4 exactos creo?
Si no me equivoco, deberias repasar los calculos… :S
Me gusta el desafío porque, una vez más, parece fácil en un principio y me gusta el modo de presentarlo, saliendo del aula y con una pequeña historia.
Dado que no especifican el punto exacto del poblado parece claro que es un dato irrelevante. Lo he resuelto de manera sencilla suponiendo el pueblo en el punto central. Demostrar que el resultado es el mismo para cualquiero punto… me está llevando algo más. Me faltan ecuaciones o me sobran incógnitas ;-)
Le daré otra vuelta a ver qué sale…
Efectivamente Angel la posición del poblado es irrelevante, porque lo pongas donde lo pongas….
En estos dos últimos desafíos el nivel ha caído de forma considerable, a la peña creo que le gusta discurrir, y lo cierto es que la solución es conocida pensando unos instantes.
Saludos.
Angel,
O mucho me equivoco o vas por mal camino. Yo tambien pensaba como y creo que estaba errado….
Después de leer todos los comentarios de este fin de semana puedo decir que, efectivamente, mi modo de pensar (que me funciona muy bien suponiendo el poblado en el centro) no es lo más óptimo para el caso general. Demasiado Pitágoras, demasiadas variables, demasiadas ecuaciones…
La pista fundamental fue una única palabra: áreas. Fue empezar a jugar con ellas y todo salío rápido y limpio.
Graaaaacias a todos!!
¿?
Debian haber especificado que el poblado está en un punto cualquiera del triángulo, y no necesariamente en el centro.
Si es trivial. ¿no?
Este fin de semana toca repasar trigonometria.
Creo que, aunque no lo digan, parece obvio que el poblado puede estar en cualquier sitio del triangulo. En caso contrario, seria demasiado trivial. Aun asi, este si que es facil
No es uno de los más fáciles es el más fácil… tanto que he visto el desafío unas tres veces y leídos otras tantas porque creía que debía tener algún truco.
Es un problema bonito para niños de ESO, sencillo y simple.
Medianas, baricentro, teorema de pitágoras y matemática elemental.
Pues yo creo que la posición óptima del poblado… es en uno cualquiera de los vértices del triángulo. Así, la distancia a recorrer será mínima: cero kilómetros a la sabana y a los cultivos (por ejemplo), y 8,66 km al río.
Mejor caminar hacia el río, que así por lo menos se sacia la sed antes de volver :)
Saludos
Yo había pensado exactamente lo mismo, jejeje
Parece que esta semana El Pais se ha inclinado por un enunciado ameno y atractivo y reducir algo la dificultad. No sé si tendrá algo que ver el bajo % de respuestas correctas recibidas en los últimos desafíos. A mí me parece bien. La demostración de la irrelevancia del lugar del poblado no es dificil a simple vista con trigonometría basica, aunque me queda la duda de si no habrá una solución más simple y elegante. No quisiera ser quisquilloso, pero ¿por qué hacen la misma pregunta dos veces?
Se supone que se trata de encontrar primero el trayecto más corto , esa es la dificultad, pues una vez establecido lo demás es fácil. No me parece tan fácil lo primero, especialmente para los que hace años dejaron de tener contacto con las matematicas.A no ser que haya una demostración de idea feliz, esperemos que sí.¿Y si no hubiera tres caminos, sino sólo uno?
Igual el truco esta en las 2 preguntas aparentemente identicas:
¿Cuántas horas empleaban cada día en recorrer estos caminos? ¿Cuántas horas emplea cada día un individuo de esta tribu en recorrer ida y vuelta estos trayectos?
Esta 2ª pregunta sólo está en la parte escrita no en el video.
Es indifirente el punto del triángulo pero no piden que se demuestre sólo el razonamiento.
Hay cierta diferencia entre razonamiento y demostración.
Si el punto es indiferente puedo tomar aquel que me resulte más sencillo para efectuar los cálculos.
Y el punto más sencillo no necesita usar trigonometría necesita: conocer cierta propiedad del baricentro, usar el teorema de pitágoras y matemáticas elementales.
Hace muchos, muchos años, (más de los que yo quisiera) nos cayó un problema casi calcado en el concurso de la Puig Adam. Para ser más exactos, año 1985, nivel 1° de BUP. Y tenéis razón, no tiene truco, y el punto que se elija es indiferente, eso sí, el triangulo debe ser equilátero.
