Desafío 40+1: Segmentos en red que son múltiplos de 8


Rogelio Tomás nos presenta su desafío matemático, SEGMENTOS EN RED QUE SON MÚLTIPLOS DE OCHO:
Tenemos una red de puntos distribuidos en los
vertices de una cuadricula en un plano. Estos
forman un cuadrado con N puntos en cada lado (ver figura para N=6).
Para N=3 vemos que existen 8 segmentos de linea
recta que contienen y quedan delimitados por 3 puntos de la red (los
segmentos corresponden a los 4 lados, las 2 diagonales y
las 2 que dividen al cuadrado en 2 rectangulos iguales).
El problema consiste en demostrar que para cualquier
N>2, con N par, el numero de diferentes segmentos de linea recta que
contienen y quedan delimitados por 3 puntos de la red es multiplo de 8.
El lunes por la noche, la solución.
Aviso: el próximo desafío, por orden de llegada, será el de Pardillano.

69 comentarios

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69 Respuestas a “Desafío 40+1: Segmentos en red que son múltiplos de 8

  1. Nos queda por ultimar algunos detalles sobre las normas de corrección o presentación de las soluciones. Mientras tanto esto se pone en marcha, así que a darle a las neuronas.

  2. Rogelio

    Hola Santi,
    muchas gracias por seguir con esto!
    Es un honor que el primero sea el mio,
    espero que el desafio este a la altura
    (creo que no es ni muy facil ni muy dificil pero
    ya me direis).
    Como propusieron Jabon y Divagante he creado
    una cuenta de correo para el que quiera mandar
    su solucion:

    desafiossanti@gmail.com

    Hare un resumen de lo que reciba el martes, al estilo
    de El Pais. Luego pasare la contrasenya al siguiente
    via Santi. Si alguien tiene otras propuestas adelante.
    Suerte!

  3. PACO GALLEGO

    MAGNIFICO ESTO SIGUE !!!
    GRACIAS SANTI

  4. jabon

    Muy buena la idea.
    Interpreto que al igual que dos segmentos pueden compartir un punto, también puede haber dos segmentos que compartan dos puntos (si no estoy en lo cierto me lo decís), y que ya NO valdría que dos segmentos compartiesen tres puntos ¿no?.
    Lo leí anoche y creí que la demostración era evidente, tanto que hoy al ver de nuevo el desafío y pinchar el dibujito para n=6 (no lo vi ayer), ahí sí que ya me he descolocado con las diagonales largas.
    Pensaremos algo el fin de semana.
    P.D. Aunque no haya premio, vamos a animar a “participar”

    • Prodem

      Jabon, si dos segmentos comparten dos puntos, ¿no serían el mismo segmento? Lo digo por aquello de que por dos puntos pasa una sola recta.

      • Maito

        Entiendo que cuatro puntos de la misma recta, generan 3 segmentos de tres puntos consecutivos. Desde luego el problema no me parece evidente, de momento para n=5 ya se complica, así que ya veremos que pasa con cualquier n..

        • jabon

          Prodem, yo me inclino a pensar que un segmento que una los puntos (0,0) (0,1) (0,2) es un segmento
          diferente a otro que una (0,1) (0,2) (0,3). Es cierto que están en la misma recta, pero para mí son diferentes Como tantas veces he dicho, no soy matemático, y vivo de rentas en esta materia.
          En efecto Maito, a partir de N=5 es cuando me pierdo, esas diagonales largas no las termino de ver del todo

    • Rogelio

      Aclaro, deberia haber puesto mas figuras.
      Dos segmentos pueden compartir 2 puntos y ser diferentes,
      pues se diferencian en uno. Por supuesto estarian sobre la
      misma recta pero son distintas partes de ella.
      Asi, por ejemplo, en cuatro puntos horizontales (1,2,3,4) contiguos caben 2 segmentos que comprenden 3 puntos.(1-2-3 y 2-3-4).
      Espero que esto aclare las dudas.

    • ¿cómo que no hay premio? cada semana sorteamos 1.000.000 de euros ;-).

  5. Me he podido equivocar, pero para N=5 me salen 60 segmentos que no es múltiplo de 8. De este recuento, me salen 12 en diagonales diferentes de 45 grados (las que tienen sus vértices contiguos a un salto de caballo de ajedrez). ¿Alguien obtiene lo mismo?

