Solución D34º – La astucia a veces no basta


Acceder desde AQUÍ.

La respuesta es que, desafortunadamente para él, es el gusanito astuto quien aplaca el hambre de la golondrina. Veamos los cálculos.

Como ya hemos indicado, la base de un cono no es el camino más corto para llegar de un punto a otro diametralmente opuesto. Existe una curva, llamada geodésica, cuya longitud es la más corta para llegar de un punto al otro en una superficie dada. Las rectas en el plano son un ejemplo muy claro de geodésicas.

Nuestro desafío está planteado en tres dimensiones. Sin embargo, si en nuestro cono hacemos un corte recto desde la base hasta el vértice y lo tumbamos sobre el suelo reducimos el problema a dos dimensiones. Todas las distancias se conservan (hemos hecho una isometría), con lo que el problema planteado se resuelve con las técnicas básicas de geometría.

En el dibujo se ve claramente que el camino elegido por el gusano astuto (marcado en rojo) es el más corto posible, y en particular más corto que el de su hermano. Calculemos su valor. A partir del dibujo se ve que el ángulo de apertura del cono es de 180 grados, y que tenemos por tanto un semicírculo.

Se puede comprobar analíticamente que el ángulo es 180º. Llamando r al radio de la base, que vale 1 para nuestra colina, y g a la longitud de la pendiente (en matemáticas se suele llamar generatriz del cono), que en este caso es 2, tenemos

ángulo = 360º x r/g = 360º x 1/2 = 180º

También podemos comprobarlo, como han hecho muchos lectores, observando que se trata de un arco de circunferencia de radio 2 y longitud la longitud de la base del cono. Esta longitud es 2 x pi x r=2 x pi x 1=2 x pi, y como la longitud de una circunferencia de radio 2 sería 2 x pi x 2=4 x pi y tenemos la mitad de esta cantidad se trata de un semicírculo.

Sea x el camino corto elegido por el gusano astuto. Aplicando el teorema de Pitágoras:

x = raíz cuadrada de (2^2+2^2) = raíz cuadrada de 8, aproximadamente 2,83 metros

Hallemos ahora la distancia que recorre el gusanito alegre. Llamémosla y. Como camina a lo largo de la base del cono, dividiendo entre 2 la longitud de la circunferencia que forma la base obtenemos el resultado:

y = (2 x pi x r)/2 = pi, luego será aproximadamente 3,14 metros

Recordando que la velocidad de ambos es 1mm/s el tiempo empleado es:

t(astuto) = 2,83m/0,001m/s = 2534,3 s, aproximadamente 47 minutos

t(alegre)= 3,14m/0,001m/s = 3141,6s, aproximadamente 52 minutos

Como vemos el gusanito astuto llega unos 5 minutos antes que se hermano, y, por desgracia, a pesar de que salió 3 minutos más tarde la golondrina se lo come.

Solución de José Luis Miota: 34 Dos gusanitos y una golondrina voraz. Maito

 

 

3 comentarios

Archivado bajo OTROS

3 Respuestas a “Solución D34º – La astucia a veces no basta

  1. SOLUCIÓN DE PEDRO CORREA:
    El gusano que llega primero, y que por tanto es comido por la golondrina es el astuto.

    En primer lugar calculamos cuánto tarda el gusano alegre. Su trayectoria es una semicircunferencia de radio 1, y por tanto, tiene longitud PI=3,142. A 1mm/sg, tardará 3,142/0,001 = 3142 segundos.

    Para obtener la trayectoria óptima que calcula el gusano astuto tendremos en cuenta lo siguiente: el cono es una superficie de revolución generada por una línea “generatriz” que tiene longitud 2. Si cortamos el cono por la recta que une el punto origen con el vértice del cono y por la recta que une el punto destino con el vértice del cono, se obtienen dos superficies planas e iguales. Cada una de ellas es medio cono desplegado sobre el plano.

    Cada uno de los dos semiconos desplegados es un sector circular. La longitud del lado curvo del sector será la mitad de la longitud de la circunferencia base del cono (de hecho es exactamente la mitad de esa circunferencia) y por tanto, mide PI. Por otra parte, el radio del sector circular es 2, pues coincide con la longitud del segmento generatriz, por lo que la circunferencia completa mediría 4PI. Por una regla de 3, la longitud del segmento curvo es a la longitud de la circunferencia completa como el ángulo comprendido es a 360º => angulo = 360·PI/(4PI) = 90.

    Para calcular la distancia más corta entre el punto origen y el de destino, bastará con trazar una línea recta en cualquiera de los dos semiconos desplegados y medirla. Ese será el camino óptimo, aunque en la realidad los semiconos formen parte de un cono y estén sin desplegar. Como el ángulo es de 90º, y el radio del sector circular es 2, por pitágoras es fácil calcular d, la longitud del camino óptimo. Así d=raiz(2^2+2^2)=2·raiz(2)=2·1,4142 = 2,828 m, y tardará en recorrer esa distancia 2,828/0,001 = 2828.

    Como el gusano astuto ha estado “calculando” 3 minutos, que son 180 segundos, el tiempo total empleado es de 2828+180 = 3008 segundos, que es menos que los 3142 del gusano alegre, y por tanto el astuto llega antes y se lo come la golondrina.

  2. Jesús

    La ecuación del camino óptimo (que es la recta en el desarrollo plano) me sale así:
    0 =< t =< pi

    x(t) = sen(t) / (sen(t/2)+cos(t/2)) ,

    y(t) = – cos(t) / (sen(t/2)+cos(t/2)) ,

    z(t) = sqr3 – sqr3/(sen(t/2)+cos(t/2))

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%28sen%28t%29+%2F+%28sen%28t%2F2%29%2Bcos%28t%2F2%29%29%2C-+cos%28t%29+%2F+%28sen%28t%2F2%29%2Bcos%28t%2F2%29%29%2Csqr3+-+sqr3%2F%28sen%28t%2F2%29%2Bcos%28t%2F2%29%29%29+t+from+0+to+pi

    Me puedo haber equivocado en cálculo, pero tiene buena pinta.

  3. Maito

    Sólo matizar que esta es la primera solución que envié en primer lugar y que corregí por considerar que la trayectoria era parabólica, lo cual no es correcto porque la trayectoria que sigue el gusano sobre el cono no es plana, es decir no se inscribe en ningún plano que corte al cono, y además de serlo se trataría de una elipse. Le envíe a Santi el archivo corregido, pero ha colgado el anterior.
    Bueno parece que poco a poco se van nombrando a los santiblogueros, sólo falta que caiga el gordo.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s