Desafío 39º: Dos segmentos iguales y en ángulo recto


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Partiendo de un triángulo cualquiera de vértices ABC, tomamos dos de sus lados, AB y AC por ejemplo, y dibujamos cuadrados apoyados en ellos. Llamamos I y J a los centros de los dos cuadrados y H al punto medio del lado del triángulo donde no hemos apoyado ningún cuadrado (el BC en este caso).
Figura del 39º desafío matemático

El desafío de esta semana consiste en demostrar que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud y que además forman un ángulo de 90º. La situación inicial puede verse en la figura.

38 comentarios

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38 Respuestas a “Desafío 39º: Dos segmentos iguales y en ángulo recto

  1. jabon

    Me ha recordado mucho a uno que me llevó un poco de cabeza. En el momento que he hecho el dibujito, ya se ve claro.

  2. jabon

    Por cierto, el autor es el responsable del otro blog “gaussianos”; coincidí con él en la grabación (pero me salí fuera, no penséis mal, que ni conocía el desafío). Muy buen chaval.
    Reconozco que he empleado la fuerza bruta, no voy a aprender nunca.

  3. Asequible también, estoy pensando en algún método un poco más original, porque debe haber varias formas de demostrarlo.

  4. jabon

    La mía creo que la firmaría el mismísimo Rogelio, espero que no me deje en mal lugar.

  5. Lo he sacado por el método obvio que, supongo, nos viene de primeras a todos (la resolución es un poco fea, no aplica nada especialmente interesante).¿Alguien lo ha conseguido por algún método más elegante?

  6. Divagante

    Por una vez y siin que sirva de precedente lo he buscado en internete (no se me ocurre como darle solucion). Lo he encontrado con una demostración tan compleja que imagino tiene que haber una mas facil. Me debe de pasar como el del aparejador, que me costo verlo y cuando se hizo la luz era evidente.

  7. jabon

    Divagante, en este desafío basta emplear la vista. Para ello conviene antes hacer una pequeña preparación. El propio enunciado invita a ello.
    Consejo, no te líes.

  8. Krs

    Estoy torpe. Fácil por la vía analítica, pero no consigo hacerlo de forma directa o gráfica. Seguiré pensando…..

  9. Maito

    Además de la fuerza bruta, he encontrado otra de regla y compás, aplicando alguas propiedades

  10. Ave

    Bueno; si éste es el Sr. de Gaussianos, muy probablemente el último desafío lo habrá grabado ya cierto profesor de matemáticas leonés. Digo yo.

  11. Divagante

    Bueno, enviado. A veces me ofusco y me cuesta encontrar el camino sencillo.
    Saludos y enhorabuena tambien al profesor leones.

  12. Hipatia

    Llevo toda la tarde y no lo veo… Hice varios dibujos y en todos ellos se cumple, pero no encuentro la demostración…

  13. Bueno, acabo de sacar un rato y mi primera intuición era cierta; he quedado satisfecho con mi demostración, aunque puede que alguno la encuentre demasiado compleja.

    • Jo***… esta semana me han enviado sus soluciones dos personas; Maito, como de costumbre, y Bruno Salgueiro. Ahora que he dado con mi propia solución me he puesto a ver las suyas y he comprobado que mi “originalísima” respuesta coincide básicamente con la de Bruno. (merde!)

  14. Divagante

    A mi de los retos de los lectores me hubiera gustado que hubiera alguno (que seguro que alguno se ha presentado) de un am@ de casa, de un fontanero, de un ….., vamos, de un bachiller nocturno y me estoy encontrando mucho nivel educativo en los seleccionados. (y que conste que no me quejo de que no hayan seleccionado el mio que, siendo estricto, no tenia el nivel)

    • Uno de los organizadores....

      Divagante, si recuerdas las condiciones, NO preguntábamos a qué se dedicaba cada uno. Y de hecho casi nadie nos lo dijo (hubo muy pocas excepciones). Así que la selección se hizo sin tener en cuenta esa variable. En algún momento pensamos si preguntarlo, pero nos temíamos que nos condicionase demasiado a la hora de elegir.

      De algún modo nos damos por “satisfechos” con que sólo uno de los 3 haya sido matemático, porque corríamos el riesgo de que todos hubiesen resultado ser “profesionales del ramo”.

