33º Desafío Matemático: Una azarosa taba


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Lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz. Conseguimos así una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:

0 1 0 1 0 1 0 1….

0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1…

dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).

¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?… Por suerte, hemos conseguido unas tabas.

La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.

Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso (pintada de negro en las que yo tengo aquí) y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.

El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.

La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.

41 comentarios

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41 Respuestas a “33º Desafío Matemático: Una azarosa taba

  1. jabon

    De crío jugué mucho a la taba en la versión sadomasoquista (rey-verdugo o nabo-hoyo y tripa). Sólo una puntualización, existe una quinta manera de caer (complicadísima pero posible), es el canto; si cae de ese modo acumulas las funciones de rey y verdugo, usando como alternativa la caja de cerillas era más fácil conseguir.
    Mi problema es el siguiente, no tengo tabas y me da mucha vergüenza ir al carnicero a darle explicaciones delante de la clientela, pensarían que estoy más chiflado que la Duquesa de Alba.
    Interpreto que lo de la taba ha sido, y muy bien ideado, una manera de introducir un desafío y por ello lo que realmente nos piden es que transformemos una serie con sesgo en otra sin. En resumidas cuentas, que nos la inventemos. ¿Alguno más tiene esa interpretación o tengo que renunciar a participar en este desafío?. Me imagino que por el teorema de la taba, al menos un lector más tendrá ese inconveniente u otro parecido.
    Tengo otra duda más, pero bueno esa la dejo para más adelante, me imagino que en algún comentario saldrá.
    Por lo demás no parece un reto muy complicado, salvo lo de conseguir una taba, que tal vez ese sea el verdadero desafío.

    • Uno de los organizadores....

      Jabón, ¿no me digas que no tienes una taba en casa? ¡Expulsado de los desafíos! :-)

      Obviamente tu interpretación es correcta, y además no puede ser de otra manera dado que el desafío pide dar un procedimiento que transforme CUALQUIER sucesión de bits conseguida con CUALQUIER taba en una sucesión aleatoria sin sesgo. Así que la solución no puede depender de la taba que consiguieses (quizás yendo disfrazado a la carnicería).

  2. Josep

    No sé si será porque no he jugado mucho a la taba pero no consigo entender qué es lo que se pide y no me gustaría enredarme innecesariamente por no haberlo interpretado correctamente. Se pide obtener una serie a partir de otra. ¿En virtud de qué?, ¿aplicando una función? Si alguien tiene la amabilidad de precisarlo un poquito, sin tener que dar pistas, sería de gran ayuda.

  3. Pedro Correa

    A priori me parece uno de los más difíciles que se han propuesto. He tenido una pequeña idea, pero no sé yo si funcionará, y en el caso de que lo haga, si funcionará para todas las posibles sucesiones.

    Supongo que al menos deberá haber varios unos y varios ceros… porque si no, me parece totalmente imposible. Y también que deberá tener un mínimo número de “lanzamientos”.

    Por ejemplo,
    ¡¡transformar la sucesión 11 en algo sin sesgo me parece imposible!!

    • jabon

      Pedro, siempre que haces un comentario de ese tipo me asustas.
      Pensé que tenía ya un método infalible, pero veo que tendré que revisar.
      Nos pones un ejemplo muy complicado, salvo que aceptemos la sucesión de un elemento único…

      • Prodem

        Dicen “lanzando repetidamente una taba”, así que no creo que estén pensando en sólo dos lanzamientos. En el procedimiento que se me ha ocurrido siempre hay una pequeña probabilidad de que no funcione (es decir, me dé una serie de longitud 0). Pero vamos, igual que hay una pequeña probabilidad de que si lanzo al aire una moneda “perfecta” 1 millón de veces salgan 1 millón de caras. Como estamos hablando de probabilidades creo que esto es admisible, pero le daré más vueltas a ver si lo mejoro.

  4. jabon

    En primer lugar un múltiple agradecimiento a la organización, por su respuesta, por utilizar el mismo nivel de simpatía en la respuesta que el que se pretendía dar en mi anterior comentario y por el trabajo que esto os supone.
    Josep no soy de matemáticas, soy médico, pero intuyo que no hace falta conocer ningún método o teorema matemático, para resolver este desafío. Intuyo que la lógica y el sentido común son las principales herramientas. El propio planteamiento ya enfoca la vía. Por otro lado si lees el comentario de la organización comprenderás que lo del astrágalo es algo intranscendente.

