Solución Desafío 38º: Una sola medición


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La solución es que basta con una única medición, que se correspondería con una cuerda de la circunferencia exterior (el perímetro de la plaza), que a su vez fuese tangente en un punto a la circunferencia interior (la fuente). Mediríamos la distancia entre los dos puntos en que dicha cuerda corta a la circunferencia exterior; con esa medida, que llamaremos A, es suficiente para calcular la superficie del anillo circular.

Ya en el plano, dibujaremos, como se muestra en la figura de la izquierda (ver ampliación aquí), la cuerda obtenida (A) y otra paralela a la anterior y tangente en el otro punto de la fuente diametralmente opuesto al precedente. Con esas dos líneas y las perpendiculares en el punto de corte del círculo externo compondremos un rectángulo. A continuación trazamos la diagonal de ese rectángulo y se nos delimitan dos triángulos rectángulos en los que un cateto es la cuerda (A), la hipotenusa se corresponde con el diámetro de la circunferencia mayor (2R) y el otro cateto se va a corresponder con el diámetro del círculo menor (2r)

Conociendo el cateto A y utilizando el Teorema de Pitágoras tendremos A^2=4R^2 – 4r^2= 4 (R^2 – r^2); de donde (R^2 – r^2) = A^2 /4.

Considerando que el área del anillo sería igual a Pi x (R^2 – r^2) y sustituyendo aquel valor en esta fórmula se obtiene que la superficie del anillo es igual a Pi x A^2 /4.

La gran mayoría de las respuestas correctas han reducido esta solución al triángulo que formarían los radios de ambas circunferencias y la mitad de la cuerda que hemos considerado. Ambas formas de resolver el desafío son equivalentes desde un punto de vista matemático, ya que se apoyan en triángulos semejantes, y por tanto son igualmente válidas. Ahora bien, a la hora de llevarlo a la práctica, tal como nos confirma en su respuesta desde México el ingeniero de caminos cántabro Francisco Pi Rodríguez, la medición íntegra de la cuerda ofrecería más garantías que la de la simple tangente, que requiere conocer el centro de ambos círculos y verificar que se ha trazado correctamente el ángulo comprendido entre el radio y la tangente.

La solución que se presenta en el vídeo, incorporando un eje que uniese los dos centros y utilizando la cuerda paralela a ese eje y tangente al círculo menor, nos abre el camino para poder calcular la superficie, siempre con una sola medición, incluso si los círculos no fuesen concéntricos, como nos comenta también Luis Alberto Gómez Concepción desde Venezuela.

Una solución diferente es la que plantean, de forma muy parecida, Lola M., Ángel Alonso y Miguel Ángel Abós Sanz, utilizando para ello las relaciones trigonométricas del ángulo que formarían la cuerda tangente y el radio de la circunferencia mayor que parte desde el punto común con esa cuerda.

Sergio López Goikolea desarrolla un modelo basado en el teorema de la altura, trazando en el plano un diámetro perpendicular a la medición que se realiza en la plaza, de manera que aquel quedaría dividido en dos segmentos de longitudes (R + r) y (R – r), cuyo producto se igualaría al cuadrado de la altura del triángulo que se forma entre ese diámetro y uno de los puntos en los que la cuerda toca a la circunferencia exterior.

Otro tipo de propuestas las plantean Miguel Feror y Jesús Carretero, con matices diferentes, pero ambas basadas en las ecuaciones del círculo mayor y la recta tangente; hallando las soluciones o puntos de corte y calculando las distancias entre las mismas.

Son muchas más las respuestas que podríamos destacar por diferentes motivos, entre ellas citaremos las de Enrique Farré Rey, quien menciona el Teorema de Holditch y su relación con este desafío, José Manuel Otón, por sus comentarios acerca del problema planteado en la esfera, Ángel Herrero, por su respuesta narrada en forma de cuento y Violeta Martínez Pinilla, de 14 años, al parecer la concursante más joven entre las respuestas correctas recibidas.

Para finalizar, queremos destacar la respuesta de Iago Vaamonde Paniagua,la más original, ingeniosa y bella a todas luces, plasmada en un soneto:

Tengo, Jabón, la cinta en este extremo
tocando la exterior circunferencia.
Avanza tú siguiendo con paciencia
el borde mismo con el hilo tenso.
Llegarás a saber, si es como pienso
como por arte y obra de la ciencia
hilo y fuente hacen una su presencia
con un beso gentil: es el momento.
Dime ya la mitad de la medida,
elévala al cuadrado en un intento,
multiplica por pi; está conseguida.
Calculamos el área del cemento
con un solo medir, austera vida,
no gastaremos más, y fin del cuento.