Hola a todos. Acabo de leerlo por primera vez y tal vez este desafío esconde algo, porque a priori parece excesivamente facil. Coincido con quien dice que la clave está en lo que no se dice…..
He puesto una pista que ya veo que es mucho más rebuscada que el problema… Bueno, pues como que debo ser un retorcido insisto en que la pista es la solución, creo que elegante y sencilla del problema. Nada de coordenadas, nada de trigonometria, nada de ecuaciones, nada de geometría analítica, nada de medianas, nada de baricentro…. sólo saber el area del triángulo y el Teorema de Pitágoras… y nada más!… pero es sólo una opinión. Creo que el truco del problema es precisamente resolverlo lo más sencillamente posible.
Estoy contigo. El área son las áreas
Acabo de encontrar la relación entre el area y el espacio recorrido entre los tres caminos….
¡Muy curioso!
Yo, tirando del Pitágoras, he encontrado una demostración.
En una línea, sí; La solución cabe ahí.
Hola a todos.
Pues sí, salvo que el enunciado tenga algún tipo de pista o dato oculto que se nos escapa, parece más que fácil, tirado para aquellos que cursamos estudios de ciencias.
Si no ando desencaminado, se trata de encontrar un lugar geométrico: el punto interior a ese triangulo tal que la suma de distancias a los lados de dicho triángulo sea la menor posible. Calcular este tipo de distancias se supone que sabemos como se hace, y también encontrar el valor máximo o mínimo de una función: hay que derivarla y todo eso…
Sin necesidad de hacer ni un sólo cálculo, hay una solución trivial, que consiste en situar el poblado en uno de los vértices cualquiera del triángulo.
Manuel me temo que no haya nada que derivar, en cuanto que sumes las distancias te quedarás sin variables.
Saludos.
pipin, es que todavía no me había puesto manos a la obra, hablaba de un caso general.
De todas formas, si, como afirmas, te quedas sin variables, se deduce que la función es constante, sin máximos ni mínimos locales.
Eso es, en cuanto te hayas puesto manos a la obra ya lo habrás visto que queda una constante.
Saludos.
Manuel: es más bien al revés: elige cualquier cualquier punto, traza líneas a cada lado (las que hacen distancia mínima), también a cada vértice … y haz números…
Cuando el resultado del desafío es demostrar que no se puede me pongo de los nervios porque dudo de que no se pueda. Pero cuando son, «aparentemente», fáciles me dan aún más los ataques de la duda.
Yo he tirado de apotemas aunque al ser equilátero da lo mismo donde se coloque el pueblo ¿o no? ¿estoy perdido o voy bien?
Amigos, ojo con el enunciado exacto. Y atentos también al comentario dejado por Rogelio…
Estoy con los comentarios anteriores, lo más interesante es ver que el punto de partida es indiferente, y se puede ver con un argumento sencillo y bonito.
Aunque no lo creáis todavía no sé ni de que va el desafío (bueno, algo de triángulos ;) ) Hasta mañana a mediodía no tendré tiempo ni para respirar. Entonces podré aportar algo. Hasta entonces… saludos a todos y gracias por seguir ahí.
Lo que me temía, la solución, más simple no puede ser. He empezado planteando no se cuantas relaciones trigonométricas y como no podía ser de otra manera, he llegado a la demostración. Pero tras abandonar el problema y volverlo a mirar con otro enfoque, chachaaan!! he visto la luz. Permitidme la expresión, pero la demostración es una «soplapollez» y como dice Rafael, cabe en una línea. Coincido con vosotros en que la gracia de este desafío es encontrar esa solución sencilla y elegante.
Creo que el problema no esconde nada extraño, su facilidad nos hace sospechar de algo oculto.
Existen varios caminos, el truco para hacerlo más fácil consiste en localizar el punto más adecuado para que facilite los cálculo.
Hay un teorema por ahí que si se conoce da directamente la distancia, por tanto no hay que buscar ningún punto que facilite el cálculo.
Krs… sabía que el punto era indiferente… me faltaba demostrarlo… tu comentario me hizo buscar y encontrar el Teorema de Viviani… a partir de aqui todo es muy sencillo.
Hola a todos, soy nueva aquí, aunque en el desafío anterior mandé un mensaje de felicitación a todos por el nivel académico y humano de este blog, pero no apareció , Creo que como el poblado puede estar en cualquier sitio, no valdrá elegir un sitio en particular como la intersección de alturas, medianas, etc, a menos que se demuestre que el resultado conseguido así, es el mismo que si el poblado estuviera en cualquier otro lugar.