  6. Pardillano

    Me he podido equivocar, pero para N=5 me salen 60 segmentos que no es múltiplo de 5. De estos, 12 corresponden a diagonales “largas” (las que tienen vértices contiguos a un salto de caballo de ajedrez). ¿Alguien más con el mismo resultado?

  7. Rogelio

    Me alegro que siga habiendo interes aun sin el incentivo de la biblioteca!

    !!! De hecho ya me han sacado un error al problema !!!!

    Pardillano (por publicar) me ha demostrado que para N impar no es necesariamente multiplo de 8. Para que podais seguir con el reto hay que asumir que N es PAR !!!!!

    A ver si Santi lo puede arreglar en la entrada
    lo siento!

  8. jabon

    Estaba atrancado con el 5, y no me cuadraba y mira que lo había repasado, me salían 60 segmentos, y repasaba y lo mismo.
    Pensé que o era imposible o no lo había entendido.
    No pasa nada, el caso es diversión.
    Lo retomaré en otro momento.

    • Rogelio

      Exacto, Jabon, y gracias por el apoyo.
      Siento mucho el error, Santi me dara un tiron de orejas,
      pero tambien encuentro estupendo que unas horas
      ya hubieran “mejorado” el desafio.
      Ahora se ve aun mas el merito que tiene proponer un buen desafio
      que ademas sea correcto!!!

  9. Divagante

    Para N=5 cada vez que los intentaba contar me daba una cifra distinta. Una de las veces me dio 64 y dije, esta es la buena.

  10. Rogelio

    Gracias a Pardillano y a Jesus por sus emails.

  11. jabon

    Que lo lanzo ….

    ¿Alguien obtiene 115.392 segmentos para cuadrícula de 50?

    Ya me diréis, que si no lo repaso.

  12. Mañana (antes de cenar…) me pondré con ello intensamente, de momento me había quedado con lo del 5.

  13. He recibido este mail, dejo a criterio de quien me lo envió el desvelar su identidad. Creo que algunas de las dudas, o todas, ya se las ha resuelto, no obstante lo pongo aquí porque a lo mejor a alguien le sirven:

    Tengo dudas con respecto a la interpretación del enunciado del desafío
    40+1. (Adjunto una figura para explicarlas)

    ¿Pueden contabilizarse como segmentos diferentes dos segmentos que se
    solapen parcialmente?

    ¿Son válidos los segmentos que pasen por cuatro puntos?. Si el enunciado preguntara el número de segmentos que
    contienen 3 y solo 3 puntos estaría claro que no, pero como no dice
    “solo”, creo que la duda tiene sentido.

    Si las respuestas a las dos dudas anteriores fueran afirmativas, ahí
    va la tercera. En caso de poder contabilizarse segmentos que pasen por
    más de tres puntos y los que se solapen parcialmente, ¿pueden
    considerarse también segmentos diferentes los que están incluidos en
    otro?.

    Creo que sería bueno resolver estas dudas en un comentario del post.

    En cualquier caso, un desafío interesante. Enhorabuena Rogelio por el
    planteamiento.

    Y enhorabuena Santi por tu intervención para comentar la Lotería en El
    País. La observación de las terminaciones en 8 y el cálculo de su
    probabilidad son un toque original, fresco y diferente al resto de los
    comentarios que habrá suscitado sorpresa en muchos lectores.

    Un saludo

  14. Muchas gracias, me alegro muchísimo de que así te lo pareciese… como he dicho por ahí arriba también cometí un gazapo, corregido a tiempo, que comentaré en otro momento porque es muy interesante.
    En cuanto a las dudas: tres y sólo tres, y sí, pueden solaparse parcialmente. De modo que por orden las preguntas se responden: 1ª:SÍ, 2ª:NO, (3ª:no aplicable)

  15. Ahí va otro copia-pega. El blog me la ha jugado con los mensajes de Pardillano (bienvenido) así que acabo de arreglarlo. Creo conveniente pegar esta intervención aquí, porque está curradísima, incluye propuestas muy interesantes y en la entrada donde lo hizo casi nadie lo va leer ya:
    Ante todo, felicidades a Santi por poner en marcha este blog y a todos los que participáis asiduamente en él por vuestras estupendas aportaciones. Me parece una idea estupenda la secuela y estoy convencido del éxito de la misma.

