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Dos hermanos gusanitos de seda han discutido quién de los dos llega antes a casa desde un punto que está en la base de una colina. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros, como se muestra en este dibujo. La casa se encuentra en el punto diametralmente opuesto a aquel en el que se encuentran los gusanitos. Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono.
Sin embargo, ninguno de los dos sabe que en su casa les está esperando una golondrina muerta de hambre que se comerá al primero que llegué. En el instante que el gusanito alegre echa a andar el astuto se pone a calcular la trayectoria óptima, en lo que emplea exactamente 3 minutos. Una vez la tiene empieza su camino. Suponiendo que los dos gusanos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s, el desafío consiste en determinar quién será la víctima de la golondrina ¿el gusanito alegre o el gusanito astuto?
Para que la respuesta sea considerada correcta habrá que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que han llevado a la conclusión.
Santiprofemates 
El mas facil despues del de las alfombras?
El de las alfombras, amigo Divagante, parecía insuperable. Sinceramente no sé cuál de ellos resultará más fácil a cada cuál. En todo caso, cualquier desafío que no requiera coger lápiz y papel me merece la misma opinión.
Intuitivamente, analizar cuál es el camino más corto parece fácil. Sin embargo, no se me ocurre todavía cómo demostrar rigurosamente que no haya algún zigzagueo azaroso por las laderas que no sea más corto.
Bueno… no tan difícil (al menos conceptualmente, cálculos aparte).
El tiempo que tardará el gusano que siga la trayectoria por la base es trivial, sabiendo que es una semicircunferencia.
El tiempo que tardará el que busque el camino más corto estará basado en el perímetro de la sección cónica. Calcular el perímetro mínimo de una sección cónica que corte a la montaña por el diámetro de su base, según el ángulo de inclinación de dicha sección. Y, una vez obtenido este, ya sólo es cuestión de sumar 3 minutos al tiempo que se tardaria en recorrer ese perímetro mínimo a la velocidad indicada en el enunciado…
¿No?
El camino más corto en teoría es inviable, al menos parece así intuirse.
El que todos hemos dado como respuesta tiene varios inconvenientes, uno de ellos que se hace un esfuerzo adicional, hay que subir más de 26 centímetros de altura, si mis cálculos no me fallan (puede que sean alrdedor de 26,19 cms); y ello conlleva que pueda caerse, sea visible desde más lejos, etc..
En definitiva, que yo no sé quién es más astuto de los dos; cuestión que también debe ser objeto de reflexión.
Respondiendo a lo que me decías el otro día, aunque aún no he echado las cuentas que has echado tú, sí que creo que estoy siguiendo tu pista.
Me sale el doble de altura
Bueno, quizá se despeñe. En todo caso, el gusanito astuto llegará a pasar a algo menos del doble de esos 26, sobre el plano horizontal… La cuestión es si subiendo se cansará más de lo que descansa bajando.
Vaya discrepancias que existen entre las diversas pistas que sobrevuelan en los mensajes que están circulando por aquí, no obstante parece claro que Ave castiga al gusanillo con una cuesta de medio metro, ¿pero con que pendiente?.
Saludos
Pipin, como en cada problema en esta vida, la solución se obtiene tras un adecuado desarrollo.
En efecto, en mi caso el desarrollo creo que estaba bien. Lateral, dos menos raíz de dos, luego aplicar teorema de Tales, sabiendo que altura total es raiz de tres.
Sólo que no supe meter el paréntesis con la calculadora de la chica. Al hacerlo con la mía ya me di cuenta del error, dejémoslo en medio metro que el error no es muy apreciable..
Ave, dentro de tu característica amabilidad no esperaba una contestación tan críptica; podías habre dicho por ejemplo que la pendiente global es cero, je, je. Yo he obtenido una pendiente del 34.8%, si es esa mandaré la respuesta.
Saludos.
Un poco más me daría a mí de pendiente media, pero vamos que a la hora de subir me da igual el 34 que el 35 %. Con la bici se me resistirían esos porcentajes.
Hay dos formas de calcular la pendiente. Via tangente o via seno. Cada uno ha podido calcularla de una forma distinta
Y lo mejor de todo, amigos, es resolver el problema en el plano y olvidarse de las pendientes y de lo mucho o poco que subirá el gusanito astuto… ya fallecido, por cierto. Plano, y Pitágoras o un seno por aquí o por allá. Dejemos el Tourmalet o el Angliru para los ciclistas. A eso quise referirme con el «desarrollo», que imagino que la mayoría habréis visto venir.
