Solución desafío 28: Un número grande… y único


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La respuesta correcta al desafío es que N solo puede ser el número de cien cifras 166…667333…334. Veamos a continuación la demostración.

De N sabemos que N = 3AB y que N = 10^50 A + B. De estas dos igualdades deducimos que B es múltiplo de A, concretamente que B = tA, donde t = 3B – 10^50 (en el vídeo, el número t lo representamos con la letra griega alfa).

Así, sabemos que el coeficiente t ha de ser menor que 10, puesto que de lo contrario B = tA tendría más de 50 cifras. Además, ha de ser menor que 4, puesto que si t fuese mayor o igual que 4 pasaría que 10^50 + t = 3B = 3tA >= 12 A >= 1,2 x 10^50. Esto quiere decir que el número “100…00t” sería mayor o igual que el número “120…000” (ambos de 51 cifras), lo que es falso. De ahí sacamos que t solamente puede ser 1, 2 ó 3. Por último, para que el número 10^50 + t sea múltiplo de 3, la suma de sus dígitos, 1 + t, ha de ser múltiplo de 3. Concluimos que necesariamente t = 2.

Por consiguiente, la única solución posible es que B = (10^50 + 2)/3 = “333…334” (con 50 cifras, ya que al dividir el diez inicial entre tres perdemos una); y que A = B/2 = “166…667” (también con 50 cifras). Solamente nos queda comprobar que el número N de 100 cifras que se obtiene al escribir primero A y después B, N = “166…667333…334”, cumple efectivamente que N = 3AB. Así es, puesto que N = 10^50 A + B = (10^50 + 2)A = 3BA.

La mayor parte de las soluciones enviadas se han obtenido a través de un análisis detallado del coeficiente B/A, discutiendo los casos de la misma forma que se ha explicado en el vídeo, o con algunas variantes. El siguiente método más usado ha sido estudiar el mismo coeficiente a partir de la observación de que no tiene más factores primos que 2 y 5, puesto que divide a 10^(50).

Muchos de los que enviaron soluciones correctas explicaban que habían comenzado experimentando con números de menos cifras (4, 6, 8,…), normalmente con ayuda de un ordenador, lo que les permitió detectar un patrón que daba lugar a la solución en el caso de 100 cifras, y después pasaron a demostrar que la solución así encontrada era única.

También ha habido un grupo de participantes que ha resuelto el desafío acotando con finura los posibles valores de B, a partir de los valores que puede tomar A; de esta manera llegaban a la conclusión de que la única posibilidad para tener un B entero era el número de la solución. Para conseguir esas acotaciones algunos han utilizado el hecho de que B = 10^(50)A / (3A-1) es decreciente en el rango de valores admisibles de A; mientras que otros han trabajado con las desigualdades que se sabe que cumplen A y B hasta conseguir demostrar que B ha de estar comprendido entre 10^(50)/3 y 10^(50) / (3 – 1/10^(49)).

Por último, ha habido algunos (muy pocos) que no solo resolvieron lo que se propuso, sino que resolvieron además el caso bastante más complicado de que se admitiera que también el primero de los 50 dígitos de A pudiera ser igual a cero, del mismo modo que pueden serlo el resto de dígitos de N. Bajo estas hipótesis resulta haber 1.301 soluciones posibles de N, pero dejamos al lector interesado el placer de encontrarlas…

Entre las soluciones que no hemos podido dar por buenas están las que han identificado el N correcto, pero lo intuyen del resultado obtenido para números de pocas cifras, sin dar un razonamiento que muestre que lo que vale para cuatro o seis cifras también vale para 100. También las que analizan lo que ocurre con B para los valores extremos que puede tomar A pero no demuestran que la conclusión que sacan vale también para todos los valores intermedios de A. Y las que aseguran que el número encontrado es único pero no desarrollan un argumento que lo pruebe.

28 Un problema de grandes números.Maito

Demostración desafío 28 Pedro Correa (gracias Pedro, pero WordPress no me deja colgar archivos .xls; :'(

Ana_Des28 (Nuestra amiga Ana Chisi se está doctorando en La France, j’espère que ton séjour soit très agréable, ;P)

Problema28 AMORAGAC

 

8 comentarios

Archivado bajo OTROS

8 Respuestas a “Solución desafío 28: Un número grande… y único

  1. Gracias a tod@s por vuestra participación, yo hace un tiempo que tengo el tiempo justo para respirar…

  2. Pedro Correa

    Este premio ha caído en Ponferrada. ¿Tú no eras de por allí? ¿no será alguna alumna tuya?

  3. jabon

    Ummmm, que se defienda el acusado, que las pruebas apuntan muy cerca.

  4. ¡Hombre! pues sí que la conozco, es colega y conocida, ya la felicitaré cuando tenga ocasión. ¿Y se va a terminar esto sin que le toque el premio a alguien de los asiduos al blog? ¡noooooo…!

  5. Pedro Correa

    Lo estamos rozando, de momento ya ha tocado a alguien que conoce el dueño del blog.

  6. Ana

    Merci beaucoup Santi!
    Y ánimo chicos, que a la vigésimo-novena va la vencida, jeje
    Me han gustado vuestras soluciones, la mía es un poco más liada pero me gustó lo de demostrar que las condiciones sobre B acotan su valor entre un límite inferior y otro superior que como difieren en una cantidad entre 1 y 2 así aseguramos que siempre hay entre ellos un sólo número natural.
    Au revoir!

  7. Pedro Correa

    A mí me ha gustado la de Maito. Más directa que la mía.

    Reconozco que llegué a pintar la función x=y/(10^(n-1)·(3y-10^n))
    para ver cuántos valores estaban entre 1 y 10 con el tema de que era profesor de análisis matemático… pero al final preferí usar álgebra común.

  8. jabon

    Evidentemente, no puedo competir con vosotros. Utilicé la vía de un alumno de menos nivel (algo, sólo algo parecido a la de Ana)

    No sé si se verá bien luego al publicar el comentario. Lo intento.

    N= 10^50 A + B,
    N = 3AB

    Igualamos 10^50A + B = 3AB,
    B = 3AB – 10^50A = A (3B – 10^50) ,
    Implica que A = B/ (3B -10^50),

    Para que esa división ofrezca un valor entero y positivo, al menos tiene que ocurrir lo siguiente:

    a) denominador sea mayor que cero

    (3B -10^50) > 0 , es decir B > 10^50/3

    b) denominador sea menor o igual que el numerador

    (3B-10^50) <= B, es decir B<= 5 * 10^49

    De este modo se obtiene el rango de valores para B (10^50/3, 5*10^49]

    Basta seguir con el orden decreciente para comprobar que sólo cumple el primer número entero (33….4), el resto ya dan números de menos de 50 dígitos. El caso extremo 5 * 10^49, daría A=1.

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