Solución desafío 29: Una dura elección


Acceder desde AQUÍ.

La respuesta correcta al desafío es que la fracción de votos debe ser estrictamente superior a 1-1/n, o bien, si queremos expresarlo como porcentaje, al 100-100/n % de los votos. Por tanto, a medida que aumenta el número de candidatos, se requiere una práctica unanimidad. Como señalan varios lectores, el porcentaje mínimo llegaría al 100% si todos los electores fueran al mismo tiempo candidatos. Veamos a continuación la prueba.

Además del dato del problema (n candidatos), introduciremos dos nuevas variables: el número total de electores, que llamaremos E, y la cantidad de votos que recibe el ganador por mayoría, digamos v. La fracción que se desea calcular es, por tanto, v/E.

La idea de la solución consiste en examinar la situación más desfavorable para el candidato ganador. Si garantizamos que, en ese caso, también se declararía vencedor por el método de Borda, entonces tendremos la garantía de que lo hará siempre. Y la situación más desfavorable posible se produciría con estas dos condiciones:

1. Todos los electores que no han votado al ganador lo colocan en última posición en su lista.

2. Existe otro candidato al que todos aquellos que no han votado al ganador colocan en primer lugar y quienes sí lo han votado lo sitúan segundo.

Ahora solo queda contar cuántos puntos recibirán el ganador y el otro candidato según el método de Borda y plantear una desigualdad entre ambas cantidades.

Empecemos por el ganador: obtendrá n puntos por cada uno de los votantes que lo colocan en cabeza de la lista y un único punto por todos los que lo sitúan en última posición. En el primer grupo se encuentran los v votantes que lo han elegido y en el segundo el resto de los lectores, es decir, E-v personas. Por tanto, los puntos del candidato ganador según el método de Borda sonvn+(E-v).

En cuanto al otro candidato, recibirá n puntos por cada uno de los E-v electores que lo han situado en primera posición y n-1 puntos de cada uno de los v votantes que han elegido al ganador, pues ellos lo sitúan en segundo lugar en su lista de preferencias. Esto da un total de (E-v)n+v(n-1) puntos.

Por tanto, para que el ganador por mayoría se declare ganador también por el método de Borda sea cual sea la configuración de las preferencias de los votantes, es preciso que se verifique la desigualdad vn+(E-v)>(E-v)n+v(n-1). Pasando el término E-v al otro lado, vemos que esto equivale a vn>(E-v)(n-1)+v(n-1)=E(n-1). Por tanto, como anunciamos al comienzo de la solución, la fracción v/E que buscamos debe ser estrictamente mayor que (n-1)/n=1-1/n. Lo que expresado como porcentaje equivaldría al 100-100/n % de los votos.

Solución de José Luis Miota: 29 Una paradoja electoral.Maito

11 comentarios

Archivado bajo OTROS

11 Respuestas a “Solución desafío 29: Una dura elección

  1. Rubén

    Creo que en la solución de El País han sido un poco descuidados:
    ¿Por qué en la solución de El País se empeña en poner >= en lugar de > ?
    ¿Por qué no dice que v/E es el Tanto por uno en lugar de tanto por ciento?
    ¿Por qué al final dice que es muy poco probable que siendo ganador por votación lo sea también por el método de Borda, si precisamente se ha buscado el caso más desfavorable posible para la resolución?

    • Uno de los organizadores....

      La respuesta es sencilla: porque somos TODOS amateurs y esta vez nos hemos despistado. De hecho Javier Fresán se dió cuenta del error del >= al revisar el vídeo, pero ya no se podía cambiar. Por eso tuvo cuidado de escribir “estrictamente” en la solución.

      Respecto al comentario que hace de que es muy poco probable que siendo ganador por votación lo sea también por el método de Borda, creo que intentaba destacar la diferencia entre los dos métodos, y yo también pienso que se le fue la mano. Como además de matemático Javier es escritor, propongo considerarlo una licencia poética y perdonárselo :-)

      Alguien pedía que ganase (en buena liz) uno de los lectores del blog. Ahora tenéis además la ocasión de proponer un desafío.

