Archivo mensual: octubre 2011

33º Desafío Matemático: Una azarosa taba


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Lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz. Conseguimos así una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:

0 1 0 1 0 1 0 1….

0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1…

dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).

¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?… Por suerte, hemos conseguido unas tabas.

La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.

Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso (pintada de negro en las que yo tengo aquí) y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.

El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.

La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.

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Solución D32º: Espacio para cuatro, pero no para cinco


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La solución que proponemos tiene dos pasos. Empezamos por tomar el triángulo equilátero y, uniendo los puntos medios de sus lados, formamos 4 triangulitos equiláteros, lo que nos dan otros tantos prismas triangulares. Dividimos por tanto el prisma en 4 prismas idénticos más pequeños.

Cada uno de esos prismas pequeños tiene 30 cm de lado y 40 cm de altura. La mayor distancia que se puede alcanzar dentro de ese prisma es la diagonal de cualquiera de sus caras rectangulares que, por el teorema de Pitágoras, mide 50 cm. Como tenemos 5 partículas, al menos dos deben estar en el momento en que observamos en un mismo prisma pequeñito, y por tanto a distancia menor o igual que 50 cm.

Esto es un ejemplo del principio del palomar, pero para resolver el desafío completo, que pedía demostrar que hay dos partículas a distancia estrictamente menor que 50 cm, tenemos que trabajar un poco más apoyándonos en que los primas pequeños comparten algunas caras.

El siguiente paso consiste en ver qué pasa si en la caja con dos partículas éstas están a distancia exactamente 50 cm, es decir, ocupan los dos vértices de una diagonal. Vamos a tratar dos casos.

Primer caso: las dos partículas ocupan vértices de una cara del prisma interior. Entonces vemos que, si no hay partículas a menos de 50 cm, no puede haber más partículas en ninguno de los dos prismas que comparten esa cara, y que en realidad sólo hay lugar para dos partículas más.

Segundo caso: las dos partículas ocupan vértices de un prisma de los que tocan un vértice de la caja original (es decir, exterior). Si hubiese alguna partícula más en una cara interior, estaríamos en el caso anterior. Por tanto las otras partículas tienen que estar en vértices de la caja original y, de nuevo, sólo hay lugar para 4 partículas en total.

Solución de Jose Luis Miota: 32 Partículas en movimiento.Maito

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PROBLEMAS SELECTIVIDAD


Alumnos 2º BACH: Ya tenéis los enunciados que os comenté en clase en la sección “BACHILLERATO”. Cuando los tenga todos resueltos, los escanearé y los colgaré aquí, de momento ya tenéis material para entreteneros…

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Coldplay – 42


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Desafío 32º: Partículas en movimiento


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Tenemos una caja con forma de prisma recto de altura 40 cm y base un triangulo equilátero de lado 60 cm. Introducimos en ella 5 partículas, que hay que pensar que son como puntos, que se mueven al azar por la caja.

El desafío consiste en demostrar que, en cualquier momento que observemos las partículas dentro de la caja, habrá al menos dos partículas que disten entre sí estrictamente menos de 50 cm.

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Solución D21: Cómo obtener parejas elegantes


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Es fácil conseguir una familia infinita de números elegantes, como han manifestado en sus correos la mayoría de las personas que han contestado a este desafío, ya que la familia 10, 100, 1000, 10.000, etc., es una familia de números elegantes. Otra de las características de este problema es que cada número elegante es una puerta a conseguir más números elegantes. Así, como 10 es un número elegante, cualquier número cuya suma de los cuadrados de sus cifras sea 10 también será un número elegante. Como 1 y 3 satisfacen esta propiedad (1^2+3^2=1+9=10), entonces los números 13 y 31 son números elegantes.

Para conseguir más números elegantes podemos volver a realizar la misma operación con los números 13 y 31, aunque no hay que perder de vista nuestro objetivo de conseguir parejas de números elegantes consecutivos. Si las cifras 1 y 3 nos valían para el 10, otras dos cifras pequeñas, como son el 2 y el 3, nos valen para el 13, es decir, 2^2+3^2=4+9=13. De esta manera obtenemos otros dos números elegantes como son el 23 y el 32 y, sobre todo, descubrimos la primera pareja de números elegantes consecutivos, 31 y 32. Esta pareja ha sido descubierta por la práctica totalidad de las personas que nos han escrito, como Jesús Campos -la primera persona en responder al desafío- y, de hecho, es la piedra angular para obtener una familia infinita de números elegantes consecutivos.

Hay varias maneras sencillas de lograr ese objetivo a partir de la pareja 31 y 32. La más utilizada ha sido incluyendo ceros entre las dos cifras de esos números, así se obtienen 31-32, 301-302, 3001-3002…, como han hecho Marisa Berdasco, Manuel Martínez Llaneza, Eva Quijano o el tándem Asun y Javier Sandonís, entre muchísimos otros. Otra manera similar sería convirtiendo esos números en nuevos números mediante unos y añadiendo de nuevo ceros, así los números 111…1110 (31 unos) y 111…111 (32 unos) son también números elegantes consecutivos, o incluyendo ceros en medio -de diferentes formas incluso- obtenemos una familia infinita de parejas de números elegantes consecutivos. Así, 111…1110 (31 unos) – 111…111 (32 unos), 111…11100 – 111…11101, 111…111000 – 111…111001, etc. Este método ha sido utilizado, por ejemplo, por Vicente Morales López del Castillo.

