Solución Desafío 21: Cómo ahorrar en tuberías


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La solución propuesta por la Profesora Calvo es la siguiente:

Como ya se indicó en el planteamiento, la solución del desafío de esta semana depende de la disposición que tengan los árboles en el jardín.

– Si los 4 árboles están alineados, la boca de riego se puede situar en cualquiera de los puntos de la recta en la que están los 4 árboles y que dejan 2 árboles a un lado de la recta y otros 2 al otro lado. Dicho de otro modo, en el segmento de recta que une los dos árboles interiores, incluidas las posiciones en las que están dichos árboles intermedios. (La solución a este caso es consecuencia inmediata del ejemplo de 2 árboles incluido en la presentación del problema.)

– Si los 4 árboles forman un cuadrilátero convexo, la boca de riego debe situarse en el punto de corte de las dos diagonales del cuadrilátero. (Cualquier punto de cada diagonal hace mínima la suma de las distancias a los 2 árboles situados en los extremos de la misma y, por tanto, el punto de corte de ambas minimiza la suma de las distancias a los 4 árboles.)

– Si uno de los árboles es interior al triángulo que forman los otros tres, la boca de riego debe situarse donde está dicho árbol interior. (Se descarta en primer lugar que la boca de riego pueda situarse en un punto que esté fuera del triángulo, porque instalándola en el punto reflejado respecto de alguno de los lados del triángulo la suma de las longitudes de las 4 tuberías sería menor. A continuación se considera el caso en que la boca de riego se sitúa en un punto interior al triángulo, distinto del punto donde está el árbol interior. En este caso, el triángulo inicial queda dividido en tres triángulos cuyos vértices son dos de los árboles y el punto donde estaría la boca de riego. En alguno de esos triángulos estará el árbol interior y, comparando las longitudes de los lados de dicho triángulo y las de los lados del triángulo de vértices la boca de riego, el árbol interior y el árbol que no está en el triángulo que contiene al árbol interior, se concluye fácilmente con la respuesta.)

– Por último, si tres árboles están alineados y el cuarto no, la boca de riego debe situarse donde está el árbol de los alineados que está entre medias de los otros dos. (Se puede ver como un caso degenerado de los dos anteriores, en el que el árbol “interior al triángulo” / “exterior al triángulo” está exactamente en uno de los lados del triángulo.)

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