Desafío 21: Un sistema de riego eficiente


Durante el mes de Agosto, y por motivos que no vienen al caso me va a ser prácticamente imposible moderar el Blog. Por ello voy a hacer el siguiente cambio (sustancial):

– Voy a cambiar la configuración de los comentarios, para que los de aquellas personas que hayan participado alguna vez en el Blog sean aprobados de forma automática.

Esto supone que os tendréis que autocensurar; y os ruego que mantengáis la filosofía que nos ha ido tan bien hasta ahora de no reventar las soluciones antes de tiempo, estoy seguro de que así lo haréis.

Yo me pasaré cuando pueda por aquí, no sé si poco, mucho o casi nada. No obstante, si se cuela algún comentario excesivo o inadecuado en cualquier sentido, os ruego que me aviséis a mi mail (santiprofemates@gmail.com) para que lo solucione de inmediato.

Un saludo a tod@s y apelo de nuevo a la elegancia que hemos demostrado hasta ahora. ¡A DISFRUTAR LOS QUE PODÁIS!

Acceder desde AQUÍ.

El desafío de esta semana tiene que ver con hacer mínima la suma de las distancias a un conjunto de puntos dados.

En un jardín se quiere montar un sistema de riego automático. Para ello se instalará una boca de riego de la que saldrán tantas tuberías como árboles queramos regar, de modo que cada tubería llegue a uno de dichos árboles y que la suma de las longitudes de dichas tuberías sea mínima.

Es claro que si sólo tenemos 2 árboles y situamos la boca de riego en cualquier punto de la recta que los une, la suma de las longitudes de las tuberías es mínima, con independencia del punto de la recta que se elija.

Pues bien, ahora consideramos un jardín con 4 árboles y el desafío de esta semana consiste en determinar cuál es el punto (o los puntos, si hubiera más de uno) en los que hay que situar la boca de riego para que la suma de las longitudes de las cuatro tuberías sea mínima.

¡Cuidado!, porque la solución va a depender de la disposición que presenten los cuatro árboles en el jardín.

NOTA IMPORTANTE: Para que la solución sea válida, habrá que dar la respuesta correcta en todos los casos posibles, sin que sea necesario justificarla. Hay que tener en cuenta que, aunque siempre es imprescindible que haya tantas tuberías como árboles (es decir, cuatro), la boca de riego puede estar situada justo donde hay un árbol, en cuyo caso se considerará que la tubería que va a dicho árbol tiene una longitud 0.

42 comentarios

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42 Respuestas a “Desafío 21: Un sistema de riego eficiente

  1. Ave

    Bueno… facilito. Quería irme de vacaciones con 2 resueltos y no ha sido complicado. En éste basta con hacer algunos dibujitos para confirmar las soluciones más intuitivas… y tampoco piden demostraciones.

  2. Alex

    Este es el segundo que resuelvo, después del de las 35 sillas. No es difícil pero hay que tener un poco de cuidado para tratar los diferentes casos. Me costó un pelín demostrar la “optimilidad”. No lo pidan, pero bueno así duermo más tranquilo…

  3. pipin

    Buenas, este me recuerda a un desafío muy reciente, el de la suma de distancias desde un punto del triángulo a cada uno de los tres lados, pero en aquel caso el punto estaba confinado en el triángulo o en su contorno, ahora será cosa de poner los arbolillos, en línea, luego 3 en línea y otro suelto de la mano de Dios, luego 2 alineados…., en fin me resulta molesto un planteamiento tan abierto.

    Saludos.

  4. Surrealista amigos blogueros; una empresa de jardinería quería colar aquí un mensaje contando su rollo publicitario… lo que hay que ver.

  5. Ave

    Por cierto, y por asegurar, yo he identificado 4 situaciones cuya solución se puede generalizar. Entiendo que podrían ponerse aquí, pero el peso de la autocensura pedida por Santi… se nota bastante, la verdad. ¿Alguien contempla un número de situaciones diferente?

    • Alex

      Yo tengo 3 situaciones, pero depende luego si uno considera subcasos. Revisaré mi solución a ver si se me ha escapado algo. Por cierto, por ahora, considero que todos los árboles tienen que estar en diferentes puntos del plano. Si eso no es cierto, habrá algún que otro caso degenerado.

      • NOSAJ

        Hombre, yo creo que 2 árboles en el mismo punto carecería de sentido, serían solo 3 árboles en vez de 4

      • Ave

        Alex, en tu 3a situación el cuadrilátero es cóncavo o convexo?