    Soy entusiasta de los desafíos de El País desde casi el principio, y frecuente lector de este blog desde que casualmente conocí su existencia en el 16º. Son mucho más interesantes los comentarios que realizáis aquí que los que se pueden leer en El País, y las soluciones que aportáis aquí superan muchas veces las proporcionadas o comentadas en el periódico.

    Esto viene a cuento de que creo que habrá mucha gente que, como yo, aunque no se ha hecho ver hasta el momento, estará dispuesta a participar en la secuela de los desafíos, sobre todo habida cuenta del mono que nos va a causar a los que estamos enganchados la finalización de los “oficiales”.

    En este sentido, quisiera aportaros mi punto de vista. Me parece muy adecuada la idea de publicar los enunciados en estricto orden de llegada al email de Santi, siempre y cuando no haya una avalancha de propuestas. Cuando El País pidió a los lectores que aportaran sus propuestas, recibieron 150. Si en la secuela se reciben digamos 80, y se publica una por semana, ¿habrá que esperar dos años para ver la última?. Creo que en este caso sería necesario un filtro para seleccionar las mejores. Quizá, si Santi no quiere tener la responsabilidad exclusiva de su elección, podríais formar un grupo de voluntarios entre los veteranos del Blog, que os habéis ganado merecidamente el derecho de representar a todos.

    Respecto al tema del ganador simbólico y la corrección, dependerá también del número de soluciones recibidas. Si no son demasiadas, puede ser viable lo de que las corrija el proponente, pero no se si este esfuerzo para declarar un ganador por sorteo merece la pena.

    Yo os propongo que, puestos a que el proponente se lea las respuestas, seleccione la solución que más le guste (por original, innovadora, claridad en la exposición, etc) y se publique, así como que se haga mención a las ideas más interesantes que han aportado los demás (al estilo de El País cuando comenta la solución). Creo que ser ganador simbólico por haber aportado la mejor solución es mejor premio que hacerlo por sorteo.

    Otro tema interesante es la divulgación de la Secuela. Los Desafíos de El País y la RSME nos han servido de entretenimiento a los aficionados a este tipo de frikadas, pero quizá más importante sea que proporcionan una visión lúdica de las matemáticas muy poco habitual en los medios de comunicación. Vivimos en una sociedad donde no es infrecuente escuchar a un tertuliano en radio o TV despreciar las matemáticas y presumir de su desinterés en ellas (pensemos como tacharían a un matemático que dijera que ni idea de quien escribió el Quijote ni ganas de saberlo). Por ello, transmitir un visión diferente de las matemáticas creo que es un valor social importante. En este sentido, no se si sería posible, dado que algunos habéis tenido contacto con la gente de El País y la RSME (Jabón, o supongo que Santi), pedirles que al cerrar los Desafíos del periódico hicieran una mención expresa a este blog y contaran que aquí seguirá la secuela.

    En la misma línea, de cara a facilitar el acceso a futuros lectores que ahora no conozcan este blog, creo que sería interesante disponer los desafíos de la secuela junto con las soluciones (la del proponente y en su caso la ganadora como mejor) en una página web o un sitio ftp público (los hay gratuitos). La idea sería que si dentro de unos meses o años alguien quiere ver todos los desafíos, se los encuentre juntitos. El formato de blog es adecuado para seguirlo día a día, pero no es el mejor cuando te obliga a bucear en el archivo para ir buscando uno a uno desafíos pasados.

    Una petición final, respecto a los calendarios que veo propuestos. Me parece muy bien publicar el desafío un jueves, o viernes, porque permite disponer del fin de semana para darle vueltas. Pero algunos tenemos dificultad para enviar emails en fin de semana. Si es posible, dejad el lunes entero para recibir respuestas.

    • Muchas gracias Divagante Pardillano, te doy mi opinión, que es una más y sólo eso, sobre las cosas que propones:
      – Veo muy bien lo del ganador simbólico premiando la originalidad, ya que no nos jugamos nada es un criterio magnífico.
      – Los lunes se podrá escribir todo el día, supongo que a medida que esto vaya cuajando veremos cuál es la dinámica más adecuada. Rogelio nos tendrá que dar las primeras claves.
      – Me encantaría que El País mencionase mi blog (otra vez) para anunciar estas secuelas… pero yo no me atrevo a pedírselo.
      – De momento tenemos secuelas para 5 semanas, aunque me imagino que iremos teniendo más. En todo caso el problema de los años no lo vamos a tener. Por cierto, la semana que viene te toca a ti.
      – Puedo hacer una web con las secuelas si la cosa va bien, no hay problema.

