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La solución propuesta por Irene Ferrando y Alejandro Miralles es la siguiente. No es posible obtener los seis segmentos pedidos. Estos segmentos tendrán longitud 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Es obvio que los segmentos de longitud 1, 3 y 5 unirán siempre un vértice par y otro impar, así que la suma de estos dos vértices será un número impar. Sin embargo, los segmentos de longitud 2, 4 y 6 unirán dos vértices de la misma paridad: o bien los dos serán pares o bien los dos serán impares. Por tanto, la suma de los dos vértices de uno de estos segmentos será un número par. Por tanto, la suma de los 12 vértices será la suma de 3 números pares y 3 números impares, que resulta un número impar. Sin embargo, como no se puede repetir vértices, la suma de estos doce vértices es la suma de los números del 1 al 12, que es 78, un número par, lo cual contradice lo anterior y prueba que no es posible obtener tales segmentos.
Todas las soluciones correctas que nos han llegado han utilizado un razonamiento de paridad, pero lo han presentado de maneras diversas. Por ejemplo, Avelino Arduengo lo hace situando pelotas de golf en los lugares impares.
Cabe destacar las soluciones de Antonio Bueno y Manuel Roig, que parten de un polígono cualquiera de n lados, con n un número par, y una configuración inicial de n/2 segmentos de longitud 1. Estudian la suma de las longitudes de tales segmentos, que es n/2, y observan que la paridad de esta suma es un invariante al cambiar los extremos de los segmentos para conseguir otras longitudes. El problema pedido sería equivalente a llegar, a partir de estos cambios, a la suma de las longitudes de los seis segmentos distintos, es decir, 1+2+…+6=21, que debería tener la misma paridad que n/2 para n=12, es decir, 6, lo cuál es obviamente falso.
Francisco Javier Masip envió un cuento muy emotivo sobre un padre que le regalaba un reloj mágico a su hija que podía resolver todos los problemas. En el cuento se daba la solución a este problema.
Ricard Vila y Guillermo Ménguez optaron por enviar un programa informático que estudia el caso de un polígono cualquiera de n lados, con n par, que prueba si se puede resolver el problema e incluso nos da una configuración de parejas en caso afirmativo.
Wolfgang Hintze, David Marín y Sergio Barba-Romero demuestran una condición necesaria para que el problema tenga solución en el caso general de un polígono de n lados: n=8k o n=8k+2.
Solución literario-matemática de jabón: reloj_magico
Santiprofemates 
Magistral, sensacional, todos los adjetivos se quedan cortos, ¡¡¡enhorabuena!!!.
Enhorabuena Jabón, original, divertido, didáctico y muchos calificativos más, como dice Pipín
¡Vaya¡. Se lo envié tarde a Santi para que pasase más desapercibido, y puede que haya conseguido lo contrario.
Muchas gracias por vuestros exagerados comentarios.
Era verano, y tenía algo más de tiempo libre. Lo mencionaron en la respuesta y antes me enviaron un correo de
felicitación; por ello pensé en compartirlo, como hacéis vosotros con esas soluciones tan bien elaboradas.
No me juzguéis por la literatura ni por los conocimientos matemáticos, entendedlo como un entretenimiento. Gracias.
Gracias a ti jabón, ya ves que hasta uno de los organizadores (gente de mucho nivel) ha comentado en el Blog a raíz de la publicación, lo cual siempre resulta gratificante.