Hola Claudia ¿seguro que no apareció? recuerdo perfectamente haberlo aprobado… mmmm en todo caso mis disculpas, bienvenida y muchas gracias.
Santi, cuando yo miré, no estaba ni pendiente de moderación, ni aprobado, por eso pensé que no había aparecido,pero ante tu duda he ido a revisar y sí que está. Te hago dos preguntas: cómo puedo enviarte la solución para que la veas?(la tengo en un archivo de Word). Tengo que esperar a que salga la solución? Muchas gracias y disculpa mi confusión.
me la puedes mandar (cuando quieras) a santiprofemates@gmail.com y yo lo cuelgo aquí llegado el momento para que quien quiera la consulte. Gracias a ti, no problem.
Para mi que este desafío es para demostrar que con poquísima geometría se resuelve fácilmente.
Sólo se supone que sabemos la fórmula del Area del triángulo y el Teorema de Pitágoras.
Y ahora me propongo explicarlo y resolverlo con el mínimo de palabras. Veamos:
******************************************************************
Entre los taxistas porteños se sabe que las paradas de taxis tienen un dueño….
Me sigue mosqueando que al final del enunciado hagan la misma pregunta dos veces ¿hay algo escondido ahí?. Si no es así, la respuesta se calcula con una simple operación y el resultado es (autocensura) *.**4101615.
Desde luego lo más interesante es demostrar la… indiferencia, cosa que se puede hacer ( pista va….) de forma tan elegante como se demuestra el teorema de pitágoras
A mi me da lo mismo pero sin asteriscos :D
Roberto, a mí también me intrigaba lo de las dos preguntas, pero en el video de El Pais, el profesor sólo hace una, por eso no me preocupé más.
No sé por qué en la versión escrita han puesto dos, tal vez para aclarar y terminaron confundiendo a muchos.
Completamente de acuerdo.
Creo que lo de las dos preguntas es para aclarar. No creo que tenga más misterio.
Creo que no doy ninguna pista porque ya muchos comentarios han indicado que da igual el punto donde se sitúe el poblado, pero en el enunciado indican que el camino a recorrer es el mínimo posible, por tanto supongo que hay que explicar porqué esa distancia es mínima o al menos porqué no importa donde esté si se trata de un triángulo equilátero.
Para Manuel: El resultado es un número irracional, por tanto no tiene 4 decimales exactos.
Yo también creo que es el más fácil hasta ahora.
No podía creerme la solución trivial que todos comentan, y que se puede calcular sin ningún tipo de demostración teniendo en cuenta una conocida propiedad de la distancia del baricentro a un lado… He estado especulando con el enunciado y me interesé mucho por la 2ª condición de los caminos, que dice «cada camino unía el poblado con uno de los lados en línea recta y de manera que el trayecto era el más corto posible…» Nótese que no dice «con cada uno de los lados…» sino «con uno de los lados», por lo que he estado pensando que el problema quizá se referiría a una solución de tres rectas de las que dos de ellas se apoyan en el punto de intersección de un primer camino desde el poblado hasta un lado (por supuesto, todas serían perpendiculares al lado correspondiente). La solución sigue siendo facilona, pero por lo menos el problema cobraría algo de dificultad.
Ahora bien, acabo de ver el vídeo del El País y no hay lugar a dudas: el retador se refiere inequívocamente a 3 rectas (perpendiculares) desde el poblado a cada uno de los lados. Dicho así, el problema es sencillamente decepcionante.
Una cuestión que me animó a darle vueltas al enunciado es la aparición de la 2ª pregunta, que no aparece en el vídeo y que parece sugerir que las respuestas no son idénticas en ambas cuestiones, situación que solo podría darse en el caso de mi supuesto de caminos apoyados en un solo lado, y siempre que alguna recta fuese común para 2 itinerarios diferentes… pero como digo he abandonado la idea. En cualquier caso, la aparición de esta 2ª pregunta que no aparece en el vídeo no parece corresponderse al rigor con el que el diario se ha venido conduciendo.
En fin, no sé cómo se ha deslizado un problema como éste en un planteamiento tan serio como el que ha venido haciendo El País.