      Saludos y gracias.

  16. Rogelio

    Santi, gracias por el “errare humanum est”.
    Estoy impresionado con el seguimiento, la verdad es que no me lo esperaba y temia que los desafios perecerian, pero no, veo que hay
    para rato. Enhorabuena!
    Ya hay varias soluciones en el email y ya me ha llevado un rato “corregirlas”. Alguna de estupenda calidad me ahorrara el trabajo de escribir la solucion para el martes. Eso si, comentare un interesante y didactico refinamiento.

  17. jabon

    Ahora ya me salen 690.208 para cuadrícula 50.
    Y todavía puede que esté equivocado, pero creo que estoy más cerca.
    Es un dato intranscendente porque no sirve para la resolución, simplemente era por ver si a alguien le cuadra.
    Tranquilo Rogelio, que siempre será múltiplo de 8 para cuadrículas par.

    Si te digo la verdad, yo también tengo preparado uno para otro día, en el que no sé la respuesta con seguridad, pero sé que entre todos saldrá,. así también participa el autor.

    • Rogelio

      N=50 sera un buen referente, ya he visto varios numeros diferentes. Mejor no aclaro cual es el que yo creo correcto, mas que nada para siga el suspense.

      La participacion del autor esta resultando ser el mejor de los alicientes!

  18. jabon

    Creo que ya tengo la respuesta. Digamos que podría ser la elegante (aunque no pueda estar seguro), y ahora entiendo perfectamente a Rogelio, porque ese inicial error yo también lo hubiese tenido.
    Para algo me sirvió hacer el servicio militar en la marina.
    Rogelio, muy, muy, muy bueno.

    • JC

      Para 50 me salen 115.392, pero lo repasaré.

      • Maito

        A mí también. Es el número original de Jabón, pero luego le han criado, aún más que a alfalfa, así que sigo buscando por si acaso.
        Por otro lado creo haber encontrado otra elegante, aunque no sé si le falta consistencia.

        • jabon

          Maito, seguro que es igual o parecida a la mía. Yo también le he visto un pequeño matiz que a mi juicio se solventa fácilmente, precisamente en los pares. Por eso no me atrevo a decir que sea una respuesta perfecta al cien por cien, pero si existe una respuesta elegante, tiene que ir con esa idea; además justificaría plenamente el pequeño error inicial del planteamiento.
          Lo del número, es mayor creo. Ya claudiqué de buscar algo sin sentido.

          P.D: Rogelio, no veas mis comentarios con la intención de “reventar” tu desafío. Para nada, y tampoco creo que haya dicho nada inusual. Todo lo contrario, intento actuar como si los desafíos del País continuasen. Personalmente creo que es la mejor manera de valorar al autor, en este caso a tí.

          • Rogelio

            Que dices, Jabon??
            Si eres un crack! Tu aportas casi el 50% de todo esto con tus comentarios! Te lo agradezco enormemente.
            Hoy he estado fuera y por eso no he comentado nada.
            Voy a leer mas.

  19. JC

    Para el que no sepa por dónde cogerlo, creo que puede ser buena idea intentar la “versión fácil” del desafío: considerar sólo segmentos horizontales, verticales y diagonales de +/- 45º, como si fuera una “sopa de letras” en la que hay que hacer palabras de 3 letras. Y se trata de obtener una expresión que nos de el número de segmentos, en función de N, claro, y ver que es múltiplo de 8 siempre (aquí no hace falta lo de que N sea par).
    Para la versión oficial, no tengo idea feliz, lo que he hecho es hacer la versión fácil, y luego contar los demás segmentos, aunque alguna consideración puede simplificar la cuenta.

    En fin, ¡Feliz Navidad!

  20. jabon

    JC, en efecto, esa parte cumple para todos. Pero faltarían las “diagonales largas”.
    Ya envié la respuesta, mi solución es sencilla, sólo he plasmado la idea, pero tengo muy claro la razón del fallo de los n= impares, simplemente se produce un solapamiento entre los que están a una distancia concreta, en cuyo caso sólo se computa uno y no uno y uno, creo que ese es el quiz del N= impar, y por eso falla.
    Como veis después de las comilonas, no hay nada mejor que retomar el caso.
    Para quien no lo haya resuelto, les aconsejo que no hagan muchas cuentas porque eso no hace más que descentrarte del problema.

