Desafío 32º: Partículas en movimiento


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Tenemos una caja con forma de prisma recto de altura 40 cm y base un triangulo equilátero de lado 60 cm. Introducimos en ella 5 partículas, que hay que pensar que son como puntos, que se mueven al azar por la caja.

El desafío consiste en demostrar que, en cualquier momento que observemos las partículas dentro de la caja, habrá al menos dos partículas que disten entre sí estrictamente menos de 50 cm.

36 comentarios

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36 Respuestas a “Desafío 32º: Partículas en movimiento

  1. Pedro Correa

    Aún no he empezado, pero este parece que tiene miga…

  2. jabon

    Yo también creo que es interesante. De los tres caminos que planteé inicialmente, por ahora me decanto por uno, que parece el más lógico; no obstante, y como seguro que hay varias formas de probar lo retomaré el fin de semana, por si se me escapa la elegancia de alguna otra solución.
    No hay ninguna pista en mi comentario, aunque he estado tentado.

  3. Pedro Correa

    Cuando vi el problema la primera vez, no sé por qué pensé que eran 40 cm de lado, 60 de altura y 3 partículas.

    Tal como está planteado es un poco más complicado, pero no mucho más y se resuelve usando el mismo argumento (ya usado en alguno de los 31 desafíos anteriores, aunque con distinto/s contexto/s).

  4. Anónimo

    ¿Os habéis dado cuenta de que Sofía Nieto es la hija del Cuesta en “Aquí no hay quien viva”?

  5. Rogelio

    Lo de “estrictamente menor” se me resiste… igual no estoy en el buen camino

  6. Maito

    He visto dos posibles demostraciones, aunque están lejos de ser rigurosas. Además leyendo el comentario de Rogelio, lo de estrictamente me sobra, ya que para que cupiesen la distancia debería incluso inferior a 45, así que no debo ir bien.

  7. Pedro Correa

    Supongo que lo de estrictamente menor será porque las partículas tienen que estar en el “interior” del prisma

  8. Rogelio

    creo que ya esta, ha estado estupendo este desafio!
    Estrictamente menor se puede hacer sin asumir que la caja-prisma
    tenga grosor (ademas hacen hincapie en que las particulas
    son idealmente puntuales, etc.).
    Lo de 45cm lo veo todo un reto, pero no se por donde cogerlo!

  9. Ave

    No sé… esta semana voy con retraso y acabo de verlo; pero me está pareciendo que basta con el Sr. Pitágoras. Seguro que me equivoco, no obstante, por el tenor de vuestros comentarios.

  10. Ave

    Ya está; hay una forma (al menos) de resolverlo bonita y sencilla,y sin casi hacer números. Lo de escoger como distancia 5 va por ahí.

  11. Félix

    A mi me ha salido jugando con pompas de jabón.

  12. pipin

    ¿Es posible meter las 5 partículas, con las condiciones del reto, en un prisma como el dado pero con 49 centímetros de altura ?, es la disposición más favorable que encuentro. Contestar por favor, a ver si voy bien encaminado.

    Saludos.

    • Ave

      Pipin, con 49 seguro que sí, pero a botepronto me parece a mí que entonces podrías meter hasta 6 sin problemas… Con mi solución, que creo que será la oficial y mayoritaria, no sería necesario haber llegado ahí. Realmente no hay que hacer muchos cálculos, opino.

      • pipin

        Ave abusando de tu característica amabilidad a ver si me puedes confirmar lo de que con 49 centímetros de altura se pueden meter 6 partículas distantes entre ellas los 50 ctms del desafío.

        Gracias a todos por vuestras respuestas.

        Saludos.

        • Ave

          Pipin, no he necesitado hacer esos números, como te decía. Pero me juego el bigote a que si el tetraedro mide 49 de altura, te bastaría pintar un triángulo de 50 o 51 de lado centrado en la base superior y tendrías que sus vértices, junto con los originales de la base inferior, están todos a distancia >= 50. Hablé de Pitágoras pero éste hablaba griego, que es más difícil de entender: podríamos citar el célebre “divide et vinces” atribuido a un famoso romano. :-)

          • pipin

            Pues según esa disposición que comentas y aunque te parezca mentira, para meter las seis partículas en vereda se necesitarían 49.5 ctms de altura del prisma.