No sé si he vuelto a ser críptico, pero no lo pretendo puesto que el tiempo de respuesta ya se ha excedido. Me refería al desarrollo del cono en el plano, y al hecho de que la geodésica en el plano es una recta. La verdad es que en los comentarios de esta semana me ha parecido que casi todos, excepto Divagante acaso, habéis ido por el cálculo complicado de la longitud de la elipse (ni siquiera he comprobado si es una parábola, ya que no me ha hecho falta).
Efectivamente el camino mas corto entre dos puntos es la linea recta y para ello que mejor que aplanar el cono. Noestro gusano debia ser euclidiano.
Hola,
puede que me haya equivocado de camino pero este problema
no es ni de lejos el mas facil para mi. Es mas, me ha encantado
aprender cosas que no me ensenyaron en BUP, ni COU, ni en
la universidad (aunque no se porque, la verdad). Bueno, ya esta
mandado.
Bravo a los organizadores!
En efecto, es mucho más de lo que comenté en su momento. Pobre gusano, mucho esfuerzo.
Debo ser muy torpe, porque no he necesitado calcular ningún ángulo. He obtenido la longitud de la geodésica directamente. Creo que el gusanito divertido llega 134 s más tarde.
Ave, chappeau! Si yo me olia que me habia vuelto a ir por el camino dificil.
He utilizado la aproximacion de Ramanujan para poner cotas a la longitud del arco de elipse que se forma al interseccionar el cono
con un plano de 30 grados de inclinacion (una parabola seria con 60 grados de inclinacion). Media elipse con los semiejes del arco en cuestion (1m y sqrt(3)/2m) es mas larga que el arco y como la media elipse es suficientemente corta (~2.93m) para que muera el gusano astuto pues ya esta.
Haciendolo en el plano como dices da 2.83m. Vaya pues si el gusano hubiera tardado 4 minutos (en vez de 3) hubiera muerto igual pero yo no hubiera resuelto el problema…
Pues sí… nivel de instituto, jajaja.
Reconozco que también inicié ese camino. ¿Cono?. Pues ¡¡curvas cónicas!!
La distancia más corta era la de 2 metros, aparentemente inviable porque habría que hacer un tunel, en cuyo caso hay que ir a la otra recta posible.
Recuerdo de crío haber hecho algún trabajo manual de construcción de figuras geométricas. Fue lo que me ayudó a ver de inmediato la respuesta, luego mentalmente se podía adivinar ya que era una diagonal de un cuadrado de lado dos (2 * raíz de dos).
Sin que sirva de precedente, tardé mucho menos que el gusanito.
En verdad he de decir que cuando estuve trabajando para enviar un desafío, lo hice sobre uno que en parte guarda algo de relación (no mucha pero algo); eso me induce a pensar que no lo veréis publicado.
Pues al final lo resolví como Ave y como Jabón.
Pero reconozco que el camino que emprendí al principio (pensando que el que se zampaban era el gusano listo) era dibujar una pirámide de base cuadrada dentro del cono y calcular el camino óptimo, luego octogonal, luego dieciseisagonal, etc… Esto era con tramos rectos, y mi intuición me decía que en algún momento el tiempo empleado tendría que t_astuto_piramide_2^n + t_astuto_pensando > t_alegre.
Para pensar esto, me basé en un problema de primero de carrera en el que a partir de un círculo de radio 1 y las áreas del cuadrado, octógono, dieciseiságono, inscritos, etc… era capaz de aproximarme a PI tanto como quería.
Rebuscado, ¿eh?.
Luego la construcción y deconstrucción de un cono me quitó estas ideas de la cabeza. Ha pasado como con el problema del flotador, es más fácil resolverlos construyéndolos que pensándolos.
Rogelio, tengo una duda, y creo que eres el forero idóneo (sin menospreciar a nadie)
Ambos gusanos, pueden optar por ir en sentido de las agujas del reloj o al contrario. Considerando que estamos en el hemisferio norte, tiene alguna especial incidencia ese hecho a la hora de considerar que una ruta pueda o no presentar condiciones (hablo en general) más favorables.
Gracias y disculpa.
