Desafío 23: Doce vértices y ¿seis distancias distintas?


Durante el mes de Agosto, y por motivos que no vienen al caso me va a ser prácticamente imposible moderar el Blog. Por ello voy a hacer el siguiente cambio (sustancial):

– Voy a cambiar la configuración de los comentarios, para que los de aquellas personas que hayan participado alguna vez en el Blog sean aprobados de forma automática.

Esto supone que os tendréis que autocensurar; y os ruego que mantengáis la filosofía que nos ha ido tan bien hasta ahora de no reventar las soluciones antes de tiempo, estoy seguro de que así lo haréis.

Yo me pasaré cuando pueda por aquí, no sé si poco, mucho o casi nada. No obstante, si se cuela algún comentario excesivo o inadecuado en cualquier sentido, os ruego que me aviséis a mi mail (santiprofemates@gmail.com) para que lo solucione de inmediato.

Un saludo a tod@s y apelo de nuevo a la elegancia que hemos demostrado hasta ahora. ¡A DISFRUTAR LOS QUE PODÁIS!

Acceder desde AQUÍ.

En un cuadrado, es muy fácil observar que no podemos emparejar sus cuatro vértices, sin repetir ninguno, de forma que obtengamos 2 segmentos de longitud distinta. O bien podemos conseguir las dos diagonales, o bien dos de los lados, pero nunca podremos obtener un lado y una diagonal.

En cambio, en un octógono regular, sí que podemos emparejar sus ocho vértices, sin repetir ninguno, para obtener 4 segmentos de longitud distinta. Numerando los vértices del octógono del 1 al 8 en el sentido de las agujas del reloj, una forma de emparejarlos sería: (1,2), (3,6), (5,7) y (4,8).

El desafío consiste en decir si es posible emparejar los vértices de un polígono regular de 12 lados (un dodecágono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta. En caso de que sí se pueda, hay que encontrar una combinación de 6 pares de vértices como la que hemos obtenido para el octógono. En caso de que no se pueda, hay que dar un razonamiento lógico que nos asegure por qué no.

NOTA IMPORTANTE: Recomendamos que no intentéis resolverlo probando todos los casos posibles.

28 comentarios

Archivado bajo OTROS

28 Respuestas a “Desafío 23: Doce vértices y ¿seis distancias distintas?

  1. Alex

    Este también es bastante fácil. Y claro, en plan bestia, habrá el que utilizará un programa, ya que tampoco hay tantos casos.

  2. Coincido con Alex.
    Fácil, aunque me imagino que habrá varias formas de demostrar.
    Aquí el reto será buscar la más elegante.
    La mía es muy sencilla de comprender para un niño de primaria.

  3. Ave

    Pues a mí éste se me ha quedado algo atascado… Espero resolverlo, teniendo en cuenta vuestros comentarios.

  4. Ave

    Lo he retomado y el atasco persiste; ¿alguna indicación?

    • Manolo

      El segmento más largo parte la figura en dos… y me autocensuro…

      • Ave

        Hombre… aunque jabon haya hablado de niños de primaria…

        Por otro lado, él y Alex hablan de demostración, por lo que se supone que están en la “no solución”.

        • pipin

          Buenas, he estado buscando la solución de forma sistemática y no aparece, como hay mucho tiempo le daré otro repaso para confirmarlo; creo que habrá que demostrar la imposibilidad de colocar esas diagonales sin repetir vértices.

          saludos.

  5. jabon

    Ave, cuando en un reto te indican que si no se puede, hay que probarlo; casi, casi, ya de entrada hay que pensar en que algo pasa y además en este introducen la expresión “consiste en decir si es posible..”. Por otro lado, para un informático sería facilísimo, en caso contrario; aunque para uno profano, tampoco le resultaría difícil ir descartando muchas posibilidades.
    Puedes encontrar herramientas útiles, en los “comentarios” de desafíos anteriores; al menos en cuanto al argumento que he encontrado, pero supongo que habrá más.
    Creo que este reto, dará mucho juego en cuanto a variedad de propuestas.
    Yo me tomé un vasito de vino, y ahí me vino la primera inspiración…

    En mi caso, con los conocimientos de un niño de cuarto o quinto de primaria, se podría explicar.

  6. jabon

    He vuelto a ver este reto por curiosidad. Ave, olvídate de la copa de vino, con leer el enunciado es suficiente. La forma de trabajar, te la están marcando ya.
    Por cierto, no olvides releer los comentarios de otros retos anteriores, seguro que verás elementos de relación.