        • Alex

          Ave, no creo que revele nada al decir que las 3 situaciones a las que me refería son las obvias: o bien los todos los puntos están en una recta, o bien forman un cuadrilátero convexo, o bien uno de los puntos está en el interior del triángulo formado por los 3 otros puntos (o sea cuadrilátero cóncavo, como dices).

          • Ave

            Bueno… hay otra que se puede considerar como caso límite de la 3a que comentas y que yo he considerado en mi solución. Son 3 árboles alineados y otro no: en tal caso no se puede hablar de ningún árbol “interior” a ningún triángulo. En fin, por lo que veo estamos en línea.

  6. Este lo dejaré apartado, o no lo he entendido bien, o falta una aclaración.
    Eso de que pueda haber más de una boca de riego, sería una auténtica chorradilla, no sé si me comprendéis.

  7. Ave

    Jabon, yo interpreto que se trata de una única boca de riego; otra cosa es que la solución no sea un solo punto sino, por ejemplo, todos los puntos de un segmento…

  8. Josep

    Creo que coincido con vosotros, aunque yo he considerado sólo dos casos posibles con una única solución genérica. Los otros dos, serían casos límite de los anteriores.

  9. Félix

    Creo que hay una respuesta para todos los casos posibles. Se puede utilizar teoría de máximos y mínimos para demostrarlo, aunque el enunciado no pide ninguna justificación.

  10. Ave

    Félix, si tienes una sola respuesta o solución para todos los casos será de premio, teniendo en cuenta que los lugares geométricos buscados no son siempre un solo punto.

  11. Jesus

    La solucion que me da a mi es demasiado obvia asi que, en este caso, todavia no me convence demasiado

  12. Félix

    Ave, mi respuesta está en función de los puntos elegidos para los árboles, pero sale una función general muy sencilla.

  13. jabon

    Cuando veo que me parece tan fácil, sospecho que algo esconde. Estoy como Jesús, tendré que repasarlo.
    Coincido con la casuística comentada, pero es que en algunos casos es muy obvia.

  14. Baxate

    He considerado varias posibilidades: los cuatro árboles en línea, tres en línea, formando un cuadrilátero y formando un triangulo con otro árbol en su interior (un cuadrilátero raro). En cada caso la solución es diferente y por lo menos geométricamente fácil de demostrar

  15. pipin

    Buenas, con todos los respetos a la señora que plantea el desafío, para mí que confunde a los “desafiados” cuando dice : ” o los puntos, si hubiera más de uno”, entre paréntesis en la versión escrita y digo yo que ya puestos colocamos 4 mangueras, una en cada arbolillo, distancia total cero y asunto terminado; quizás lo que está haciendo es complicar la solución insinuando conceptos de un extraordinario genio matématico francés del siglo XVII, pero eso está muy bien para ahorrar dinero en infraestricturas, no es este el caso pues como bien dice “Felix sale una función general bien sencilla”.

    En resumen, a mi entender lo que tenía que haber planteado es lo contrario, que existe una sola solución y no enredar al personal. Si existiera un lugar geométrico que satisface al problema no son varios puntos sino un lugar geométrico.

    Saludos.

    • Baxate

      Cuando *******, existen muchas soluciones de mínimo gasto de tuberías para una sola boca de riego. ************. Ya tienes por lo menos ******soluciones para una misma distribución de los árboles.

      • pipin

        Buenas, si te digo la verdad con tanto asterísco no alcanzo a entender tu reflexión, lo que sí parece claro es que hablas de soluciones por lo que se entiende que hay más de una; pues creo que no hay casos particulares ni cuadriláteros cóncavos ni nada de eso, a mi parecer hay una sola disposicion generalizada que abarca a todas, como comentaba más arriba Felix.

        Saludos.

  16. jabon

    Baxate, una pequeña reflexión.
    Aunque hay cosas que son muy evidentes, a estas alturas creo que no es bueno dar ninguna solución, o
    pista que se extralimite.
    Espero que no te molestes, por este comentario.

  17. Ángel

    Uno de los descubrimientos que he hecho gracias a este foro y a la iniciativa de El País es GeoGebra. Es muy sencillo dibujar 4 puntos aleatorios (A, B, C, D), dibujar otro punto para la boca de riego (R), calcular la suma de las 4 distancias (A-R, B-R, C-R y D-R) y empezar a jugar moviendo los puntos para deducir la/s solución/es. No piden demostraciones así que todo sale solo. Otra cosa es que tú las deduzcas por amor propio…

  18. MN

    Bueno, yo entiendo que no sirve que haya dos árboles en el mismo punto y que por tanto, como en la realidad, ha de haber una distancia mínima entre árboles, digamos de una unidad.
    En este caso, de entre todos los casos posibles que he probado consigo una distancia mínima, cuyos dígitos, considerando hasta su tercer decimal suman 20 ¿alguien más llega a esto?