Me respondo a mí mismo, porque creo que no he sabido manifestar mi decepción, dado que me arrepiento incluso de haber mencionado el baricentro: digamos que basta con recordar algo tan difícil como el área de un triángulo y el valor de cos60, lo que nos permite dejar en paz al señor Pitágoras, que no merece ser molestado por un propósito tan trivial.
En fin, sigo sin creérmelo; si alguno quiere reflexionar sobre si el problema es diferente del que todos suponemos, se lo agradeceré.
Está claro que aunque es el más fácil es un problema de altura.
Hola a todos. ¿verdad que parecen mosqueantes dos cosas? Por un lado la aparente sencillez y por otro la doble pregunta final.
Bueno. después de, anoche, comerme el tarro un rato me di cuenta que la doble pregunta del final (especialmente cuando individualiza) es sencillamente una pista (o al menos yo me creí eso).
Pensemos: Un grupo de personas, un poblado, no es nunca un punto si el espacio está delimitado. Es más, el pobolado puede ser tan grande que ocupe todo el triángulo. Por lo tanto está superclaro que lo que quieren es que demostremos que lo evidente sirve para cualquier punto.
Esa demostración tampoco es difícil porque es cuestión de áreas pero … ese debe ser el intríngulis que nos tiene a todos dudando de si es fácil o si no o si lleva algo oculto
Un saludo.
Yo sigo insistiendo en que no hay que demostrar nada sólo razonar. Basándonos en algún teorema de los triángulos equilateros (teorema muy vivo) se sabe que cualquier punto que se tome dentro del triángulo es indiferente para el total de la distancia…. sabiendo ésto (no hay que demostrarlo… ya está demostrado) sólo debo tomar un punto cualquiera, el que sea más sencilo para el cálculo pues el resultado es indistinto tome el punto que tome (siempre que elija el camino más corto desde el punto a cada uno de los lados, es decir una recta perpendicular desde dicho punto a cada uno de los lados).
Acabo de ver el vídeo y comento el asombro general, parece mentira que este problema y otros que se han puesto formen parte de la misma iniciativa… pero en fin, hay que reconocer que la presentación es muy atractiva y que da lugar a que gente quizás mucho más joven de lo habitual pueda participar.
Vincent eligió un buen fin de semana para ir a la playa jejeje.
La verdad es que después de pasarme largas horas resolviendo los 3 últimos problemas, soy de los que querían un problema fácil, aunque esta vez quizás se hayan pasado un pelín
Acabo de ver el vídeo, y por más que pienso me parece que es extremadamente simple, sólo hay que tener en cuenta el baricentro, las medianas y el 60, y a los soldados de Flandes, aunque ¿Hay que tener en cuenta a uno sólo de ellos o a seis?………….
Incluso podemos dejar tranquilos a los soldados de Flandes
Bueno, después de pensarlo bien pensado, creo que finalmente los soldados de Flandes sí tienen algo que decir, especialmente uno de ellos. Serán un solo soldado el que nos de la clave.
Parece que a Javier no le han parecido suficientemente claras las pistas anteriores (Ave, Salva, etc). No veo nada oculto, símplemente es que es sencillo.
Toni sugiere que hay que demostrar algo. No creo que sea necesario (es como el teorema de Pitágoras, se cita y no hay que volverlo a demostrar).
Creo que este desafío va a batir el récord de participantes y soluciones válidas. Yo coincido con Roberto y Jesús. (Añadiendo dos decimales más es: *,**410161513)
Nota: Los últimos eran bastante difíciles, así que a aquellos que no tenemos tanto nivel (lo reconozco, he fallado casi la mitad) nos vale para no desanimarnos.
Bueno, Santi, ahí va mi respuesta: el tiempo que tardaban los miembros del poblado en recorrer todos los caminos era ******************************.
Buscando un planteamiento alternativo al cálculo directo de distancias, llegué a obtener la solución al problema utilizando solamente el teorema del seno y las 4 operaciones básicas; No es preciso calcular áreas, ni distancias, ni siquiera aplicar el teorema de pitágoras, aunque también se podía resolver mediante este último procedimiento.
Te enviaría la solución completa, pero, por un lado, no dispongo de un dibujador de figuras geométricas decente -la explicación es bastante visual, aunque incluye fórmulas-, y, por otro, qué diablo, el problema era tan fácil que no te motiva para escribir y enviar la respuesta.
En fin, saludos a todos.
ok, la verdad es que salvo alguna ocurrencia bonita, no merece demasiado la pena. Saludos.
Santi, te he mandado al correo mi solución que creo que es muy sencilla.