  5. Maito

    Es un lujo que la organización nos ojee y matice, muchas gracias.
    Quizás porque la probabilidad no es lo mío, se me ha ocurrido una idea muy tonta pero que creo funcioma. Incluso en el caso de que la taba esté tan cargada que nunca salga negro.

  6. Ave

    Qué guapo! Éste es de los que más me gustan. Acabo de verlo y no lo tengo resuelto, pero os he leído y de acuerdo con todos los comentarios me permito añadir algunos. En 1er lugar, creo que la solución será más sencilla que el enunciado; por eso me gusta, entre otras cosas. Además, no creo que requiera conocimientos avanzados de estadística como para meterse en binomiales u otras funciones de probabilidad. Como ha salido ya en algún comentario, opino que lo más importante es hacerse cargo del problema: la sucesión de bits de la taba ya es aleatoria; lo que hay que eliminar es el sesgo, y ahí está el reto. Pensado que la taba puede estar cargadísima y, por ejemplo, tener n-simos unos y apenas ceros… ¿Cómo hacer la transformación?

  7. Félix

    Me pasa lo que a Jabón; con lo que yo he jugado a la taba (por los años 50 y 60) y no tengo una a mano. Supondré que el rey sale un 10% de las veces, por lo que mi serie original no va ser aleatoria.
    A partir de ahí es fácil conseguir la serie pedida.

    • Ave

      Félix, que la probabilidad ni sea el 50% no significa que no sea aleatoria. Lo es, lo único es que la serie obtenida estará sesgada. Pero la solución debe servir para cualquier taba, tanto para una probabilidad del rey del 10% como del 90%.

  8. Josep

    Ojo, hay que eliminar el sesgo y debe ser tambien aleatoria

  9. Pedro Correa

    Pues al final mis tiros estaban errados.

    Ya que ha ido mal, os cuento la idea, que era divertida: contábamos el número de 1’s y de 0’s seguidos que aparecían en la serie de la taba y los contábamos. Si la suma era impar, en la nueva serie poníamos 1 y si era par poníamos 0… mola, pero no es insesgada.
    Por ejemplo, 110100101001100101 llevaría a 21 12 11 12 22 11 1. (2 unos, 1 cero 1 uno…).
    Ahora sumo 1s y 0s -> Eso llevaría a 3 3 2 3 4 2 -> el último lo quito por no estar completo.
    Ahora compruebo la paridad. Eso me lleva a 1 1 0 1 0 0.

    Tiene pinta de que quita bastante el sesgo, y en efecto es así (sobre todo, cuanto más descompensada esté la taba). Pero no lo quita del todo. Por ejemplo, en el caso de que p=P(1)=1/2, la probabilidad de 1 en la segunda serie sería 4/9 y la de 0 sería 5/9.

  10. Pedro Correa

    Sin embargo, al final sí que ha aparecido la musa. Con una idea más sencilla que la que tenía al principio.

    ¿A vosotros se os reduce mucho la longitud de la serie?. A mí se me reduce bastante… y si la inicial es de todo 1s o todo 0s sigo sin conseguir nada…

    • Ave

      Yo creo que lo tengo, Pedro, pero es una solución de las que me deja un punto de incerteza por si todo lo que consideras coincide o no con la intención del desafiador. Hay múltiples soluciones, que incluyen por ejemplo la posibilidad de generar una 2a serie con la misma taba pero con los bits cambiados. Pero ciñéndonos estrictamente al enunciado escrito, se trata creo de trabajar exclusivamente sobre la serie obtenida. Siendo así he encontrado una forma bien sencilla para la transformación, en el bien entendido que trabaja bien en todas las circunstancias excepto en casos de series muy cortas o de tabas cargadísimas, en las que el método podría reducirte una serie larga a nada (por ejemplo una serie con 99 unos y un 0 te la dejaría en una serie de un bit… o de ninguno). Pero la doy por buena, porque no contradice en nada al enunciado. Respondiendo a tu pregunta, sí, mi 2a serie es sensiblemente más corta que la 1a.

      • Ave

        Pero, añado, es aleatoria y con probabilidad1/2 de ceros y unos, que es la cuestión. Probablemente tu musa es la misma que la mía y que hace siglo y medio visitó al padre de la química orgánica moderna.

        • Pedro Correa

          Me gusta mucho tu pista, aunque no la pillo por ser bastante lego en esa materia. Espero que cuando acaben estos desafíos me cuentes en detalle la historia de esa musa, que seguro que es interesante.

