Desafío 28: Un problema de grandes números


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El desafío de esta semana trata de operaciones con números muy grandes. Concretamente, vamos a tomar un número N que, escrito en base 10, tenga 100 cifras. El primero de sus 100 dígitos no puede ser 0, por lo demás no hay ninguna restricción.

A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.

El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.

Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones que las que nos mandáis, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad.

32 comentarios

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32 Respuestas a “Desafío 28: Un problema de grandes números

  1. félix

    Probando con excel me sale una solución para 4 cifras y otra solución para 6 cifras. Ahora toca seguir por otro camino.

  2. Divagante

    He encontrado una solucion, pero no se demostrar por que ni si es la unica. Eso si, es curioso que la solucion N=3*A*B tambien podemos escribir N=6A^2 y no si esto es alguna pistaa (para mi desde luego no)

  3. Anónimo

    Creo que hubiese sido un pelín más interesante si hubiese que averiguar todas las soluciones, al estilo número de loterías.
    La demostración creo que se basa en algo que se ha comentado con motivo de otro desafío, al menos en mi caso así lo he planteado.
    Lo de escribir el/los números de 100 cifras es otra cosa.

  4. Rogelio

    se resuelve igual que el de los coches de carreras, lo unico que la ecuacion de aquel era muy sencilla y esta es menos sencilla.
    Ahora, creo que debe haber un argumento mas elegante.

  5. Divagante

    Encontré la solucion. Es tan evidente que no se como no se me ocurrio antes

  6. Maito

    Tal como se ha dicho la solución es similar a otras anteriores y no es difícil encontrar la demostración general para cualquie número de cifras, que por otro lado no es demasiado larga. Sólo hay que darse cuenta de un par de detalles.

  7. Pedro Correa

    A mí lo que me ha despistado es que sea profesor de Análisis Matemático.

    La clave está en saber aplicar las restricciones.

    • Maito

      Yo estudié en la UAM hace 25 años y el mejor profesor que tuve fue Antonio Córdoba que era el Director del departamento de Análisis Matemático y me dio 3 años maravillosos de Teoría de Números. En mí opinión están muy ligadas.

  8. jabon

    Os pregunto si hay alguna respuesta “elegante”, por si tengo que meterle mano de otro modo.
    Como siempre, aparece algo que tengo que ojear y tal vez hojear. Pedro comenta lo de restricciones, y aquí me pierdo un poco.
    Es posible que lo haya resuelto insconcientemente de ese modo.
    También creo que he encontrado la demostración general para cualquier N con número par de cifras.
    Esto ya no lo he trabajado tanto, pero me parece que si valen los ceros a la izquierda habría 100 números que cumplirían el enunciado. Aquí no puedo poner la mano en el fuego.

    • Anónimo

      Posiblemente Pedro se refiera a que los números A y B tienen que tener el mismo número de cifras y esto es clave para obtener los posibles divisores de un cierto número que conduce a la obtención de A y B de manera inequívoca.

    • Antonio

      Creo que Pedro puede referirse a que el número de cifras de A y de B es el mismo y esto es clave para obtener los posibles divisores de un cierto número, lo que conduce al cálculo de A y B de manera inequívoca.

    • Prodem

      jabon, si se admiten ceros a la izquierda hay 1301 soluciones, una de las cuales es A=B=0. Las otras 1300 tienen un poco más de gracia :-)

  9. Ave

    Me gusta siempre darle vueltas mentalmente a estos problemas antes de coger papel y lápiz. En este caso, y aunque al final se hace fácil, la verdad es que hasta que no me puse a escribir no di con la solución.

    En fin, aunque los numéricos me gustan siempre, éste en particular no me ha parecido demasiado bonito, quizá por ser de solución algo “mecánica”: tiene algo de ciencia pero desde luego no requiere ninguna idea feliz. Es mi humilde opinión.

    • Ave

      Por cierto, el enunciado de EP (el escrito; el vídeo no lo he visto) sorprende: no parece tener mucho sentido en este caso pedir los números que cumplen, sin necesidad dicen de explicar cómo se han obtenido, para pedir después que se demuestre que no existen otros… Desde luego, a mí lo uno me llevó a lo otro (o lo otro a lo uno), como creo que os habrá pasado a todos.