  7. Jesus

    Si, este tambien es facilito con un resabor a Deja vu para los mas habituales…

  8. Ave

    O ka: lo tengo. Y como siempre que uno sale de un problema que se ha atascado… la solución le parece más fácil todavía de lo que realmente es. Así que sí, facilito.

    Jabon, tenía claras las sugerencias del enunciado: el problema es que me atasqué en la demostración!

  9. TONI

    Hola a todos.
    Estoy perdidísimo!! No tengo ni idea de como se puede demostrar. No se ni por donde empezar.
    Se me ha ocurrido ponérmelo plano y pensar en segmentos pero ni con esas.
    Tal como dice Ave, seguro que cuando lo vea me parecerá de perogrullo pero mientras tanto ando como una vaca mirando al tren.

  10. Josep

    Para un cuadrado, no; para un octógono, sí; para un “dondecago no”…y no sigo que me entra la risa.

  11. Baxate

    He utilizado todos los casos posibles descartando giros y simetrias. No hay demasiados. He empezado incorporando el segmento 6, luego el 5, … Si se utilizan pares de números para identificar los segmentos, no es necesario dibujar tanto. La verdad es que debe haber una solución más elegante, pero no se me ha ocurrido. Ya veremos la oficial.

  12. emili

    Hay una demo muy sencilla… en un “dondelacago” (Molt bo Josep!) hay 12 vértices. Se ******************. y cada segmento ****************…. o lo mejor se *********************** y algo se indigesta….

  13. Toni

    Este fin de semana le he dedicado un rato y … al fin se me ha quitado la cara de vaca mirando al tren pasar.
    Ha acabado resultando fácil pero ha tenido que aparecer la inspiración.
    Un saludo

  14. Ángel

    Yo lo he demostrado por reducción al absurdo y es bonito darse cuenta que confirma la secuencia que apunta Josep: 4 no, 12 no, 20 no, 28 no…

    La pista de emili ayuda mucho. Yo casi diría que ayuda demasiado…

  15. Pedro Correa

    A mí este problema me parece una ‘parida’

  16. jabon

    En efecto Pedro, lo de par e impar, vuelve a aparecer.

    No he sido agraciado, pero sí que he recibido un agradable comentario por parte de los organizadores….

    • Pedro Correa

      ¿te han contestado a tu e-mail o te han publicado reseña en la solución en El País?
      La verdad es que de ellos nunca he recibido una respuesta :(

  17. jabon

    Recibí el otro día un correo, para hacerme un par de preguntas.
    No se trata de una respuesta, creo que nunca lo hacen. Y nada tiene que ver con el premio, porque el sorteo no debía de estar realizado. Tampoco me dijeron si era correcta o no, pero pienso que la tengo bien. Me baso simplemente en que distancias 1,3 y 5 precisan de 3 pares y 3 impares obligatoriamente, situación inviable si antes hemos cumplimentado las distancias 2,4 y 6, porque no habremos dejado en ningún caso esa posibilidad.
    Por el contenido, pudiera ser que un breve texto que adjunté a la respuesta, sirva para que se haga alguna referencia al mismo.

    • Pedro Correa

      O sea, que podemos “acotar” tu nombre entre los 4 ó 5 que se publican en ese desafío… enhorabuena en ese caso por la mención, por lo menos se lo han leído y les ha gustado…

  18. jabon

    Gracias Pedro. En efecto, se comenta mi respuesta. Y creo que con lo que dije, acotarlo al límite es fácil.
    Tenía tiempo por las vacaciones, y disfracé la respuesta en un cuentecillo. Por supuesto nada especial, mi literatura dista mucho de Valle Inclán.
    También daremos la enhorabuena a Ave. ¿Fue en este desafío?.
    Cambiando de tema, he visto el nuevo desafío, el de las alfombras. Es bastante sencillo.

    • Ave

      Sí…una cuestión de pelotas… de golf.

      • Pedro Correa

        Uno de los más fáciles de todos los publicados… por no decir el que más.

        • Ave

          Yo he dejado un comentario sobre el 25 en el hilo del 24. La verdad es que he sido menos benévolo, sin pasarme eso sí, que vosotros. Pero no exagero si estimo que el problemilla lleva menos de un minuto.Hombre, que hay que asumir que está bien que haya problemas facilitos, para interesar sobre todo a los más jóvenes, pero quizá parece demasiado en este caso porque no creo que ofrezca ningún estímulo a la mayoría de lectores de la sección, incluyendo a los menos veteranos. En fin, quizá también tenga el sentido de recuperar el número de respuestas, que agosto aparte, sí que parece que había bajado desde un poco antes del mes de julio.

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