          A mí con una serie de 99 unos y 1 cero me sale una serie de 1 bit con total seguridad.

  11. jabon

    Lo de reducir, en mi caso depende de la inicial. A mi modo lo explico, más lógica que matemática, pero es parecido en casi todos los casos. Y como te piden una serie (sin más límites), puedes reducir hasta que tu veas que no hay que ir más lejos.
    Por ejemplo, no me atrevería a reducir a cuatro dígitos, si son dos unos y dos ceros, porque a todas se les puede “interpretar” un patrón.
    Por otro lado si pensamos al revés, sí que hay un método que vale siempre a la inversa. Es decir convertir una serie no sesgada en sesgada. ¿Ocurre lo mismo aquí?…

    • Pedro Correa

      El ejemplo que he puesto antes convierte una serie insesgada en sesgada, ya que la probabilidad de 1 y de 0 en la segunda serie es distinta.

      Sin embargo, con mi método, podría darse el caso de que a partir de una serie con el mismo número de ceros y de unos (pero sesgada por proceder de una taba cargada) diera lugar a una serie con todo ceros o todo unos totalmente insesgada. Aunque la probabilidad de que ello ocurriera sería muy muy muy pequeña a partir de cierta longitud de la serie inicial. En concreto, la posibilidad de que ello ocurriera sería 1/2^(n-1)

  12. Ernesto

    Me parece que ya lo he encontrado…..

    Puesto que tenemos una serie sesgada, quiere decir que tendrá un patrón,más grande o más pequeño. Entonces, hay que dividir la serie en varias series iguales, y luego apicar algún método aleatorio o pseudoaleatorio a cada una de ellas, para conseguir una serie aleatoria. Creo que va en la idea de lo último que ha dicho Pedro Correa (a las 22:56), y tiene el mismo problerma si la serie cargada que hemos conseguido al ppo tiene todo ceros o todo unos. Pero me parece que eso va a pasar con cualquier método que pliquemos para eliminar el sesgo.
    Qué os parece? Voy bien encaminado?

    • Pedro Correa

      Creo que no han explicado bien en el desafío lo que es una serie insesgada.

      En este contexto definen una serie insesgada sería la obtenida con una moneda “sin trucar” y una serie sesgada como la obtenida con una taba “cargada”. La serie obtenida con la taba no tiene por qué tener ningún patrón. De hecho, lo más probable es que no lo tenga. Simplemente, la probabilidad de obtener 0 y la de obtener 1 es distinta (y desconocida).

      Por ello, no podemos presuponer que se pueda dividir la serie en varias iguales.

      • jabon

        Pedro, de vuelta del fin de semana veo algo que yo también había pensado. La taba no tendría que dar un patrón, tal como se define en los ejemplos, pero creo que el enunciado te obliga a que sí lo tenga; de otro modo no tiene sentido la explicación previa. Tenemos que estar en condiciones de saber con certeza, cuál será el próximo bit….
        Por otro lado sigo obstinado con mi interpretación, “obtener de” no lo entiendo sinónimo de ” transformar”.
        Con mi criterio, de una serie de 100 unos y un cero, se podría “obtener” una serie de más de un dígito y que no tuviese sesgo.

  13. jabon

    Como nadie ha comentado hasta ahora la otra duda que he tenido desde el primer momento, lo hago ahora.
    Se dice que a partir de una serie con sesgo hay que obtener otra serie de bits. Dicho así no parece haber ninguna restricción, incluso se comenta que necesariamente ha de ser más corta que la anterior. Eso quiere decir que hay que eliminar dígitos de la primera.
    Si eliminamos dígitos intercalados, parece claro que modificamos sustancialmente el supuesto, pero nada parece prohibir que la secuencia sea ininterrumpida y no necesariamente la del principio ¿?.

    • Pedro Correa

      No dice nada de eliminar dígitos. La nueva serie puede estar basada en la anterior, pero no tiene por qué obtenerse eliminando dígitos, sino que puede haber otras maneras.

  14. Pedro Correa

    Lo primero que se me ocurrió, como a Ave, fue poner la serie inicial y después la misma serie con los 1s y los 0s intercambiados. Pero enseguida me di cuenta de que el hecho de que la probabilidad de que cada elemento de la serie final sea 1/2 no quiere decir que haya en esa serie la mitad de ceros y la mitad de unos. Y que tampoco se cumple lo contrario.