            Gracias y saludos.

  13. julio

    Puede ser que se resuelve haciendo una piramide traingular ocn cuatro puntos??

  14. jabon

    No sé decirte Pipin, no me he parado a hacer muchas mediciones.
    El problema me tiene mosca, porque creo que tiene que haber una respuesta mucho más elegante que la mía. Al final he terminado por comerme la mandarina.
    Con la vía del espacio he claudicado, creo que es para matemáticos, pero me hubiese gustado sacarla, aunque debe de ser muy compleja.

  15. jabon

    Pedro, algo no me cuadra con esas expectativas, al menos en el 120; pero posiblemente esté yo en el error.
    Considerando que hemos de colocar (gajos o más parte) de 25 centímetros de radio (que hacen 50 de diámetro), veo complicado meter tantos.
    Empezaría con 25-10-50-10-25, por un lado, en el resto de lados idem, salen 3 en cada lado, pero esquinas comunes compartidas, de manera que solo 6 en ese nivel y creo que en centro no cabe nada. En nivel de encima, aprovecharía huecos de 10, y no creo que entren más de 6. Más de 12 lo veo complicado ¿qué opinas?

    • Ave

      Jabon, lo veo complicadísimo. Podrías, quizá, olvidarte de las esferas y sus radios. Y de los niveles también. En mi opinión es mejor centrarse exclusivamente en el problema original, pensar un poco en el hogar que Superman se construyó en el Polo y recordar, sencillamente, que el problema se plantea en si donde caben 4, que sí, pueden andar 5, manteniendo las distancias eso sí.

  16. jabon

    Bueno, tengo una respuesta nueva (y es la que buscaba, la elegante), pero no recuerdo la casa de Superman, así que no he podido ver la relación. Pero sí sospecho que es la misma, después de hacer unas cuentas y comprobar los datos que da Pedro.
    Según el prisma como lo mires, los números cuadran a efectos de demostración de esas cifras en concreto, pero habría que buscar algún método alternativo para probar que con menos partículasa, tampoco sería posible.
    Entiendo que la sucesión de números impares, está presente en vuestra demostración.

    • Pedro Correa

      Estate seguro de que es esa. ¿A que da placer cuando se encuentra?

      • jabon

        He de ser sincero, y sí.
        Sabía que tenía que haber una respuesta sencilla.
        Tenía la de los globos, que creo que la tenía bien atada, pero era más laboriosa. Perdí mucho tiempo, en plantear vectores en el espacio, limitados a una esfera, quitando casquetes para dimensiones menores, esa también me hubiese gustado sacarla, pero creo que es para vosotros, no sé si era buen camino, pero lo intuía.
        En el tema de volúmenes también había una puerta abierta.
        Hasta que busqué la idea de convertir el prisma en cuatro figuras, y la única posibilidad que vi, para que fuesen iguales, era la de un prisma de 60, sacar cuatro de treinta.
        Entondes entendí tus números.

  17. Pedro Correa

    Vaya, descubro con sorpresa que el problema está “inventado” por Eva Elduque, que supongo que será hija de Alberto Elduque, que fue el que presentó el problema de la potencia grande de 2, y que es uno de los mayores talentos que he tenido como profesor de matemáticas.

    De tal palo…

  18. Félix

    Además de la respuesta fácil, cuatro prismas de 30cm, se puede conseguir la demostración dibujando tres esferas de 50cm de radio en los vértices inferiores de la caja y viendo que solamente queda espacio para una sola partícula en la parte no cubierta por las citadas tres esferas.

  19. rogelio

    Asi tambien se puede demostrar que solo cabe una. Pones una esfera de 50cm de radio en el centro del prisma y no cabe nada mas…

  20. Pedro Correa

    Parece que tal y como decía Rogelio, hacía falta un comentario adicional que al menos yo no he hecho. Me he quedado con lo del “interior” del prisma”, lo que por otra parte me parece un argumento topológicamente correcto.

    Parece que lo que en el caso de las bolas famosas del desafío 24 dieron por correcto aquí no lo han dado.