También he estado dándole vueltas al desafío anterior y tengo un fallo gordo en mi demostración (una de las que colgaste :-s). A ver si saco tiempo y lo corrijo.
Un saludo y gracias
Ok, gracias.
Buenas noches Santi.
Después de darle muchas vueltas no encuentro nada más sencillo que lo que te he enviado al email.
Gracias.
Saludos a todos.
Ya de vuelta del fin de semana, no sé si con la mente más clara o no, el reto es sencillo.
A mi entender se pide un dato y una explicación o razonamiento, y ello me induce a pensar que sí que hay que demostrar algo, al menos justificar la elección del lugar.
Claro, que ante tantas variables, yo me inclinaría por elegir un lugar abrigado y orientado al sur (si estamos en el hemisferio norte); en cuanto a la orografía, también habría que tenerla en cuenta.
Si alguien ya ha demostrado algo, si existe un teorema… no es necesario demostrar nada sólo hacer referencia a tal teorema.
Hola a todos,
después de un fin de semana del que no voy a hablar para no dar envidia :-P acabo de leer el enunciado y vuestros comentarios.
Muchas gracias a todos los que os habéis acordado de mí :-)
Y, efectivamente, Santi, creo que elegí un buen finde para irme a la playa.
El único «gran» desafío va a ser intentar encontrar la solución más fácil y sencilla posible. A bote pronto ya tengo en mente una con geometría analítica utilizando las ecuaciones de distancia entre recta y punto (sistema de ecuaciones en el cual confío que se me anularán todas las incógnitas) pero voy a buscar algo más fácil antes de ponerme con esto.
Gracias de nuevo… y me voy al tema!
He olvidado una cosilla: ¿baricentro? ¿seguro? Hombre, serviría si el poblado está en un punto muy concreto, y haciendo uso de lo bien que se llevaban los compañeros del Capitán Alatriste en Flandes con el baricentro la respuesta es inmediata… pero si queremos demostrar que dicha solución sirve para cualquier punto interior del triángulo, con el baricentro no es suficiente, ¿no?
(a lo mejor he dicho alguna barbaridad, pero es que aún estoy medio dormido y todavía no he pensado lo suficiente en el problema, ni siquiera he hecho un dibujito)
Lo del baricentro sólo sirve para calcular la distancia… no es que se coloquen en ese punto, por la sencillez de cálculo (sabiendo que cualquier puento dentro del triángulo es indiferente).
Sin embargo hay un procedimiento más sencillo para calcular la distancia sin tener en cuenta el baricentro.
Lo del baricentro lo puse teniendo en cuenta lo que dicen en el enunciado:
«Construyeron tres caminos que unían el poblado con cada uno de los lados. Cada camino unía el poblado con uno de los lados en línea recta y de manera que el trayecto era el más corto posible.»
Creo que es el baricentro el punto que queda a la mínima distancia de los tres lados simultaneamente, uniéndose a estos con tres rectas, perpendiculares cada una de ellas a cada uno de los lados, de manera que, efectivamente, la distancia a estos a traves de dichas rectas es mínima. Corregidme si me equivoco. Gracias.
Lo del soldado de Flandes (que oculta una palabra muy simple, como imagino que os distéis cuenta), pues bueno, tampoco eran necesario, pero junto con el seno de 60, me facilitó el tercer cálculo, aunque realmente tampoco era necesario, pq el resultado era el mismo que el de los anteriores, al tratarse de un triángulo equiilatero.
Cierto Ernesto, pero hay una cierta ambigüedad… pues tomado cualquier punto dentro del triángulo el caminos más corto posible es una recta perpendicular desde el punto al lado.
Me parece bien que vayan planteando problemas de diferente dificultad. Al fin y al cabo es a la gente joven a los que hay que atrapar (a los talluditos que pasamos por aquí ya está claro que nos gustan las mates :-)). Me da la misma solución «asteriscada» que han puesto antes, así que lo doy por bueno.
********************
Gracias, interesante aportación, lo pondré en su momento.
Efectivamente la resoluciónn es fácil , primero coincidimos en que el punto donde se establecen es indiferente en cuanto a la suma de los tres caminos (demo elegante mediante áreas) ahora bien ¿cuál es el punto más conveniente? 1ºel rio coincide con un lado luego no hay camino extra y han de volver cargados de agua y peces, 2º van a cazar a la sabana que linda con otro lado y aqui si hay camino extra y desgaste fisico y además vuelvan cargados con las piezas obtenidas (un leon, una gacela, etc) luego comen y descansan y 3º van a labrar la tierra colindante al tercer lado pequeño camino extra y llevan los aperos de labranza.
