27º Desafío Matemático: Cómo elegir un equipo goleador


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En un colegio dos alumnos que son porteros de fútbol deciden organizar un partido. Ellos han de elegir 10 jugadores cada uno entre 20 de sus compañeros. Para ello los 20 jugadores se ponen en fila y cada uno de los porteros ha de ir escogiendo alternativamente uno de los dos jugadores que se encuentran en el extremo de la fila.

Los porteros conocen el número de goles que cada uno de los jugadores ha marcado en un torneo anterior y el objetivo de ambos es conseguir un equipo que haya marcado más goles que el otro. Pues bien, la primera parte del desafío consiste en demostrar que el primero que elige tiene una estrategia para no perder nunca. Es decir, que puede haber empate pero siempre podrá elegir un equipo que sume tantos o más goles que el rival independientemente de cómo se coloquen los jugadores y de los goles que hayan marcado.

La segunda parte del desafío es la siguiente: ¿Existe una estrategia análoga para el primero o para el segundo en elegir si escogen entre un grupo de 21 jugadores? (se entiende que se quedará un chico sin jugar).

Perfil de Juan Mata elaborado por Santos González, catedrático de Álgebra de la Universidad de Oviedo

 

27 comentarios

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27 Respuestas a “27º Desafío Matemático: Cómo elegir un equipo goleador

  1. Ave

    He pasado por aquí y he visto que Santi acaba de postear; me alegra comprobar que sigue por ahí.

    El desafío de esta semana se me ha hecho simpático, por el que lo propone (gran futbolista y además asturiano) y también por el problema: al final se hace fácil pero me ha hecho pensar, hasta que me di cuenta de que la solución es totalmente determinista. Un saludo para todos, de nuevo.

  2. pipin

    Buenas, digo lo mismo, estábamos preocupados por la ausencia de Santi, espero que no tenga ningún problema.

    Saludos.

  3. Anónimo

    La primera parte resuelta sin mucho esfuerzo. En efecto, el primer capitán cuenta con ventaja, tan sólo en una pequeña parte de los casos igualarían a goles siguiendo la estrategia.
    La segunda parte, creo que también está resuelta. Contestar sí o no me parecía poco así que la he adornado algo.
    Por cierto, qué bien me ha caído siempre ese jugador.
    Un saludo a todos.

  4. Prodem

    Yo también me alegro de que Santi esté de vuelta, e incluso con energía para poner una foto de Mata distinta de la que sale en El País :-)

    Da gusto que alguien a priori tan alejado de las matemáticas como un futbolista haya presentado uno de estos desafíos. Supongo que los que somos profesores podremos mostrar a nuestros alumnos que no todo lo que nos presentan como incompatible lo es.

  5. Divagante

    Este es “otro” problema matematico publicado por el Pais. En su artículo http://www.elpais.com/articulo/sociedad/satelite/incontrolado/NASA/caera/Tierra/proximos/dias/elpepusoc/20110918elpepusoc_3/Tes dice “La probabilidad de que un trozo del satélite caiga sobre una persona es de una en 3.200” Pregunta. ¿Cuantos muertos tendremos por la caida del satelite?

  6. Prodem

    Divagante. Parece claro que el 1/3200 no es la probabilidad de que caiga sobre una persona en concreto, sino sobre una persona cualquiera (el “una persona” es genérico). Es decir, la probabilidad de que no caiga sobre NINGUNA persona es 3199/3200. Por tanto la cantidad de muertos esperados por la caida del satélite es de 0,0003125. Yo de momento no me voy a preocupar :-)

  7. Anónimo

    Lo malo de este tipo de eventos es que no son escalables, no son estrictamente gaussianos. Bien es cierto que la mayor parte de la superficie terrestre está cubierta por agua. También, que sólo un 18% de las tierras emergidas están pobladas. Pero si al satélite se le ocurre ir a un núcleo urbano…zas! Un cisne negro (Veánse desvaríos de un tal Nicholas Tahleb). Yo tampoco me preocupo porque me toque a mi, pero no lo tengo tan claro por el resto… Por cierto, la probabilidad de que ME toque el primer premio de la bonoloto es de 7.15E-8, y en cambio la probabilidad de que le toque a ALGUIEN el primer premio de la Nasa es 3.125E-4… Si sueñas, loterías del espacio.

  8. Pedro Correa

    Pues a mí me ha costado bastante dar con la respuesta. Eso sí, una vez que llegas, parece inmediata…

  9. Pedro Correa

    Por cierto, gracias, Santi, por seguir ahí!!

  10. nacho

    Un cálculo de orden de magnitud, al estilo de las famosas Fermi Questions, sería más o menos así:
    Si la superficie del globo es aproximadamente 5×10^14 m^2 y en la Tierra somos unos 7X10^9 personas y nos asignamos un área o sección eficaz de impacto de 1 m^2, tendremos que la probabilidad media de recibir en pleno cholo esa basura espacial, que también supondré de tamaño medio de 1 m^2, sería del orden de 1.4×10^-5.
    Pero puesto que la órbita del satélite forma un ángulo de unos 57º con el ecuador, no toda la superficie terrestre está expuesta sino más bien algo más de la mitad (realmente en la franja terrestre en que vivimos) y la probabilidad sería como 2.5×10^-5, que es unas 10 veces menor de lo que deduce Prodem.

