Solución de El País al 19º Desafío Matemático


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La solución propuesta por el Profesor González-Meneses es la siguiente:

Supongamos que tenemos una forma de escribir 2^2012 como suma de cuatro cuadrados: 2^2012=A^2+B^2+C^2+D^2. Para obtener información sobre estos cuatro números A, B, C y D, usaremos un método muy útil para trabajar con números grandes: miraremos los restos que se obtienen al dividir cada sumando por un número pequeño, en este caso, el 8.

Veamos cuál es el resto de dividir A^2 entre 8.

Si A es par (múltiplo de 2), su cuadrado será múltiplo de 4. Por tanto, el resto de dividir A^2 entre 8, en este caso, debe ser 0 o 4.

Si A es impar, se escribirá A=2k+1. Su cuadrado será A^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1. Observemos que, o bien k, o bien k+1 debe ser par, luego 4k(k+1) es múltiplo de 8. Por tanto, el resto de dividir A^2 entre 8, en este caso, es 1.

Análogamente, el resto de dividir B^2, C^2 o D^2 entre 8 debe ser también 0, 1 o 4.

Como la suma de los cuatro cuadrados es igual a 2^2012, que es múltiplo de 8, los cuatro restos deben sumar obligatoriamente 0, 8 o 16. Y como los restos sólo pueden ser 0, 1 o 4, se observa fácilmente (por ejemplo haciendo todas las combinaciones posibles), que nunca puede haber un 1. Es decir, A, B, C y D deben ser pares, y podremos escribirlos A=2a, B=2b, C=2c y D=2d.

Pero entonces, si tomamos la igualdad 2^2012=A^2+B^2+C^2+D^2 y la dividimos entre 4, obtenemos 2^2010=a^2+b^2+c^2+d^2. Podemos ahora repetir el argumento, concluyendo que a, b, c y d son pares, lo que nos da una descomposición como suma de cuatro cuadrados de 2^2008, luego otra de 2^2006, 2^2004, etc, dividiendo cada vez por 4 la igualdad anterior. Esto nos llevaría a obtener una descomposición de 2^2=4 como suma de cuatro cuadrados. Pero la única descomposición posible es 4=1+1+1+1, que sólo puede provenir de 2^2012=2^2010+2^2010+2^2010+2^2010. Es decir, 2^2012=(2^1005)^2+(2^1005)^2+(2^1005)^2+(2^1005)^2 es la única forma de descomponer 2^2012 como suma de cuatro cuadrados.

En el caso de 2^2011, el mismo argumento nos dice que cualquier descomposición de 2^2011 como suma de cuatro cuadrados, nos daría otra de 2^2009, 2^2007, etc. hasta llegar a 2^1=2. Pero como 2 no se puede descomponer como suma de cuatro cuadrados, se deduce que no hay ninguna manera de descomponer 2^2011 como suma de cuatro cuadrados.

De los más bonitos sin duda y mención especial al comentario final del profesor: “espero que no hayan perdido ninguna de las dos últimas condiciones” jejeje.

La semana que viene la cosa es a lo grande. Malo será que no caiga al menos un premio entre los blogueros…

1 comentario

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Una respuesta a “Solución de El País al 19º Desafío Matemático

  1. Alex

    De los 5 nuevos problemas, el de las 35 sillas es bastante fácil y lo tengo resuelto. El del cuadrado mágico parece un poco paliza y poco matemático, pero ya veremos. Los otros 3 me gustan más, y no creo que ninguno de ellos sea super difícil, aunque quizás (¿ojalá?) me equivoque.

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