Solución de José Luis Miota: (pulsar para agrandar)

8 comentarios

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8 Respuestas a “Solución Desafío 38º: Una sola medición

  1. Un éxito de nuestro amigo; por cierto, el rapsoda usa el pseudónimo de jabón, así que no debe andar muy lejos…

  2. jabon

    Gracias Santi, en efecto hay muchos lectores del blog,
    Bueno, ahí está mi propuesta para que se opine, critique, etc.
    Quiero aprovechar este blog, por si hubiese que aclarar algo sobre el origen del supuesto, que creo intranscendente para la mayoría.
    En su momento ya indiqué que escuchando la canción de Tequila (Rock…) me vino la inspiración. Siendo alumno del BUP (entre el 77 y 80, coincido con Hipatia, las canas, y la canción), el profesor explicaba la relación de un rectángulo inscrito y circunscrito en el anillo. El área de ese polígono puede obtenerse de los radios. Como alumno aventajado, de aquel entonces, se me encendió la bombilla e hice ver el caso inverso, creo que lo le gustó mucho el ímpetu de aquel adolescente. Recordé el caso y lo compuse para este serie, pero huyendo del plano inicial, quería un caso real o pseudoreal ante todo.
    Ya me imaginaba que en su día no había hecho ningún descubrimiento especial, y que c ualquiera lo podría
    ver o saber. Trabajé otra variante, quitar la concentricidad, pero el supuesto lo tenía que llevar al plano. Un
    enunciado real y claro era muy complicado. Me dije ¿quién publica esto ? El País. ¿Qué le interesa al País? audiencia y participación.
    Me centré exclusivamente en este caso y lo adorné como mejor supe.
    Fiel a aquel dibujo de la pizarra de los años 70, y con las variantes que analicé, entenderéis que mi respuesta pueda parecer barroca. ¿Para qué tanto entramado?. Un eje, cuerdas paralelas… (sólo ha habido una respuesta sí para mi desesperación y por una razón muy curiosa que os comentaré en otro momento, y además entró cinco minutos antes del cierre). La composición pretende mantener el aspecto didáctico que yo le vi en su día, pero va más lejos, permite comprender visualmente que cualquier circulito que se desplace en el rectángulo tendría la misma respuesta, y si luego giramos la ruleta ya tenemos todos los casos, es una visión general; sólo habría que tener en cuenta un eje que uniese los centros y medir la cuerda paralela. Como veis no fui amigo de complicar el tema.
    La grabación se hace antes de ver comentarios y respuestas, posiblemente alguien se hubiese sorprendido de ver que el dibujo entrañaba más información de lo que parece; pero ya es difícil mantener el tipo delante de una cámara, con una toma ininterrumpida, sin planos.., como para entrar en detalles que te pueden
    perder.
    Plantear el desafío y hacer esos análisis, me costó un domingo entero. Lo envié por participar, lo de salir elegido era secundario.

    Por supuesto estoy muy agradecido a todos los compañeros, sin excepción, de este blog; de los que comentáis y de los quel nos leen. A las pruebas me remito.

    Por cierto, si os interesa, os puedo comentar alguna anécdota, porque os habréis imaginado que he colaborado en la corrección.

    Muchas gracias a todos/as

  3. JC

    Pues no se me había ocurrido lo de que no sean concéntricas. Se lo voy a contar a los gaussianos.

  4. Hipatia

    Plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas… plas…

    (Aplausos)

  5. La solución de Maito (perdón, esta semana se me olvidó…)
    Hola,

    La solución es que basta con hacer una medición, la de la cuerda de la plaza que es tangente a la fuente, si esta medida es x, el área del anillo que se debe asfaltar es ¼ πx2.

    Si consideramos que la plaza tiene radio R y la fuente radio r, según el teorema de Pitágoras R2 = (x/2)2 + r2

    Luego el área del anillo es A = π (R2 – r2) = π (x/2)2= ¼ πx2

    Enhorabuena a todos los lectores que han presentado sus desafíos y por supuesto a la organización.

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