Caramba! no creo ser el mas apropiado. En cualquier caso la fuerza de coriolis es totalmente despreciable sobre los objetos cotidianos (el mito que le atribuye la direccion de evacuacion del agua de un vide es falso).
Gracias Rogelio, era una simple curiosidad. Considéralo una de tantas chorradas que escribo.
Es que es un problema planteado como un ideal. El gusano listo tiene que saber de geometría, y además la velocidad es constante e igual en ambos casos, sin considerar que uno hace un recorrido supuestamente llano y el otro no, incluye subida y bajada.
Pues yo tambien empecé por la via complicada de las intersecciones de un plano con el cono, pero probé primero a ver si sonaba la flauta con la parábola y=x^2, para la cual, la integral para calcular la longitud de arco entre -1 y 1 es una función más sencilla que para elipses y resulta que me daba 2,96, justito para llegar antes el astuto. Luego, justo antes de publicarlo, dandole vueltas al comentario del «desarrollo» de jabon, me di cuenta de la solucion facil…..pero tambien por los pelos!!.
Me alegro por lo que comentas.
Lo que más me sorprende es que tu primera solución daba al astuto un segundo de ventaja. Parece como si el desafío estuviese diseñado para hacer ver que esa podía ser una respuesta correcta.
Vaya, hay problemas que no se solucionan de ninguna manera, este se soluciona de todas las maneras!
La primera solucuón que ví fue la sencilla del plano,pero luego intente encontrar la fórmula de la cónica y calcularla la distancia por integrales. Primero pensé en la paràbola pero como el ángulo es menor a 60 consideré la elipse y me salió una distancia superior, así que llegué a la conclusión, no sé si demasiado arriesgada de que la geodesica resultante no es plana en el cono, es decir, no se encuentra en ningún plano que lo seccione.
Pero la verdera conclusión es que si la cultura es lo que queda después de haber olvidado todo lo que se ha aprendido. Mi cultura matemática está bajo mínimos, he tenido que volver a estudiar integrales durante toda una mañana.
La curva no es una cónica porque no es plana. Viene a tener una ecuación paramétrica tal que:
x = ± (2-z^2/3)^0.5
y = z/3^0.5 – 3^0.5/z
para z ≤ -1.5^0.5
Por supuesto, que a nadie se le ocurra calcular la longitud integrando, es una locura.
(Perdón, error en la x)
La curva no es una cónica porque no es plana. Viene a tener una ecuación paramétrica tal que:
x = ± (2-3/z^2)^0.5
y = z/3^0.5 – 3^0.5/z
para z ≤ -1.5^0.5
Por supuesto, que a nadie se le ocurra calcular la longitud integrando, es una locura.
Santi, ¿cómo te puedo hacer llegar la demostración?
O veo mal o se han equivocado en la solucion del listo.
2,83m/0,001m/s = 2534,3 s
me parece que esta igualdad es incorrecta
O NO?
Vaya, pues han publicado la respuesta y parece que no les gusta lo de las conicas… pero para mi es una demostracion rigurosa. Basta con encontrar un camino suficientemente corto (en el que muera el astuto gusano), por supuesto la geodesica sera mas corta, por definicion, y morira igual de injustamente…
Estoy de acuerdo contigo. No pedían encontrar el camino más corto, sino que con encontrar uno más corto que el del gusano alegre era suficiente.
Bueno, parece un simple error de mecanografia. El resto esta bien
El resto tampoco. En el dibujo no esta como dicen pintado en rojo el camino corto.
Felicitar a los autores del desafío, es un reto que sin grandes alardes, digamos al nivel de los humildes gusanillos, da que pensar.
Respecto a la solución en sí, me ha parecido una falta de rigor importante decir que 2828 segundos son aproximadamentr 47 minutos, faltaría más, pero es que aquí se está discutiendo por itinerarios que difieren un
segundo.
Saludos.
Acabo de ver la respuesta, no hemos sido agraciados, pero al menos se han acordado de un servidor….
Enhorabuena!!! hace ilusión, ¿eh?
Gracias Pedro, claro que hace ilusión. De eso vivimos.
Felicidades, además por ser uno de los que más animas este blog.
A mi tambien me ha gustado por que es de los que se pueden solucionar o con mucha matematica o con creatividad
El ganador es de los que se pasa por aquí??