  19. MN

    Rectifico la cifra dada en mi comentario anterior y aprovecho para explicarme mejor (lo intento al menos).
    Asumo que hay una distancia mínima de 1 unidad entre cualquier árbol.
    A partir de ahí caben múltiples disposiciones de los árboles (rectas, triangulos, cuadrilateros en distintas formas) para las que se puede obtener una distancia mínima de las mangueras, así que para distintas disposiciones distintas distancias mínimas.
    De todas las disposiciones posibles, aquella donde la longitud de las mangueras es menor, es una longitud tal que devuelve una cifra de 14 si sumo todos sus dígitos hasta el tercer decimal (sin redondear).

    • pipin

      Como comenté más arriba, por cierto con un silencio clamoroso por respuesta, hay una disposición única de los arbolillos que abarca todos los casos particulares, tampoco parece muy lógico lo de poner una distancia mínima, entre árboles , pero en fin doctores tiene la iglesia.

      Saludos.

  20. Félix

    Situando los cuatro árboles en un plano y jugando con analítica del plano o con teoría de máximos y mínimos se llega a una única solución, como indiqué antes.
    Doy por supuesto que no vale colocar una boca de riego en cada árbol (o una boca de riego cerca de cada árbol). En esto creo que está confundido el paréntesis del enunciado. Los árboles se pueden situar en cualquier posición, incluso uno muy cerca del otro.

  21. Pedro Correa

    Yo empecé intentando demostrarlo para 3 antes de hacerlo para 4 y casi me vuelvo loco. Es más fácil para 4 directamente.

    Y si alguien lo ha resuelto con máximos y mínimos será mi ídolo de este problema, porque manejar esas ecuaciones sin equivocarse me parece digno de loa.

    • pipin

      Desde luego son unas ecuaciones tan cortas que en el caso de que se cometa algún error es muy fácil de reconducir y luego derivar x^2 no tiene ninguna complicación.

      Saludos.

      • Pedro Correa

        Sí, pero derivar raíces que queden en el denominador y luego sacar factor común… A ver si llega ya el día de entregar la solución y puedo verlo!!

        • pipin

          Buenas, para no complicar las cosas tal vez sea mejor poner las distancias al cuadrado y luego sumarlas con lo que se evita el jaleo de las raíces.

          Saludos.

          • Pedro Correa

            Pero entonces minimizas la suma del cuadrado de las distancias (como en mínimos cuadrados), no la suma de las distancias, ¿no?.

            Así, por ejemplo, en el caso de un segmento sólo te saldría el punto medio…

  22. Pedro Correa

    Pero entonces minimizas la suma del cuadrado de las distancias (como en mínimos cuadrados), no la suma de las distancias, ¿no?.

    Así, por ejemplo, en el caso de un segmento sólo te saldría el punto medio…

  23. pipin

    Buenas, Pedro llevas razón de que precindiendo de las raices se minimiza la suma de los cuadrados de las distancias, pero creo que también debe minimizar la suma de las distancias, prueba a hacerlo así porque el resultado parece que es el el fetén.

    Respecto a tu último punto y aparte no comprendo lo que quieres decir.

    Saludos.

    • Pedro Correa

      Que por ejemplo en en caso de una boca de riego con dos puntos, imagínate que uno está en el punto -5 de la recta real y el otro en el punto +5.
      Si minimizas los cuadrados de las distancias, tendrás que minimizar
      d^2=(x-5)^2+(x+5)^2, con mínimo en x=0
      comprobamos que si x=0, d^2(0)=25+25=50, y, por ejemplo, d^2(1)=16+36=52>50.

      Sin embargo, para cualquier punto del segmento entre -5 y 5, la suma de las distancias es constante e igual a 10, por lo que no llegarías a la solución correcta minimizando la suma de los cuadrados de las distancias.

      Otra cosa es que el resultado que hayas obtenido mediante este procedimiento en alguno de los casos del cuadrilátero sea el bueno… puede ser una coincidencia.

  24. pipin

    Muy bien Pedro, ya no sé si mi solución es correcta, quizás haya sonado la flauta por casualidad, aunque todo sea por huir de las raíces…

  25. pipin

    En efecto Pedro, mi solución está errada de cabo a rabo,y todo por tratar de escapar de las raíces, claro que era en aras a buscar resultado generalizado, porque tampoco me gustaba lo de tratar tanto caso particular.

    Saludos.

  26. Muchas gracias por la oportación. saludos

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