Estas sencillas técnicas valen para cualquier pareja de números elegantes consecutivos. Ramón Esteban-Romero utiliza la pareja 129-130, aunque nos comenta otras posibles parejas, de la que por ejemplo tenemos la serie infinita 1029-1030, 10029-10030, 100029-100030, etc. Y también nos valdría el poner tantos unos como el número que tenemos, al igual que en el caso del 31. Javier Montero, aunque también cita otras parejas, hace uso de 637 y 638. Felix Ureña utiliza 15210 y 15211, a las que ha llegado apoyándose en la pareja 31 y 32. La pareja 1221 y 1222 es utilizada por Ret Dui, la pareja 1184 y 1185 por Sergio López Goikolea, la pareja 1771 y 1772 por David Ayala, o la pareja 65214 y 65215 por Alfredo Garrido, entre muchas otras parejas.

Una buena cantidad de personas se han dedicado primero a la búsqueda de números elegantes hasta un cierto número, e incluso han utilizado las herramientas informáticas para ello. Así Vicente Casado, ayudándose de una hoja de cálculo, ha obtenido los números elegantes hasta 100, a saber 1 – 7 – 10 – 13 – 19 – 23 – 28 – 31 – 32 – 44 – 49 – 68 – 70 – 79 – 82 – 86 – 91 – 94 – 97 – 100 (estos también han sido obtenidos por otras personas como, por ejemplo, Guadalupe Gutiérrez), y posteriormente hasta 1000, de donde obtuvo las parejas de números elegantes consecutivos hasta esa cantidad, 31-32, 129-130, 192-193, 301-302, 319-320, 367-368, 391-392, 565-566, 622-623, 637-638, 655-656, 912-913, 931-932. Ángel Herrero ha desarrollado un pequeño programa informático para calcular parejas de números elegantes consecutivos y nos ofrece el listado hasta el número 10.000. Y Miguel Ángel Bermúdez ha calculado parejas hasta algo más del 200.000.

Pero no hace falta tener como inicio una pareja de números elegantes consecutivos, basta por ejemplo fijarnos en los números elegantes 10=1^2+3^2 y 13=2^2+3^2, para generar familias de parejas de números elegantes consecutivos, como por ejemplo 1111111111-1111111112, 10111111111-10111111112, 100111111111-100111111112… como hacen Tito Eliatron, Gisela Pujol o Jesús Jimmy Pejendino.

Algunos otros métodos similares a estos, algunos tan simples y otros algo más complicados, aparecen también entre las respuestas enviadas. Destacamos algunas de ellas. Para empezar, algunas personas, como Fabio Sarmiento, Miquel Garriga y Ángel Alonso; han estudiado el comportamiento de la sucesión asociada a cada número en la que cada elemento está definido como la suma de los cuadrados de las cifras del elemento anterior. Recordemos que entonces para el número 2, la sucesión asociada es 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, y a partir de aquí la sucesión es cíclica, por eso el número 2 no es un número elegante; o para el número 7 es 7, 49, 97, 130, 10, 1, y se para en 1, luego el 7 es elegante. Y han observado que esos dos comportamientos que acabamos de mostrar son los dos únicos que existen, el primero para los números no elegantes cuya sucesión asociada acaba siempre en el ciclo del 4 y el segundo para los números elegantes, que se para en el 1.

Otra respuesta interesante se la debemos a Salvador Jover Sagarra, quien además de resolver el desafío, nos ofrece un par de joyas: cuatro números elegantes consecutivos, a saber, 7839, 7840, 7841, 7842; un cuadrado mágico de números elegantes:

2112, 4471, 3296;

4477, 3293, 2109;

3290, 2115, 4474.

José Reinaldo Martínez nos envía también tres números elegantes consecutivos, 1880, 1881 y 1882; cuatro números elegantes consecutivos, 7839, 7840, 7841 y 7842; y cinco números elegantes consecutivos: 44488, 44489, 44490, 44491 y 44492.

Solución de José Luis Miota: 31 Números elegantes.Maito

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Desafío 31: Números elegantes


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Un número es elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir la esta misma operación sobre el resultado obtenio, e iterar este proceso suficientes veces obtenemos finalmente 1. Por ejemplo, el número 9.100 es elegante, ya que, primero, 9^2+1^2+0^2+0^2=82. Siguiendo el proceso: 8^2+2^2=68. Iterando una vez más: 6^2+8^2=100. Y, por último, 1^1+0*2+0^2=1.

El desafío consiste en encontrar infinidad de parejas de números consecutivos tal que ambos sean elegantes.

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