    Y volviendo al desafío nº 27 de “El País”, decir que el día 11/11/11 la ONCE hará un famoso sorteo repartiendo 11 millones de euros. Por qué no llamarle a este desafío “la prueba del 11”?

  11. Rogelio

    De este problema a mi me mosquea que no se especifique que chico se queda sin jugar cuando son 21… La respuesta es distinta segun se entienda si la eleccion del no-jugador es parte de la estrategia o no…
    no?

  12. jabon

    Rogelio, en primer lugar enhorabuena.
    Respecto al chico que se queda sin jugar, es un fastidio porque no creo que sea justo. Habría que buscar otra estrategia para que nadie se quedase sin jugar, así que propongo que se hagan cambios continuos para que todos puedan jugar los mismos minutos.
    Como supongo que te refieres a la elección inicial, es así; cualquiera puede quedarse sin jugar, y me atrevo a asegurar que sería siempre un jugador con pocos o ningún gol, si funciona la lógica; y el lugar que ocupe puede ser cualquiera, incluidos los extremos iniciales.
    Personalmente, creo que para contestar a esa cuestión, no hace falta prestar mucha atención al no-jugador. Al menos en mi caso me he despreocupado. He ido al grano directamente.

  13. Ave

    Totalmente de acuerdo; por cierto, en ese 2o caso el hecho de que cualquier jugador, incluidos los extremos iniciales, pueda quedarse sin jugar, el pobre, facilita bastante proponer ejemplos (o contraejemplos)que ilumimen la respuesta.

    Por otro lado, permitidme confesaros que un servidor, de menor (no de mayor, ya me gustaría) querría ser… como Rogelio!!

  14. jabon

    Como ya ha pasado la medianoche, creo que ya no hay obstáculo.
    Si mis cuentas no me fallan, es el tercer desafío que se resuelve por el método par-impar (sombreros, dodecágono y el presente), así que nada nuevo para los asiduos.

    La segunda parte me he ido a lo sencillo, ejemplos (0,0,1) y (0,1,0) y ya hay poco que decir.

  15. rogelio

    ejemplo: si se ponen de acuerdo que se dejara sin jugar al primero que se elija gana el equipo del segundo portero.

  16. jabon

    Si yo viese que el segundo tiene las de ganar, mi estrategia sería muy sencilla: cedería el turno al rival y hasta alguno pensaría que soy un caballero.
    En el segundo apartado vemos que la estrategia dependería de varios factores (goles de los extremos iniciales, goles del no-jugador…) eso nos conduce a que ninguno de los dos pueda tener una estrategia válida para todos los supuestos. Yo no he sabido demostrarlo, sin recurrir a un ejemplo, pero creo que de ese modo se prueba que al menos hay un caso que beneficia a cada capitán.

  17. jabon

    Rogelio, no sé si entiendo tus planteamientos, pero si una estrategia está supeditada a que uno de ellos haga lo que el otro quiere, me parece que se cae por su propio peso.
    Yo he entendido el planteamiento que, en todos los casos y haga lo que haga el otro, uno de ellos va a ganar o en el peor de los casos empataría. Así en la segunda parte del enunciado podemos ver dos casos:

    Caso Primero: un uno seguido de 20 ceros. El primero elige el 1, y gana.
    Caso segundo: un uno intercalado entre 20 ceros. El segundo tiene siempre la opción de acorralar al primero para que la última elección de éste, sea 0,1,0. En cuyo caso, siempre ganará el segundo.

    Luego si hay casos en los que siempre gana el primero, y otros que es a la inversa, no se puede decir que haya una estrategia ganadora para ninguno de los dos. Todo dependerá de la suerte o del despiste del contrario. No habrá una regla.

    No sé si alguien más lo ha visto así, o lo ha interpretado como digo.

  18. Rogelio

    Si es de total sentido comun que sea el ultimo el que se quede sin jugar
    (que es lo que asumis) pero eso no lo aclara el enunciado.
    Tratad de demostrar que el primer portero gana si puede ‘descalificar’ al jugador que quiera tras haber hecho su primera eleccion.

  19. jabon

    Rogelio, si el primer jugador es quien tiene la potestad para descalificar al que no juega, sería un caso idéntico al primer enunciado; pero creo que una estrategia no te permite eso (añadir condiciones) .
    Alex Ferguson tenía una estrategia para ganar la Champions: que no jugase Messi. Y llegó Guardiola y colocó a Messi.
    Me imagino que hoy veremos la respuesta, tal vez esté más intrigado en la forma de demostrarlo, sin utilizar ejemplos.

  20. rogelio

    Jabon, muchas gracias! gran ilustracion. Estoy seguro que la respuesta oficial es lo que decis, solo que se me quedaba algo colgado, tal vez por que no me gusta el futbol.

  21. Pedro Correa

    172 respuestas correctas solamente. ¿Todavía no le ha tocado a ningún asiduo del blog?

    ¡Si no lo veo, no lo creo!

  22. jabon

    Pedro, creo que son menos, el 71 % de esas 172 enviadas, es decir unas 122.
    A mi también me extraña.

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