  21. jabon

    Yo tampoco amplié. Lo de estrictamente, lo capté con otro matiz.
    Entiendo cuando me dicen menor que (no vale igual), pero estrictamente menor, parecía tener otro sentido que una simple redundancia, dentro del contexto.
    Esto es como lo de los penaltis rigurosos.
    Pedro, no tiene mucha importancia, el criterio en el fondo no es injusto; aunque creo que, conforme recibían respuestas, se podían haber dado cuenta de que algo se podía interpretar ambiguamente, y se podía haber añadido una aclaración.
    Como los organizadores veis estos comentarios, no lo entendáis como una crítica, sólo una opinión; y enhorabuena por los desafíos.
    ¡Ah¡, y si os han llegado muchos y buenos, alargad el tema.

    • Pedro Correa

      Tienes razón. Lo importante es los buenos momentos que nos han hecho pasar con estos desafíos. Y a mí me ha servido también para ver que hay gente con inquietudes parecidas a las mías y a los que les gusta compartirlas, ¡¡que es mucho!!.

      Como les he dicho en el foro de El País, ¡bastante mérito tienen leyendo y corrigiendo todas las respuestas solo por amor a las matemáticas!

      • Uno de los organizadores....

        Ya que lo pedís tan educadamente os lo explico aquí. En el foro de El País prefiero no hacer ruido, que la gente se excita (Pedro, espero que lo entiendas).

        Respecto a haberlo aclarado, aparte de que pensábamos que con decir que “partícula” era una metáfora para punto era suficiente (no lo considerábamos un problema de topología :-)), lo normal es que las dudas surjan en las primeras horas. Pero la primera respuesta hablando de “interior” no apareció hasta el viernes por la tarde, y la segunda el sábado por la tarde, no siendo hasta el domingo (un poco tarde para aclarar las cosas) cuando se detectó una cierta tendencia. Y además andábamos de congreso y leyendo un poco a salto de mata.

        No lo hemos discutido en el texto porque no queríamos entrar en grandes debates sobre algo que, pienso (y así lo confirman vuestros comentarios), queda ya claro cómo lo vemos desde la organización.

        En cualquier caso hemos recibido menos de 20 respuestas con ese error, y quizás no habría sido del todo “justo” tratarlo exactamente como las respuestas que se han batido con el detalle (que a ver si conseguimos que salga en el vídeo, que no sé qué les ha pasado con el montaje).

        No obstante, cuando se hizo el sorteo sí estábamos preparados para entregar el premio si salía una de estas soluciones, pero tuvimos la suerte (desde nuestro punto de vista, no obviamente desde el de Pedro Correa) de que salió otro tipo de solución.

        Supongo que con esta explicación refuerzo nuestra imagen de amateurs, pero es lo que hay.

        Lo de alargar el tema supera mis fuerzas (ahora hablo como coordinador RSME), y sospecho que las de los periodistas de El País responsables del proyecto, que se lo están currando como jabatos para mantener las matemáticas en portada tantas semanas (el espacio en portada de elpais.com es un bien escaso y muy preciado). Pero agradezco muchísimo vuestro interés.

        Y ánimo, que todavía quedan 8 :-)

        • Pedro Correa

          Pues solo puedo darte las gracias por la aclaración. Quiero que sepáis que yo (y me imagino que todos los que estamos aquí) estoy disfrutando mucho con estos desafíos.

          Y que lo más dificil me parece plantearlos. Si fuera tan fácil inventarlos, seguro que habría enviado alguno, pero todo lo que se me ocurría, o era demasiado evidente o era demasiado farragoso.

          Respecto al video, os prometo que ayer conseguí verlo entero, pero desde el enlace de “Últimos vídeos” al que se accede entrando en cualquier noticia de “Cultura” de El País.

          ¡Ah! y si no nos toca a ninguno de nosotros… ¡por lo menos que le toque a Alfonso Pérez Arnal, que se lo curra un montón mandando vídeos, resolviendo cuadrados mágicos en latín, gallego, euskera y catalán y obteniendo parejas, trios, cuartetos y quintetos de números elegantes consecutivos.

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