Solución D32º: Espacio para cuatro, pero no para cinco


Acceder desde AQUÍ.

La solución que proponemos tiene dos pasos. Empezamos por tomar el triángulo equilátero y, uniendo los puntos medios de sus lados, formamos 4 triangulitos equiláteros, lo que nos dan otros tantos prismas triangulares. Dividimos por tanto el prisma en 4 prismas idénticos más pequeños.

Cada uno de esos prismas pequeños tiene 30 cm de lado y 40 cm de altura. La mayor distancia que se puede alcanzar dentro de ese prisma es la diagonal de cualquiera de sus caras rectangulares que, por el teorema de Pitágoras, mide 50 cm. Como tenemos 5 partículas, al menos dos deben estar en el momento en que observamos en un mismo prisma pequeñito, y por tanto a distancia menor o igual que 50 cm.

Esto es un ejemplo del principio del palomar, pero para resolver el desafío completo, que pedía demostrar que hay dos partículas a distancia estrictamente menor que 50 cm, tenemos que trabajar un poco más apoyándonos en que los primas pequeños comparten algunas caras.

El siguiente paso consiste en ver qué pasa si en la caja con dos partículas éstas están a distancia exactamente 50 cm, es decir, ocupan los dos vértices de una diagonal. Vamos a tratar dos casos.

Primer caso: las dos partículas ocupan vértices de una cara del prisma interior. Entonces vemos que, si no hay partículas a menos de 50 cm, no puede haber más partículas en ninguno de los dos prismas que comparten esa cara, y que en realidad sólo hay lugar para dos partículas más.

Segundo caso: las dos partículas ocupan vértices de un prisma de los que tocan un vértice de la caja original (es decir, exterior). Si hubiese alguna partícula más en una cara interior, estaríamos en el caso anterior. Por tanto las otras partículas tienen que estar en vértices de la caja original y, de nuevo, sólo hay lugar para 4 partículas en total.

Solución de Jose Luis Miota: 32 Partículas en movimiento.Maito

7 comentarios

Archivado bajo OTROS

7 Respuestas a “Solución D32º: Espacio para cuatro, pero no para cinco

  1. Maito

    La solución que he propuesto no es correcta en el sentido de que no es general. Está claro que los problemas espaciales no son lo mío, ya me ocurrió con el tapete y los círculos. Es más ni siquiera llegué a pillar la onda de vuestros comentarios del fin de samana. Bonito desafío.

  2. Cirs29

    Ufff! Un poco mosqueado con la organización del desafío. Creo que han anulado todas las soluciones que utilizaban un argumento de compacidad de las partículas. Han visto un doble tetraedro y ¡fuera!. La mía iba por ese camino pero creo que con un argumento algo distinto. Paso a explicarla:
    Mi solución intenta demostrar que dentro de la caja no pueden encontrarse todas las partículas a una distancia de 50cm simultáneamente, sino a una menor. Toda disposición de 5 partículas a una distancia igual o mayor de 50 cm implica una distancia X entre las partículas más alejadas entre sí. Cualquier caja que pretenda contener dicha disposición debe, al menos, poder contener a X. Esta es una condición necesaria pero no suficiente. El menor valor de X se obtiene cuando las partículas son lo más compactas posible, en este caso formando un doble tetraedro. Ello significa que cualquier caja que quiera contener las 5 partículas debe poder contener como mínimo el menor valor de X (condicion necesaria), aunque ello no significa que pueda contener dicha disposición (ej: un clilindro de diametro 1cm y longitud 150 cm cumple la condición necesaria pero no es suficiente). Como la caja propuesta no puede contener el menor valor posible de X (100·(6^0’5)/3), ya que su mayor magnitud, la diagonal de una cara lateral es menor que el menor valor de X (20·(13^0’5)), no va a poder contener ni esa disposición ni ninguna otra. QED.
    Además el argumento para desechar las soluciones basadas en el tamaño del doble tetraedro diciendo que la distribución compacta tampoco cabría dentro de otra caja que sí verificaría el problema es tanto como desechar la demostración del desafío indicando que no es válida si la altura del prisma es de 41 cm.

    En fin. Ç’est la vie. Al menos disfrutamos intentando resolver problemas.

    • Prodem

      Hola Cirs29. Si entiendo bien tu teorema, la conclusión sería que el tetraedo doble no es la forma más compacta de poner las 5 partículas, ya que en una pirámide de base cuadrada de lado 50 y altura (50·(2^0’5))/2 [o sea, las 8 aristas miden 50] se pueden colocar las 5 partículas pero la mayor distancia, la diagonal de la base, es 50·(2^0’5), que es menor que 100·(6^0’5)/3. ¿O estoy entendiendo algo mal?

      Si no, lo que queda abierto es ¿cuál es la forma más compacta? Yo pensaba que era el tetraedro, pero tu teorema demuestra que no es así.

  3. Ave

    Bueno, por mi parte mi respuesta fue la oficial; creo que es la 1a vez que entro en el sorteo sólo con 61 bolas más. Otra vez será!, aunque cada vez queden menos.

  4. jabon

    Maito, personalmente te agradezco que envíes tus respuestas. Creo que no tiene tanta importancia si están bien o menos bien, porque aparecen siempre matices, que sirven también para abrir los ojos.
    Aprovecho también para dar la enhorabuena a los organizadores. He leído el comentario del otro hilo, y veo que habéis entendido que os comprendemos, y que queremos que esto dure.
    Personalmente me entretengo bastante.
    Enhorabuena Ave, aunque no te ha tocado.

    • Ave

      Gracias, Jabon… No sabéis cuánto deseo la enciclopedia para mi hijita, que aún no ha cumplido 4; pero nosotros sabemos que las mates no tienen caducidad, ¿verdad? :-)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s