  21. JC

    De momento nada que envidiar a los desafíos del país. Lo único que le falta es el incentivo del premio, e incluso eso se podría montar si se quiere. Por ejemplo cada uno manda 1 euro con la solución (a la cuenta que dijera Santi). Si por ejemplo se reciben 500 respuestas, los 500 euros se podrían repartir 100 para Santi, 100 para el desafiante (que tiene el trabajo de corregir), y 300 para el premio sorteo entre los acertantes. Y si no hay ningún acertante, bote, como la primitiva.

  22. jabon

    JC, se perdería entonces el compañerismo y otros alicientes. El dinero es muy egoísta. Hasta las correcciones crearían conflictos.
    No es que no se lo merezcan Santi, ni el proponente, todo lo contrario; pero para el resto supondría una competitividad que pudiera no ser sana.
    No interpretes que tu idea es mala, simplemente expongo otro punto de vista que habría que analizar.
    Imagínate que uno tiene la respuesta, y va el soplagaitas de Jabon y dice una pista al resto…

  23. Paco Gallego

    Yo hice tambien lo que JC llama ” version facil” y me gustsría comprobarla. ¿puedo publicar la formula, sabiendo que no es la solución?.
    Pido permiso.
    Con las diagonales largas…. no lo consigo.Seguiré intentandolo.
    Felicidades Rogelio, interesante desafio,
    Gracias Santi interesante, iniciativa.Por cierto yo si he comentado en la solucion al último desafio en EL PAIS que tanto tu como la web de gaussianos estaban interesados en seguir con los desafios y veo que JC ha publicado tambien que siguen aqui. Animo amigos!

    • Rogelio

      Un poco tarde esta respuesta, lo siento pero hay un poco de lio en estos dias. Gracias Paco, por las felicitaciones y los links. Yo os animaria a comentar lo que quisierais si no es la respuesta tal cual. Los comentarios son el mejor aliciente!

  24. JC

    La verdad es que no sé si la idea es mala, buena, o regular. Simplemente como se me ha ocurrido, lo he compartido. Era para que fuera igual igual que en el país, porque los libros sí que no puede ser… Lo de dar pistas ya pasaba con los desafíos de el país, y de todas formas es un juego, un sorteo, como una rifa entre amigos en la que no hay competitividad.

  25. Maito

    Para mí el mayor aliciente es intentar resolver el desafío y compartir vuestros comentarios, creo que ya debe ser bastante difícil gestionar las respuestas durante el fin de semana como para añadir más carga de trabajo. Pero me parece bien que se hagan propuestas, estamos empezando y cualquier idea deberíamos analizarlas, ya se han propuesto varias interesantes.

  26. JC

    Maito, por supuesto para mi también el mayor aliciente era intentar resolver el desafío, y además estaba la posibilidad de que te tocaran los libros en el sorteo. Pero la “alegría” de conseguir resolverlo supongo que es mayor que la alegría de que te toque el sorteo. Aunque seguro, seguro no lo sé porque no me tocó..
    Volviendo al desafío, ya lo envié. No entiendo bien lo que dice jabon de plasmar sólo la idea, de no hacer cuentas, si justo estamos dando el número que hay para cuadrícula de 50.
    Bueno, mañana lo veremos.

  27. jabon

    JC, puedo estar equivocado (y muy probable). Si pensamos un poco, nos damos cuenta de que Rogelio no daba mucha importancia al número real de segmentos de n=50, incluso el enunciado inicial nos lleva a concluir que no hizo ninguna cuenta… Es una cuestión simplemente deductiva.

    En resumen, habrá varias formas de resolverlo. Una de ellas sacando el término general, y demostrar que para cualquier n= par, es múltiplo de 8. Esta vía la inicié porque es la más obvia, pero al final la dejé, por eso ya no me preocupé de saber cuántos eran.

    Tiene que haber otra más simple entonces.
    La mía la resumí en 4 líneas, seguramente que hay que emplear un contenido que sea más comprensible; de ahí que comentase lo de la “idea” en la que me baso. Luego, después de mandar mi respuesta, me di cuenta de que no comenté algo, pero que creo que se sobreentiende.

