Desafío 29º: Una paradoja electoral


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Se quiere elegir a un representante entre varios candidatos. Muchos dirían que las matemáticas que intervienen en el proceso se reducen a contar el número de votos. Y, sin embargo, en cuanto se examina la situación con un poco de detalle, se ve que surgen fenómenos extraños.

Imaginemos que, en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos, uno de ellos recibe el 40% de los votos, y que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces declaramos ganador por mayoría simple al primer candidato. Ahora bien, si pidiéramos a los votantes que dijeran no solo cuál es su candidato preferido, sino también quién es el que menos les gusta, podría darse la circunstancia de que todos aquellos que no han votado al candidato ganador lo colocasen en último lugar. Y entonces se habría declarado ganador a un candidato que es… ¡el que menos gusta por mayoría absoluta!

Este fenómeno se conoce como paradoja de Borda, en honor al matemático e ingeniero francés Jean-Charles de Borda, que vivió en el siglo XVIII. Precisamente con la intención de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a los gustos de los votantes, Borda introdujo un nuevo método de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en orden de preferencia. Por cada votante, si el candidato está en la última posición recibe un punto; si está en la penúltima, dos; en la tercera por el final, tres; y así sucesivamente. A continuación se suman todos los puntos y se declara ganador al que más tiene.

Por ejemplo, en una elección en la que cuatro personas eligen entre tres candidatos A, B y C ordenados del siguiente modo:

Votante 1: A>B>C

Votante 2: C>B>A

Votante 3: B>C>A

Votante 4: A>B>C

Así, el candidato A recibe 3+1+1+3=8 puntos, B recibe 2+2+3+2=9 y C recibe 1+3+2+1=7, luego se declara ganador a B. Ahora bien, el método de Borda da un ganador que podría ser distinto del ganador por mayoría. De hecho, si solo hubiésemos tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habría sido A, que tiene 2 votos, en lugar de 1 como B y C.

Y el desafío de la semana es el siguiente: supongamos que n candidatos se presentan a unas elecciones, ¿qué porcentaje de apoyos tiene que recibir como mínimo un ganador por mayoría para que podamos asegurar que también sería el ganador si el recuento de los votos se hubiera realizado según el método de Borda?

18 comentarios

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18 Respuestas a “Desafío 29º: Una paradoja electoral

  1. Maito

    Hasta aquí llega la precampaña. Creo que si planteamos el problema desde el punto de vista del votante medio español, al que si le gustan las gaviotas odia las rosas o viceversa, no vamos a llegar a buen puerto. Es mejor pensar en un electorado que elige a los mejores, independientemente del color, aunque haya algunos que si el más capacitado es un prepotente lo manden a freír puñetas.
    Me ha resultado bastante sencillo, aunque me ha sorprendido el resultado.

  2. jabon

    Coincido con Maito. Sencillo, resultado no esperado pero analizándolo se comprende.

    Hablando de paradojas, encontré un problemilla en el libro de matemáticas de mi hija que también me resultó curioso, aunque algunos ya lo conoceréis. A la vuelta del fin de semana, que ya habréis resuelto seguro este desafío, ¡y si me acuerdo¡, lo comentaré.

  3. Pedro Correa

    Es un poco como las carreras de F1, que puedes proclamarte campeón del mundo sin ganar ninguna carrera.
    Para mí es el más fácil de todos los desafíos. Nivel primeros cursos de ESO.

    La paradoja de Borda la descubrí sin saber que se llamaba así en el viaje de fin de estudios de la carrera de matemáticas. Se presentaron sitios como: Praga-Viena-Budapest, o Cuba-República Dominicana.

    La mayoría querían ir o en plan viaje cultural (y aborrecían el plan Cuba) o en plan viaje de juerga (y aborrecían el plan Praga-Viena-Budapest). Se llegó a plantear incluso hacer dos viajes.

    En esas posibilidades entró Grecia y algunas otras y se votó el viaje preferido repartiéndose los votos casi a partes iguales entre Cuba y Praga y ningún voto para Grecia.

    Alguien propuso votar a dónde nó se quería ir. El resultado volvió a ser parecido al de la primera votación, y de nuevo Grecia sin ningún voto.

    Finalmente fuimos a Grecia: unos días en Atenas en plan cultural y otros en Mykonos en plan juergas.

    Con este sistema, en las elecciones generales ganarían partidos como UPD o similares.

  4. jabon

    Pedro, lo de tu viaje es muy curioso, pero la primera frase me ha despistado, aunque es posible que la menciones como un ejemplo al hilo de la propia paradoja. En cualquier caso el desafío lo he entendido de otro modo, ¿cuántas carreras tendrá que ganar Alonso la próxima temporada para que, pase lo que pase en las restantes, se proclame campeón seguro?

  5. Ave

    Una ecuación de 1er grado; pues sí que estamos bien.