      • Divagante

        Que conste que no es una crítica contra la organización, al contrario, me parece que habéis hecho un gran trabajo (y si la hora a la que dice la maquina que escribes es correcta mas merito aún) y la pena es que llegue a su fin. Era un pensamiento en voz alta. Si que me llamó la atención que participe Miguel Angel siendo redactor del boletín de la RSME siendo que el concurso lo realiza el país en colaboración con la RSME. Pero lo dicho, el trabajo que habéis hecho me parece genial.

        • Uno de los organizadores....

          Gracias por las alabanzas (la maquina creo que añade una hora, si no recuerdo mal ayer escribí a las 00:24). No me lo había tomado como crítica, sino como comentario, y así intenté contestar.

          Miguel Ángel no ha sido elegido ni “como lector” ni como bloguero (observad que no se menciona a gaussianos) sino, precisamente, por su vinculación con una actividad de difusión de la RSME. Igual no hemos acertado pero, dado el esfuerzo de la sociedad con este asunto, nos parecía razonable, como hicimos también con Divulgamat, difundir un poco las actividades RSME (PUBLICIDAD: ¡animaros a haceros socios!)

          [Divagante, quede claro que no he sentido que se cuestionasen nuestras decisiones, ni que hubiese críticas: sólo curiosidad. Por eso lo explico por si os interesa, aprovechando que en el blog hay buen rollo.]

  15. Buenas noches Santi y visitantes y comentaristas de este blog, Soy Miguel Ángel, autor de Gaussianos.

    Espero que os haya parecido interesante el desafío, y que muchos de vosotros lo hayáis resuelto y enviéis la solución. Mucha suerte a todos.

    Por otra parte, quería agradeceros a todos el interés con el que habéis acogido la iniciativa. Debo reconocer que tardé en saber que en este blog se seguían los desafíos como en el mío, pero desde el momento en el que me enteré me pareció excelente que yo no fuera el único que ha seguido comentando los problemas desde el comienzo. Enhorabuena a todos.

    Y para finalizar, quería agradecer a Jabón sus comentarios sobre mí. Me pareció muy agradable la charla que tuvimos después de la grabación.

    Un abrazo a todos. Y espero que os guste la solución que planteé para mi desafío :).

  16. Rogelio

    Hola,
    despues de un descanso vuelvo a esto y solo se me ocurre la solucion bruta y aburrida… es que no tengo tiempo para mas, que tengo que dormir, asi que, Jabon, seguro que tu solucion es mas digna!
    Recapitulando, creo que demasiadas veces me fui por el camino mas bruto, no se, tendre que seguir practicando a ver si aprendo.

    • jabon

      Rogelio, te cité porque cuando lo resolví me serví más de la física que de las matemáticas, por eso me acordé de tí. En ese caso la fuerza bruta puede tener un doble sentido.
      Tengo tres formas distintas de demostración, dos son más bien parecidas.
      Por lo que he leído, hay alguna más, pero esa ya se me escapa, tendría que repasar, y no tengo muchas ganas.

    • Anónimo

      Los puntos medios de los lados del triángulo y los puntos I, J pueden dar una pista de la resolución mediante geometría sin coordenadas.

  17. Ana

    Salut à tous!
    mi solución es gráfica, ni muy bonita ni muy fea, jeje.
    A ver si hay suerte…

  18. Rubén

    Lo he resuelto usando… coordenadas cartesianas, senos y cosenos.. NOOOO!!, QUÉ HORROR!! Me cansé de buscar la solución bonita.
    En estos problemas sigo casi siempre el mismo camino, primero búsqueda ilusionada de la belleza, segundo, cansancio y abandono, tercero, resignación y envío de la respuesta fea y cuarto, sorpresa ante la sencillez de la solución.

  19. Josep

    A mí, me sale un solución gráfica muy sencilla. Casi diría que es de los desafíos en los que he empledo menos tiempo. Suerte, y a ver si finalmente nos toca a alguno del blog.

  20. Pedro Correa

    Si en el desafío de Jabon nos acordamos de Pitágoras, en este me he acordado mucho de Tales.

  21. Parece que este problema da lugar a una gran variedad de soluciones; buena cosa.

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