Archivo mensual: noviembre 2011

D35º: Un rectángulo de cuadrados


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Tenemos un rectángulo R que está subdividido en cuadrados como muestra la figura. Diréis que en la figura no todo son cuadrados, y es cierto. Lo que ha pasado es que la figura se ha deformado y los cuadrados se ven como rectángulos, pero sabemos que las alineaciones de los cuadrados que forman originalmente R son las mismas que las de los rectángulos de la figura. Sabemos también que el cuadrado rojo mide 3 cm de lado.

El desafío consiste en averiguar los lados de cada uno de los cuadrados y las medidas del rectángulo R. La solución debe incluir una lista de 12 números que sea los lados de los 12 cuadrados cuyos lados no sabemos y, además, las medidas del rectángulo.

Nos gustaría saber cómo habéis llegado al resultado, pero se considerarán válidas y entrarán en el sorteo todas las respuestas que den los números correctos.

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Solución gráfica al D34º – Miquel Garriga


Miquel Garriga me ha enviado su solución gráfica al D34º. Como veréis ha sido mencionado por ello en la solución de El País con todo merecimiento. Un saludo y gracias Miquel.

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Solución D34º – La astucia a veces no basta


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La respuesta es que, desafortunadamente para él, es el gusanito astuto quien aplaca el hambre de la golondrina. Veamos los cálculos.

Como ya hemos indicado, la base de un cono no es el camino más corto para llegar de un punto a otro diametralmente opuesto. Existe una curva, llamada geodésica, cuya longitud es la más corta para llegar de un punto al otro en una superficie dada. Las rectas en el plano son un ejemplo muy claro de geodésicas.

Nuestro desafío está planteado en tres dimensiones. Sin embargo, si en nuestro cono hacemos un corte recto desde la base hasta el vértice y lo tumbamos sobre el suelo reducimos el problema a dos dimensiones. Todas las distancias se conservan (hemos hecho una isometría), con lo que el problema planteado se resuelve con las técnicas básicas de geometría.

En el dibujo se ve claramente que el camino elegido por el gusano astuto (marcado en rojo) es el más corto posible, y en particular más corto que el de su hermano. Calculemos su valor. A partir del dibujo se ve que el ángulo de apertura del cono es de 180 grados, y que tenemos por tanto un semicírculo.

Se puede comprobar analíticamente que el ángulo es 180º. Llamando r al radio de la base, que vale 1 para nuestra colina, y g a la longitud de la pendiente (en matemáticas se suele llamar generatriz del cono), que en este caso es 2, tenemos

ángulo = 360º x r/g = 360º x 1/2 = 180º

También podemos comprobarlo, como han hecho muchos lectores, observando que se trata de un arco de circunferencia de radio 2 y longitud la longitud de la base del cono. Esta longitud es 2 x pi x r=2 x pi x 1=2 x pi, y como la longitud de una circunferencia de radio 2 sería 2 x pi x 2=4 x pi y tenemos la mitad de esta cantidad se trata de un semicírculo.

Sea x el camino corto elegido por el gusano astuto. Aplicando el teorema de Pitágoras:

x = raíz cuadrada de (2^2+2^2) = raíz cuadrada de 8, aproximadamente 2,83 metros

Hallemos ahora la distancia que recorre el gusanito alegre. Llamémosla y. Como camina a lo largo de la base del cono, dividiendo entre 2 la longitud de la circunferencia que forma la base obtenemos el resultado:

y = (2 x pi x r)/2 = pi, luego será aproximadamente 3,14 metros

Recordando que la velocidad de ambos es 1mm/s el tiempo empleado es:

t(astuto) = 2,83m/0,001m/s = 2534,3 s, aproximadamente 47 minutos

t(alegre)= 3,14m/0,001m/s = 3141,6s, aproximadamente 52 minutos

Como vemos el gusanito astuto llega unos 5 minutos antes que se hermano, y, por desgracia, a pesar de que salió 3 minutos más tarde la golondrina se lo come.

Solución de José Luis Miota: 34 Dos gusanitos y una golondrina voraz. Maito

 

 

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2º BACH: Problemas Selectividad: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


Esta colección  incluye problemas de la PAU  sobre D. Binomial y D. Normal. Id haciéndolos, en unos días los pondré resueltos.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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D34 – Dos gusanitos y una golondrina voraz


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Dos hermanos gusanitos de seda han discutido quién de los dos llega antes a casa desde un punto que está en la base de una colina. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros, como se muestra en este dibujo. La casa se encuentra en el punto diametralmente opuesto a aquel en el que se encuentran los gusanitos. Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono.

Sin embargo, ninguno de los dos sabe que en su casa les está esperando una golondrina muerta de hambre que se comerá al primero que llegué. En el instante que el gusanito alegre echa a andar el astuto se pone a calcular la trayectoria óptima, en lo que emplea exactamente 3 minutos. Una vez la tiene empieza su camino. Suponiendo que los dos gusanos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s, el desafío consiste en determinar quién será la víctima de la golondrina ¿el gusanito alegre o el gusanito astuto?

Para que la respuesta sea considerada correcta habrá que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que han llevado a la conclusión.

 

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ALUMNOS 2º BACH: PROBLEMAS RESUELTOS PAU PROBABILIDAD


Aquí va la primera remesa de problemas resueltos de probabilidad de la PAU. Como veréis casi siempre siguen el mismo esquema:

– Diagrama en árbol.
– Teorema de Probabilidad Total.
– Teorema de Bayes.

PROBLEMAS PAU CYL-BLOQUE I

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Solución D33 – Cómo eliminar el sesgo de una tabla


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Llamamos serie resultado a la serie de bits que se pide construir en el desafío. Una solución sencilla es la siguiente:

1) Tomamos la primera pareja de la serie de bits generada con la taba.

1.a – Si la pareja es repetitiva (es decir o bien 00 o bien 11) la desechamos.

1.b – En otro caso (es decir o bien 01 o bien 10) nos quedamos con el primer bit de la pareja, que será el primer bit de la serie resultado.

2) Repetimos el primer paso con la siguiente pareja de la serie de bits de la taba. Si no es repetitiva, el bit que extraemos de esta pareja se añade al final de lo que llevamos de la serie resultado. Y así sucesivamente hasta agotar la serie de bits de la taba.

Para demostrar la validez de esta solución vamos a usar la letra p refiriéndonos a la probabilidad de que, tras lanzar la taba, queden hacia arriba las partes hundidas del hueso, lo que corresponde a un 1. En consecuencia la probabilidad del 0 es 1-p. Calculamos la probabilidad de que, en la serie de la taba, salga una pareja no repetitiva. Como cada lanzamiento es independiente del anterior multiplicamos las probabilidades individuales:

Probabilidad del suceso 01 = (1-p) × p

Probabilidad del suceso 10 = p × (1-p)

Sabemos que el orden los factores no altera el producto y entonces notamos que ambos sucesos 01 y 10 tienen la misma probabilidad de ocurrir dentro de la serie de la taba. Por este motivo la serie obtenida siguiendo este método no tiene sesgo. Además conserva la propiedad de ser aleatoria que le viene de que también es aleatoria la serie original de la taba. No sabemos cuál es el valor concreto de p, sin embargo ¡no hace falta saberlo! Si usamos una taba distinta tendrá posiblemente otra carga y en consecuencia otro valor para p, sin embargo esto no impide que la solución siga funcionando.

Solución de José Luis Miota: 33 Azarosa taba.Maito

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