      Muchas gracias por vuestro interés, y agradecimiento especial a Santi.

  2. Ana

    Je suis d’accord.

  3. jabon

    Para quienes no lo supieran, Petros es el nombre de un pelícano muy famoso en la isla de Mykonos.
    Acabo de ver el siguiente desafío, y si lo he entendido bien, creo que lo tengo.
    Por cierto no va a ser el último, parece que hay diez más (7 + 3).

  4. Ave

    Los de probabilidades me parecen casi siempre bonitos, como es el caso, aunque el diseño de la solución de esta semana resulta sencillo…

    Pero para mí el verdadero reto de esta semana y las siguientes es el de los organizadores de EP: de agradecer, sin duda, pero me ha hecho pensar que quizá no debí criticar en alguna ocasión, si bien traté de hacerlo con cordialidad, los desafíos muy simples… porque si bien conozco unos cuantos bien bonitos, todos o casi todos pueden encontrarse en la web, y eso dificulta proponer lo que ahora denominan acertijos, porque el mérito que quizá no he valorado debidamente hasta ahora es la originalidad de muchos de los desafíos (no de todos, es cierto), más allá de su dificultad.

    No obstante alguno propondré, sin duda. Y en este punto vuelvo ahora a algo que se me ocurrió mientras escribía y que ya he mencionado: ¿os parece significativo el cambio de denominación a “acertijo”? ¿Puede ello distraer de las mates puras, y derivar las propuestas a cuestiones más anecdóticas o simplemente paradójicas,pero sin más profundidad?

  5. Uno de los organizadores....

    Ave, ya te digo yo que no hay nada profundo detrás del cambio. Lo de “acertijo” sólo está en el titular. Si lees el texto verás que siempre se habla de “desafío”. El titular lo ponen siempre los de el periódico, y buscan también que sea “chulo”, aunque a veces pierdan precisión. Espero que el uso de la palabra acertijo no tenga finalmente ningún efecto. Y anímate a enviar un desafío, que no nos hemos tomado a mal tus críticas, aunque se agradece que ahora hayas dicho públicamente que hacer esto no es fácil :-)

  6. Jesus

    Hola organizador…
    Quiero que sepas (y creo que hablo en nombre de todos los que miramos este blog) que nos encanta la iniciativa y que nos hace pasar grandes momentos. Los hay mas faciles y mas dificiles (yo me re-enganche a ellos despues del verano con este ultimo y me parecio mas facil de lo habitual pero curioso). Y es cierto que no es nada facil encontrar desafios cada semana (que no puedan encontrarse en google :D). Yo se resolver la mayoria pero dudo que pudiese inventarlos. Un Saludo de un santiprofematero

  7. Maito

    Suscribo las opiniones anteriores y ahora es cuando llega el verdadero desafío, inventar algo original.

  8. jabon

    Me uno a las felicitaciones a los organizadores. Yo también soy amateur, y por mi parte estáis perdonados en los escasísimos despistes que tenéis, que tampoco creo que tengan tanta transcendencia.
    Estoy trabajando en plantearos algún desafío. Ya tengo uno ideado pero esperaré a ver si se me ocurre alguno mejor.
    En cualquier caso, los que no salgamos elegidos (ya me incluyo por cuestión de lógica y de probabilidades), podríamos pasárselos a Santi, para que los colgase en una entrada y así poderlos ver todos. ¿Qué os parece?

  9. Ana

    Sí, más trabajo para Santi!! jeje
    Qué bien tener más desafíos.
    De física sí, pero de matemáticas no sé si podré inventar algún desafío.

  10. Pedro Correa

    La verdad es que inventar sí que es difícil. No sé si me veo capaz de hacerlo. Siempre se me dio mejor resolver que plantear…

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s