Este es el gran dilema, jejeje
Santi, resumida te envío mi solución (no tiene ningún mérito) es indudablemente el desafío más sencillo.
****************************************
OK. Gracias.
No es que lo haya pensado, es que ha sido mi respuesta final que reproduzco literalmente; prescindiendo
de los soldados de Flandes.
» Los indígenas se sitúan en el vértice opuesto al río, de este modo desayunan fuerte con las
provisiones que tienen del día anterior, van a buscar el agua y la pesca, regresan tras 3 horas y media de camino aproximadamente; y el resto del día ya tienen la caza y las faenas agrícolas a mano»
Es una forma de dar una respuesta «razonada», como se exige en el enunciado.
jajaja, muy buena, yo creo que aunque no te toque deberían mencionarlo.
Una pistita: La demostración corresponde al nombre de un teorema en honor a un matemático del s. XVII y cuyo nombre me recuerda a la anterior ministra de Igualdad, aunque calificarlo de teorema me parece muy pretencioso. Seguro que más de mil años antes, el Sr. Euclides ya lo conocía sin necesidad de bautizarlo.
Un poco de historia. Al parecer el propio Viviani conocía bien los Elementos de Euclides:
http://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&lpg=PP1&pg=PA150#v=onepage&q&f=false
Parece que viene de la solución a un problema propuesto por Fermat…
http://www.jstor.org/pss/2695644
Sin duda la mejor solución al cansancio es aprender a hacer trueque.
1º Elige un sitio cómodo cerca de una de las lindes. 2º Especialízate en el trabajo de ese territorio colindante sin pasarte y sin agotar los recursos. 3º Promueve un mercado en el centro del triángulo (eso es fácil, te plantas allí con tu género y lo ofreces a cambio de otra cosa) sin pasarte y siendo justo. 4º Dedica a trocar lo justo, osea sólo 1/3 del tiempo que hubieras dedicado a caminar y, sobre todo, no inventes ni el dinero ni la banca. 5º Descansa, habla, pasea, hacer el amor, escribe, piensa investiga, sueña, … 1/3 del tiempo que hubieras dedicado a caminar.
Acabarás menos cansado
Jajajajaj os llevo leyendo desde hace una semanas y de paso que me presento deciros que es la mejor repuesta que he leido hasta ahora, pero Jabon llega un poco tarde ….. ya os diré una de mis solucciones, bueno lo digo ahora, el camino es igual a la longitud del lado por una constante …….. y hasta ahi puedo leer …
saludos
Hola goliattt, welcome.
Hola. Llevo un par de semanas fuera de los desafíos por razones de trabajo (aunque os leo cuando puedo) y hoy mismo me reengancho.
Sólo quería comentar, sobre el tema de la falta de dificultad, que penseis en los que no tenemos un nivel muy alto y/o llevamos muchos años sin repasar. Yo con el de hoy, por ejemplo, si no leo aquí lo del teorema «vivo» ese (que desconocía o había olvidado totalmente) y me pongo a buscarlo, hubiera tenido muy difícil pasar de poder decir que la solución era igual para el centro o los vértices. Seguro que la dificultad de este desafío la han querido poner en situar el poblado. Un saludo.
AVISO: Respondo a varios al mismo tiempo; quien quiera enviarme un gráfico, un word o un pdf para mostrar aquí su solución, puede enviármelo a santiprofemates@gmail.com. Esta semana tenemos ya unos cuantos.
Saludos.
Después de mucho pensarlo, creo que sí tiene truco y eso a pesar de lo que dije un primer momento. La solución cabía en una línea, sí; pero… es que hacen dos preguntas y no una! La primera habla de camino y la segunda de trayectos, y si entendemos un trayecto como la suma de caminos pues la hemos liado y ya no es tan evidente la cosa. Por correo mando mi propuesta. Saludos desde La Coruña.
Mi solución:
https://docs.google.com/document/pub?id=17yHjhDqFuEY2HWozduwqxgqqL0yPZlW_9U5O-EW20_0
Por supuesto, la primera parte es el Teorema de Viviani:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Viviani
Una demostración con vectores (sin palabras):
Haz clic para acceder a Let_pi_be_308628.pdf