Solución desafío 30: 1/5


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La primera de las dos soluciones que se presentan en el vídeo, consistente en realizar una simulación, coincide con la que propone Rafael Losada. La segunda solución, del profesor Fernández, por la que han optado la mayoría de los concursantes, recurre al estudio de un árbol de probabilidad, como lo hace Ángel T. Jorge González, para posteriormente calcular la probabilidad mediante la suma de una serie infinita P = (1/23 + 1/24) + (1/27 + 1/28) + (1/211 + 1/212) + (1/215 + 1/216) + ……. = 1/5.

Muchos de los que enviaron soluciones correctas han utilizado un razonamiento del siguiente tipo (transcribimos el de Antonio González Lahoz):

P1=posibilidad de ganar 5.000 teniendo 1.000 (lo que se pide)

P2= posibilidad de ganar 5.000 teniendo 2.000

P3=posibilidad de ganar 5.000 teniendo 3.000

P4= posibilidad de ganar 5.000 teniendo 4.000

-Cuando tenemos 1.000 apostamos 1.000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 2.000 y otro medio de perder, luego: P1=1/2*P2.

-Cuando tenemos 2.000 apostamos 2.000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 4.000 y otro medio de perder, luego: P2=1/2*P4.

-Cuando tenemos 3.000 apostamos 2000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 5.000 (ganar) y otro medio de quedarnos en 1.000, luego: P3=1/2+1/2*P1.

-Cuando tenemos 4.000 apostamos 1.000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 5.000 (ganar) y otro medio de quedarnos en 3.000, luego: P4=1/2+1/2*P3.

Con esto se tiene un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, cuya solución es:P1=1/5, P2=2/5, P3=3/5, P4=4/5

También ha habido un grupo nutrido de participantes que ha resuelto el desafío acudiendo al concepto de esperanza matemática, como muy bien explica Ángel Pastor Martín. De acuerdo a su presentación, la justificación es la siguiente:

Estamos ante un juego equilibrado o justo, por lo tanto la esperanza de dinero ganado es 0 euros. Además, las dos únicas formas de terminar el juego son con 0 o con 5.000 euros, lo que supone ganar -1-000 euros o 4.000 euros, respectivamente.

Llamamos p a la probabilidad de alcanzar los 5.000 euros (ganando 4.000), con lo que1-p es la probabilidad de quedarse sin los 1000 euros que tenía inicialmente. La esperanza del dinero ganado, E, tiene que ser cero, y la expresión E = 5.000p-1.000(1-p)=0 nos lleva al resultado. Resolviendo la ecuación se obtiene 5.000p-1.000-1.000p=0, luego 4.000p=1.000, luego p=0?2.

Un buen número de concursantes ha recurrido a un razonamiento similar al siguiente. Partimos con 1.000 euros y ahora probabilidad 1/2 de perder y quedarse con 0 euros, y la misma de ganar y quedarse con 2.000. En el segundo caso apostamos 2.000 y la probabilidad de perder es 1/4 para quedarse con 0, y la misma para ganar y obtener 4.000. Seguimos apostando 1.000 con probabilidad 1/8 de ganar y quedarse con 5.000 ¤ y la misma probabilidad de perder y quedarse con 3.000 ¤. Ahora apostamos 2.000, siendo 1/16 la probabilidad de ganar y quedarse con 5.000, y la misma probabilidad de perder y quedarse con 1.000.

Como se puede ver, esta es la situación de partida, por lo que ahora se va a repetir el proceso. Por tanto, llamando P a la probabilidad buscada tenemos que se cumple la ecuación P=1/8+1/16+(1/16)P, que al resolverla da la solución P =1/5, o bien un 20%.

Solución de José Luis Miota: 30 Apuesta arriesgada.Maito

 

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