Desafío 26: Construyendo Superficies


El desafío de esta semana consiste en describir qué superficie se obtiene pegando los lados del mismo color de la figura plana que se muestra en el vídeo. Al pegar cada pareja de lados (los rojos, los azules,…etc) el sentido de las flecha debe coincidir; la circunferencia verde tiene que pegarse con la arista verde identificando el punto señalado en la circunferencia con los extremos de la arista; además suponemos que la figura está hecha de un material que podemos deformar todo lo que queramos (¡siempre y cuando no lo rompamos!).

Puesto que el material del que está hecha la figura es totalmente deformable, podríamos construir muchas superficies distintas, algunas de ellas muy difíciles de describir, pero habrá una que será la más simple de todas. Veamos un estudio matemático de mediados del siglo XIX que puede ayudar a dar con la solución.

Las superficies se clasifican en superficies con bordes, como el cilindro o la banda de Moebius, y en superficies sin bordes, como la esfera o un flotador.

Los matemáticos del siglo XIX demostraron que cualquier superficie de una sola pieza, sin bordes, que no sea infinita (un ejemplo de superficie infinita sin bordes es un plano infinito) y que se pueda construir sin problemas en nuestro espacio tridimensional (sin cortarse a sí misma) se puede deformar, sin romperse, en una de las siguientes superficies: o en una esfera, o en un flotador, o en un flotador para 2 personas, o en un flotador para algún número finito de personas con un agujero para cada persona.

En cuanto a las superficies con bordes, siempre se podrán deformar en una de las anteriores -la esfera, el flotador…- a la que se le ha recortado una cantidad finita de discos. Así por ejemplo, un pantalón se puede deformar a una esfera a la que le recortamos 3 discos.

Por tanto, pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura de tal manera que el sentido de las flechas coincida y deformándolo todo lo que sea necesario -se puede estirar, contraer…- se puede conseguir exáctamente una de las superficies modelo que acabamos de enumerar. La pregunta es: ¿cuál es esa superficie?

10 comentarios

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10 Respuestas a “Desafío 26: Construyendo Superficies

  1. Maito

    Hola Santi, supongo que seguirás muy liado con el inicio del curso y otros temas, así que no sé si los comentarios se publican directamente o los revisas. lo digo porque me estraña la inactividad del blog en este dasafío.
    Por un momento estuve tentado de darle a la botella a ver si venía la inspiración, pero con el calor decidí salir a vigilar a mis sobrinas, donde me llegó la inspiración.

  2. Prodem

    Hola Ave, siento discrepar. A mí me parece quizás el desafío más bonito de los que han propuesto (que no quiere decir ni el más complicado ni el más sorprendente) porque, de todos los que han propuesto, es el que mejor ilustra lo que son las matemáticas, incluso si para resolverlo no es necesario saber matemáticas. Además me parece que el resultado de clasificación que nos explican (es decir, que nos digan cuáles son las posibles respuestas), además de ser un ejemplo de matemáticas importantes, ayuda bastante a resolver el desafío. Claro que a mí me gusta la topología, igual por eso me ha gustado este desafío.

  3. jabon

    Acabo de ver el desafío. Reconozco mi ignorancia sobre el tema. Tal vez por ese motivo, mi pensamiento inicial se haya acercado más al comentario de Ave.
    Pero como a la vez soy curioso, y a la vista de lo expuesto por Prodem, he intentado documentarme algo más.
    Algo he aprendido, pero eso no me quita mi ingenua idea de seguir asociando matemáticas con los números y sus relaciones.
    No creo que Prodem haya hecho un comentario que merezca un voto negativo. Lo neutralizaremos.

  4. Ave

    En lo de los votos un servidor ni se había fijado; puesto que en las relaciones sociales no hay nada más importante que escuchar y respetar las opiniones diacrepantes, y lo escribo como sujeto de la discrepancia (¿discrepado?¡¡!!), vayan por delante 1000 votos míos con un “me gusta” al comentario de Prodem,… por más que no lo comparta:algo sé de Topología, y hasta el planteamiento, y las explicaciones posteriores sobre los “matemáticos del XIX” me parecen pobres. Por otro lado, en este tipo de problemas, llamémosles “pedagógicos”, las explicaciones nunca deberían ser mucho más extensas que el enunciado mismo. :-)

  5. Maito

    Hola, las mates tienen muchas facetas, yo me considero un entusiasta de la teoría de números y por contra la estadística y probabilidad me inspira poco. Con la topología y la geometría estaría en el punto medio. Es decir el terreno es vasto y a gusto para todos.
    En cuanto a este reto, para aquellos que están más despistado, yo he descompuesto la figura en dos para luego volver a juntarla, aunuque no sería la primera vez que me equivoco.

  6. Pedro Correa

    La historia del problema es muy bonita.

    Yo siempre he sido muy de topología y muy poco de geometría. Por eso, el problema de los posavasos me pareció tan, tan bonito.

    Sin embargo, como hace bastante tiempo que terminé la carrera, este problema me ha dejado un poco descolocado.

    Al final, he recortado, he pegado lo que he podido, el resto me lo he imaginado y he contado agujeros/discos.

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