  15. Rogelio

    cuanta actividad!
    creo que es sencillo si se enfoca un poco diferente, las series pueden distraer mucho, es una cuestion de probabilidad (basica pero con rigor).

  16. Félix

    Ave, cuando digo que mi serie original no sea aleatoria me refiero a que me la voy a inventar (al no tener una taba a mano). A partir de ahí consigo una serie aleatoria y sin sesgo.

  17. Prodem

    No sé si Cirs29 pasa por aquí habitualmente, pero le hice una pregunta sobre su solución en el hilo de las soluciones al D32 y no me ha dicho nada. Por si acaso repito aquí, que es el hilo vivo en este momento.

    Cirs29, si entiendo bien tu teorema, la conclusión sería que el tetraedo doble no es la forma más compacta de poner las 5 partículas, ya que en una pirámide de base cuadrada de lado 50 y altura (50·(2^0’5))/2 [o sea, las 8 aristas miden 50] se pueden colocar las 5 partículas pero la mayor distancia, la diagonal de la base, es 50·(2^0’5), que es menor que 100·(6^0’5)/3. ¿O estoy entendiendo algo mal?

    Si no, lo que queda abierto es ¿cuál es la forma más compacta? Yo pensaba que era el tetraedro, pero tu teorema demuestra que no es así.

  18. Divagante

    La solucion que he dado yo no creo que sea correcta por lo chorra que parece. Ademas termina con el mismo numero de bits que la inicial, eso si, con mas o menos la misma cantidad de unos que de ceros. No se si esto es eliminar el sesgo.
    Saludos

  19. Ave

    Amigos, no se trata de equilibrar el número de ceros y unos; como alguien ya ha apuntado,incluso una moneda perfecta te podría dar 100 “unos” seguidos, aunque con escasa probabilidad. Se trata de obtener una serie, llámese transformada de la original u obtenida de ésta, en la que de sus elementos pueda decirse que se han obtenido aleatoriamente y con idéntica probabilidad para el 1 y para el 0, partiendo de los lanzamientos de una taba en principio cargada. Si no se puede asegurar eso la solución no servirá.

    • Divagante

      Pero entonces como puedes decir que la que se ha obtenido tiene la misma probabilidad para unos y para ceros si no es por que en una tirada larga el numero de unos y ceros tiende a igualarse?

  20. jabon

    Leí la aclaración que hace la organización en el foro del país, y ya vi por donde van los tiros. Tal vez la introducción del enunciado pudiera confundir. Era obvio que en una taba nunca puedes encontrarte un patrón, pero los que no conocemos teoría llegábamos a asimilar ritmo a sesgo, en cuyo caso entrábamos en una contradicción.
    Una vez aclarado el tema, lo retomé y ya envié mi solución. Creo que hay muchas posibles soluciones. Lejos de buscar la más original, me he centrado en algo que no sea complicado, además parece que funcionaría para l mayoría de los casos. Como bien decís se reduciría más o menos la longitud, dependiendo de la carga del astrágalo.

    Estos de la organización, anda que no saben. Han conseguido que de un problema que no es excesivamente complejo, nos mareemos pensando. Es una técnica que se emplea mucho en publicidad, llamar la atención de algún modo y así conseguir que algo esté activo en la mente más tiempo. Y para colmo aprovechan la festividad de Todos Santos, para relacionarlo con los huesos.

  21. pipin

    Acabo de ver la solución oficial al desafío y y en ella se destaca la aportación de Pedro Correa, enhorabuena.

  22. Fernando2

    Quiero saber si pensais que mi solución es correcta:

    Supongamos que hay mas unos que ceros.

    Cuento el numero de unos consecutivos, por ejemplo:
    1101111010100110111

    me daria:
    241102 (despreciando los ultimos unos)

    codifico como 1 si el primer grupo de unos es mayor que el segundo, y como 0 si es menor. En caso de empate prosigo hasta desempatar, en el ejemplo:

    2 > 4 … luego el primer digito seria 0
    1 = 1 < 0 … luego el segudo digito seria 1

    Se que esta solucion es en todo caso peor que la oficial al desafio porque evidentemente desaprovecha digitos iniciales y hay mayor probabilidad de que obtengamos una cadena solución vacía. Pero, cumple las condiciones del enunciado, verdad?, es decir produce una cadena sin sesgo.

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