      • Rogelio

        esque igual hay un argumento mas elegante… no se…

        • Maito

          Ave, en esa contradición, lo que yo he entendido es que debemos escribir los 100 dígitos y que no es necesario que digamos como hemos hecho la operación que se deriva de la demostración. Pero vamos, es por intentar explicar la incogruencia que indicas.
          Rogelio, yo también espero algo que nos sorprenda.

  10. Josep

    En el razonamiento que he seguido, que no me parece demasiado elegante, aplico las restricciones del enunciado y en una primera fase consigo acotar la solución en una cantidad reducida de posibles números. De esos, voy a su vez eliminando los que no cumplen hasta quedarme con la solución.

  11. En efecto habría más soluciones con ceros.Gracias Prodem, me di cuenta luego.
    Lo de las restricciones creo que ya lo pillé. Todo depende de la variable que elijas. Inicialmente me decanté por la otra. ¿Cuál de ellas es más bonita para los matemáticos?. Al final creo que voy a mandar las dos.

  12. Parece que últimamente proliferan los votos negativos a los comentarios.
    En mi caso, no me importa lo más mínimo, pero no deja de ser curioso.
    ¿¿¿¿¿¿??????

    • Ave

      Yo nunca me fijo; incluso en la versión móvil de la página, cuando accedo con la PDA, sólo se ven los “votos” en algunos comentarios. Pero sí, es curioso: el “votante” en cuestión no falla ni una: todos los dedos apuntan hacia abajo. Se pregunta uno para qué viene,si no le gusta nada de lo que lee.;-)

  13. No sé si es muy elegante, pero hay una demostración bastante corta en que se reducen los casos a mirar de la ecuación diofántica a sólo 3 (ojo que no digo que haya 3 soluciones). No veo demostración más directa, así que ahí lo dejo.

  14. jabon

    Ave, tampoco me fijo habitualmente, fue casualidad.
    Pedro, cambié de variable por el comentario primero que hiciste, y terminé en un rango de valores acotados, que conducía rápidamente a la respuesta (esta forma me ha parecido más bonita) . Mi primera demostración con otra variable, imponía aplicar directamente una cuestión de divisibilidad, parecido al reto de los coches.

  15. Maito

    A la vista de los últimos comentarios, me he dado por aludido y lamento dar una impresión negativa. Me gustaría aclarar que no ha sido mi intención. En referencia a Pedro me encantó, por ejemplo su solución a tapar el mantel y la explicación a por qué no era correcta la mía y en este comentario quería hacer un homenaje a un antiguo profesor, al cual admiro, y no una crítica a su comentario.
    En la respuesta a Ave, no veo ninguna lectura negativa, ya que me planteé también lo mismo. En fin, me gusta el buen rollo del blog, y siento que se acabe este concurso.

    • Pedro Correa

      No me ha parecido ninguna crítica. En la uni había gente de “Análisis” y gente de “Álgebra”. Yo reconozco que era de “Álgebra”, aunque quizá lo que mejor se me daba era el Análisis.

  16. jabon

    Maito, sólo hemos hablado de que en los comentarios están apareciendo numeritos (signo del dedo para abajo)
    Cosa curiosa. No quise decir nunca que la gente hiciese comentarios negativos, sino que hiciese valoración negativa, clicando en el icono del pulgar hacia abajo.
    Los comentarios que leo en este foro los entiendo normales, comedidos, entretenidos, etc.
    Tal vez no me explicase bien.
    P.D. mirad en el encabezamiento de vuestros mensajes (pulgar para arriba 0, pulgar para abajo, 1) rate this.

    Ahora hay votos positivos porque algún compañero ha entendido lo que comenté (¿Ave?) y ha querido neutralizarlos.
    De todas maneras hay libertad para ello, aunque coincido con Ave, si a uno no le gusta nada de lo que lee, para que entra???

    • Maito

      Perdonad el malentendido, creo que me he levantado con mal pie, y mira que especificabais lo del dedito, pero no me había fijado ni de que existian.

      • Ave

        Nada que perdonar, Maito, y en todo caso agradezco la explicación de Jabon más arriba. Como ha quedado aclarado, en modo alguno me refería a un comentario tuyo o de cualquier otro.

  17. Ana

    Aunque últimamente no comento, sigo el blog y sigo entretenida garabateando papeles el fin de semana.
    A mí sí me ha gustado el desafío.
    Santi, te mando mi solución que creo es la de todos.
    Saludos

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