  6. Divagante

    Pues estoy obtuso y no lo veo. Si que parece claro que el mapa politico español cambiaria radicalmente. De momento parece que me depende del numero de candidaturas por lo que no encuentro un termino general

  7. Divagante

    Bueno. Al final salio. La pista de que era un tema de algebra me ayudo. Por cierto, parece que los politicos plantean ahora este metodo
    http://politica.elpais.com/politica/2011/10/01/actualidad/1317481401_932165.html

  8. Ana

    Bonjour à tous
    Es fácil pero también bonito e interesante, yo creo.
    Además me ha recordado que tengo que pedir lo del voto por correo!
    Moraleja: pasa “desapercibido” y ganaras.
    A mí también me ha recordado a la F1. Con el actual sistema de puntos muchos de los antiguos campeones no habrían sido tales.
    Lo malo será que al ser un problema más accesible habrá más soluciones correctas y la probabilidad de que un santiprofematero resulte premiado es aún menor…
    Saludos

  9. Félix

    Por cierto, una aproximación al método de Borda se emplea en las votaciones de Eurovisión.
    El desafío es muy fácil, pero no deja de ser curioso por el resultado.

  10. jabon

    En el libro de primero de bachiller de mi hija encontré un problema que más o menos venía a decir lo siguiente: (Los matemáticos lo conoceréis, para mi fue curioso).
    Invitan a Eva a la fiesta del Club de los Pijos. Hace sus averiguaciones y descubre que la probabilidad de ser divertido es mayor en los melenudos que en los pelaos. Decide ir y ligar con un melenas.
    El Club de los Macarras también va a celebrar una fiesta a la vez, y ocurre lo mismo, la probabilidad de ser divertido es mayor en los melenas que en los pelaos.
    Eva está indecisa pero recibe una llamada en la que le informan que Macarras y Pijos se han puesto de acuerdo para celebrar juntos la fiesta.
    Resuelto el quebradero, Eva decide mantener su estrategia, pero al revisar sus notas, se da cuenta de que en el conjunto de la fiesta, debe alterar su plan y ligar con un pelao. ¿Cómo explicarías este hecho?.

    • Pedro Correa

      Interesante, interesante. Me recuerda algo al fenómeno de will rogers: http://es.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_Will_Rogers

      • Anónimo

        Muy bueno, amigos Jabon y Pedro: ambos ejemplos van en la misma línea. La pena es que el desafío no dé para más que para divertirnos con “derivados”. Yo lo intenté hace unas semanas aunque no tuve ningún éxito.

        Sin que signifique discrepar con nadie, que ninguna falta hace, el problemilla de esta semana me resulta sumamente aburrido. Y da una imagen crepuscular de las mates, un tanto triste: pasan las semanas y las ideas van aflojando…

        Justamente esta semana me han hablado de una obra que apenas he empezado a mirar pero que anima a pensar que aún quedan retos bonitos para los que estamos sólo medianamente iniciados: se trata de un profesor argentino que bajo el título “Matemática, estas ahí?, tiene publicados 5 volúmenes que, desde luego, no se acaban con veintipico problemas. Están por la red, por cierto. Saludos, amigos.

        • Prodem

          Pues yo lo veo todo lo contrario de crepuscular. La imagen que la mayoría de la gente tiene de las matemáticas es la de “una cosa muy difícil que no sirve para nada”. A mí me gusta cuando se muestra que manejar las matemáticas, incluso las fáciles, ayuda a comprender el mundo. Y más aun cuando lo que se comprende es algo que, como ya han señalado otros, es (moderadamente) sorprendente. Creo que en este desafío fijarse en que la ecuación a resolver es muy sencilla es mirarlo desde el ángulo equivocado.

  11. jabon

    Como era de esperar, no seré el único que haya acudido a ver el enlace de Pedro (lo más visitado en las últimas 72 horas) o a guglear el nombre del libro que cita Anónimo.
    La frase de Oklahoma y el C.I., es francamente graciosa, y el supuesto en sí, sorprendente; y el libro promete mucho, tanto que ya tengo descargado un volumen. Seguro que me entretendré algún rato, tiene una lectura muy asequible por lo poco que he visto.
    Anónimo, nos cuentas que no tuviste éxito y parece interpretarse como si algún comentario que hiciste pasase desapercibido. Créeme si te digo que pongo en tela de juicio esa sospecha tuya. Los comentarios de este blog no pasan desapercibidos. Hay mucha gente que los lee, otra cosa es que se decidan a comentar.
    Y también me da por pensar que la probablidad (o el porcentaje) de lectores con sentido común (sensatos, respetuosos, etc.) se acerca al límite de la función del desafío.

  12. Maito

    Tras el fin de samana fuera veo que el desafío al final se ha puesto interesante. Jabon, supongo que con ese enunciado tu hija y sus compis se pondrían a pensar como locos en la solución.
    Y el resto de aportaciones tampoco desmerecen, yo me limitaré a recomendar un link, que por cierto tiene Santi en el blog, de Divulgamat, aunque es como recomendar a los peces que naden. Y la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach

  13. jabon

    No puedo reprimirme. Cuando Pedro comentó lo de su viaje de fin de carrera, me vino a la cabeza un pensamiento. Mira por donde acaba de aparecer en el comentario hecho por Maito.
    Por dar pistas, uno de los destinos que refiere Pedro y la novela de Maito, tienen algo en común.

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