Solución Desafío 22: Un cuadrado alfamágico.


Pulsar aquí.

Esta es la solución propuesta por el Profesor Carlavilla:

Podríamos construir un cuadrado alfamágico de la siguiente manera:

Elegimos tres números x, y, z que cumplan la condición de que la suma de sus letras sean números consecutivos: n, n+1, n+2.

Como el número 1000 tiene 3 letras, los números: 1000+x, 1000+y, 1000+z tendrán, respectivamente: n+3, n+4, n+5 letras en sus nombres.

De la misma forma, como 2000 tiene 6 letras, los números: 2000+x, 2000+y, 2000+z, tendrán, respectivamente: n+6, n+7, n+8, letras en sus nombres.

Si elijo los números x, y, z de forma que estén en progresión aritmética siempre podré construir un cuadrado alfamágico:

x+r, 2000+x+2r, 1000+x

2000+x, 1000+x+r, x+2r

1000+x+2r, x, 2000+x+r

Su cuadrado mágico asociado sería:

n+1, n+8, n+3

n+6, n+4, n+2

n+5, n, n+7

Por ejemplo, los números 1, 3 y 5 cumplirían la condición necesaria para construir un cuadrado alfa-mágico: están en progresión aritmética y la suma de sus letras son números consecutivos. El cuadrado alfa-mágico sería:

3, 2005, 1001

2001, 1003, 5

1005, 1, 2003

Su cuadrado mágico asociado sería:

4, 11, 6

9, 7, 5

8, 3, 10

Así pues, para construir un cuadrado alfamágico basta con encontrar tres números en progresión aritmética cuya suma de letras sea consecutiva:

Por ejemplo: 30,40, 50; la suma de sus letras sería: 7, 8, 9.

También valdrían 31,41,51; 32, 42,52, etc.

Muchos participantes han usado un argumento similar, ayudándose en ocasiones de Excel para conseguirlo. Así, José Manuel Sabás Vivas escribe el siguiente razonamiento:

Empecé listando en Excel los nombres de los números 1 al 500, e intenté descubrir cuadrados mágicos especiales yendo del final hacia el principio. Primero busqué cuadrados de números consecutivos cuyas cifras ya fuesen los números de letras de otros (entre 10 y 30), y a partir de ahí traté de hallar los números originales. Por este camino no me fue nada bien.

A continuación busqué cuadrados mágicos finales formados por cifras que se diferenciasen en 2 unidades, tratando de encontrar de nuevo los cuadrados mágicos originales. Luego de 3 en 3 cifras. Pero nada de nada…

Pero finalmente me di cuenta que usando números mucho más grandes que empiecen por mil o por dos mil aparecen más posibilidades de encontrar cuadrados para los que la suma de sus cifras se diferencien en 3. Por ejemplo, 25 tiene 11 letras, 1025 tiene 14 y 2025 tiene 17.

De esta manera obtuve éste:

38, 2025, 1051

2051, 1038, 25

1025, 51, 2038

Su constante mágica es 3114

Si escribimos el número de letras queda:

12, 17, 16

19, 15, 11

14, 13, 18

cuya constante mágica es 45

Curiosamente, si de este cuadrado hacemos otro formado por la suma de los dígitos, nos queda otro cuadrado mágico:

3, 8, 7

10, 6, 2

5, 4, 9

cuya constante mágica es 18.

Salvador Jover Sagarra basándose en el ejemplo inicial construye un sinfín de cuadrados alfamágicos:

1- El cuadrado mágico especial más simple:

3, 2001 , 1005

2005, 1003, 1

1001, 5, 2003

2- Un cuadrado mágico especial con todos los números múltiplos de 10:

30, 2020, 1040

2040, 1030, 20

1020, 40, 2030

3- Un cuadrado mágico especial utilizando la decena del once al veinte:

13, 2011, 1015

2015, 1013, 11

1011, 15, 2013

4- Un cuadrado mágico especial utilizando dígitos consecutivos:

5, 2004, 1006

2006, 1005, 4

1004, 6, 2005

5- Un cuadrado mágico especial con números cuyas dos últimas cifras son múltiplos de 7:

14, 2007, 1021

2021, 1014, 7

1007, 21, 2014

Y la sorpresa final es que he encontrado dos cuadrados mágicos superespeciales:

1º) Uno porque tanto con las cifras arábigas como con números romanos genera sendos cuadros mágicos.

2º) Y el otro es un cuadrado mágico elaborado a expensas de cuadrados mágicos especiales.

Algunos lectores han presentado programas informáticos que generan cuadrados mágicos en castellano y otros idiomas. Por ejemplo Alfonso Pérez Arnal, de Paterna (Valencia), nos presenta cuadrados alfamágicos en catalán, euskera, gallego y latín basando su construcción en el ejemplo inicial.

El cuadrado alfamágico presentado por el ganador de este desafío, José Gayo Millares ha sido:

121, 155, 93

95, 123, 151

153. 91, 125

El próximo jueves presentaremos un nuevo reto.

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