    En dos de mis comentarios anteriores he incluido una pista distinta de mi solución.

  28. alfalfa

    Yo llegué a una fórmula general, pero su aplicación es tediosa como no la programes. Calculé la solución de N = 50 haciendo parte del proceso a mano por las prisas (me iba de viaje y tenía que hacer la maleta) y por eso no me fío. Bueno, y tampoco de la fórmula general, que quizás me haya dejado detalles atrás.

    En cualquier caso, me salía que si N es par y no es múltiplo de 4, la solución no es sólo múltiplo de 8 sino de 16.

  29. Lo tengo ahí!!!! pero tengo que superar un pequeño conflicto de superposiciones… ahora estoy enganchado y no tengo tiempo (ni lo he tenido en todo el fin de semana). Si ya lo decía mi abuela: al que tiene hijos y ovejas, nunca le faltan quejas.

  30. jabon

    En efecto Santi, las superposiciones en las diagonales largas es lo que complica la cosa en cuanto al término general.
    ¿Y si nos alejamos de los laterales?

  31. JC

    Las “diagonales largas”, con N par, me salen múltiplo de 16, y no es necesario saber cuántas hay en total para ver esto.

    alfalfa, de acuerdo con “si N es par y no es múltiplo de 4, la solución no es sólo múltiplo de 8 sino de 16”.

  32. Pedro Correa

    Delicioso desafío.

    Es más, da la sensación de que de esa retícula y de esos segmentos abren un mundo de posibilidades!!

  33. Se acabó el tiempo y no he podido dedicarle el tiempo necesario. A lo que había llegado es a que cada segmento inclinado con pendiente m=a/b puede considerarse la diagonal de un rectángulo de lados 2a+1 y 2b+1; en él el número de piezas que se pueden trazar es (2a+1-2)·(2b+1-2)+2=4ab – 2a +2b -1 + 4ab + 2a – 2b – 1 = 8ab. Ese 8 me hizo pensar que iba bien… pero me quedan por atar muchos cabos sueltos.
    Ahora en cuanto Rogelio me envíe la solución la publicaré. En todo caso ojalá hubiera dispuesto de tiempo, me parece un problema muy bueno.

  34. Pedro Correa

    Me hubiera gustado intervenir más, pero con las vacaciones, curiosamente, tengo menos tiempo para estos entretenimientos.
    A mí me salen 476160 segmentos para n=50. He hecho una calculadora muy sencilla en excel que he enviado al correo de los nuevos desafíos. Aunque es verdad que no era necesario conocerlo para resolver el desafío, que reconozco que ha sido de los que me gustan.

    • Rogelio

      Muchas gracias, Pedro. El numero para n=50 es ese, 476160.
      Ya vereis todas las soluciones cuando Santi lo publique, que de hecho el problema daba para mucho mas.

  35. Pedro Correa

    Me hubiera gustado intervenir más, pero con las vacaciones, curiosamente, tengo menos tiempo para estos entretenimientos.
    A mí me salen 476160 segmentos para n=50. He hecho una calculadora muy sencilla en excel que he enviado al correo de los nuevos desafíos. Aunque es verdad que no era necesario conocerlo para resolver el desafío, que reconozco que ha sido de los que me gustan.

  36. jabon

    Lo de las diagonales cortas, y segmentos a lo retícula 3*3 estaba claro que era múltiplo de ocho. 8 más (n-3) por 2 y por 6, y más n-3 todo al cuadrado por 4.

    Para las diagonales largas, me he limitado a dividir la cuadrícula en 8 partes a 45 grados a modo de brújula centrada.

    La simetría existente entre cada parte, y entre sus puntos entre sí, me hace predecir que partirán o terminarán el mismo número de segmentos de cada una de esas ocho zonas.

  37. jabon

    Rogelio, lo has corregido perfecto.

    En la solución que te envié fui demasiado breve, quise plasmar sólo la idea, porque el problema eran las diagonales largas.

    Los segmentos perpendiculares y diagonales cortas era la parte fácil, que yo NO detallé en la respuesta enviada. Casi lo daba por sobreentendido.

    Así que tu corrección está muy bien, en lo que a mi respecta. No completé con lo que he puesto antes.

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