Desafío 40+6: La gota de aceite


Escribe Divagante:

Dada la rejilla de la imagen,

¿Por cuantos caminos distintos puede deslizarse el aceite desde la botella a la aceitera? 

Evidentemente el aceite se desplaza siempre hacia abajo.

Enviar respuestas a desafiossanti@gmail.com. Plazo hasta el lunes por la noche.

57 comentarios

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57 Respuestas a “Desafío 40+6: La gota de aceite

  1. ELPRIMO

    Hola prontito hoy…
    Vamos a ello, no lo entiendo bien ¿rebosa en cada compartimento,, cada lado es permeable?¿como pasa de un lado a otro?…explicalo un poquito más por favor.
    Gracias

  2. Rubén

    Yo entiendo que, si numeramos los vértices de arriba a abajo y de izquierda a derecha, el primer vértice puede verter en dos direcciones, el segundo en tres, el tercero en dos, etc., donde el aceite seguirá distintos caminos siempre resbalando por las líneas que unen los distintos vértices.

  3. jabon

    Antes de nada decir que me parece muy interesante.
    Yo me he aventurado a entenderlo de una manera. Y de esa forma tengo ya un valor.
    Si és es digamos de 5 * 3, para una de 16 * 9 ¿pudieran salir
    4.013.776.480 caminos distintos.
    Es por pasar al nivel que considero más complicado, el de generalizar.

    Si alguno le sale eso que me diga.

  4. Superpanzeta

    Una pregunta para Divagante:
    ¿Algún motivo especial para elegir el aceite?
    Lo digo porque si construyéramos la cuadrícula físicamente, y dependiendo de las dimensiones de los canalillos, bien pudiera ser que el aceite subiera por los tubos por capilaridad.
    Cosa que no pasaría por ejemplo con agua.

    A Jabón:
    Yo también creo que lo tengo, pero no me veo capaz de llegar a tu cuadrícula aumentada calculando a mano. Como todo el mundo sabe ya, las sumas mayores a 17 me causan problemas, y tengo dudas incluso de la cuadrícula pequeña.
    Me da vergüenza reconocerlo, pero debo reconocer que no sé usar la hoja de cálculo (yo siempre tiro de C++ y/o Python), y este problema tiene toda la pinta de ser apropiado para ello. Mi tocayo ELPRIMO está de suerte.
    Intentaré practicar algo con la hoja de cálculo a ver si llego a 16*9, pero no sé si conseguiré algo.
    De momento, mi solución tiene raíz digital 5.

  5. Divagante

    Perdón pero he estado desconectado todo el dia.
    Efectivamente el aceite deslizara en cada cruce por cualquiera de las barras pero siempre hacia abajo. La primera gota puede ir a la izquierda o a la derecha. Si va a la izquierda puede ir por 3 caminos distintos, etc.
    Solo decir que para la imagen, el número de caminos posibles es bastante menor del millón. y por que aceite, pues por que me parecio que deslizaba despacio y termina recorriendo todos los caminos.

  6. Divagante

    Ye tenemos un acertante. No sabia que era un clásico, pero la verdad es que casi todo está inventado.

  7. Rogelio

    pues si, para 16*9 da lo que decis, me estaba volviendo loco con el 9*16 que da: 33270400277816 y no encontraba el error…
    Muy chulo el problema! Aunque viene de un clasico es una variante muy interesante!

  8. ELPRIMO

    Hola a todos:
    Primero ,perdon Divagante por mi torpeza, no leí rejilla en el primer comentario y no entendí la figura. Por cierto no se si ya inventado, como dices, lo cierto es que yo no lo conocía( Lo bueno de ser un ignorante es que se aprende mucho…) y me parece un MUY INTERESANTE problema.
    Luego 10000000000000000000 de gracias Rogelio, me pasó como a ti , exacto el mismo problema, hacía el 9*16 y me daba3277….., ahora ya he hecho 16*9 y me da como a Jabon y a Superpanzeta.
    Superpan…. a mi me encantaría saber algun lenguaje de programación como tú, las hojas de calculo son para mi el placebo sustituto. Por cierto intenté buscar el nombre que dabas del libro del problema de los enchufes igual al de las 4 Ases y …. me salió un pediatra!!!: da mas pistas hombre.
    Por cierto mañana…EL CUPONAZO…seguro que nos toca.

    • jabon

      En efecto, el orden parece que altera el producto.
      Lo del cuponazo va a ser de escándalo.
      Y en cuanto al nombre, intenta entender la ironía de Superpan…

  9. ELPRIMO

    Un Tal Piter,sabia que era broma pero no me fijé y me creí lo de
    Piter Güincler.
    Bueno Jabón o Super.. dadnos el nombre real, y no reiros más de primos como yo…..
    ELPRIMO

  10. jabon

    Es que si te cuento el chiste te vas a reír, y los demás no te digo….

  11. ELPRIMO

    Anda jabón cuentanos el chiste, yo no lo pillo.
    El autor del libro, buscando por Internet, me parece que es:Peter Winkler
    Yo no lo conocía.¿Hay algo de él en español???
    Gracias.

  12. Superpanzeta

    Jajaja!
    Pues claro que es Peter Winkler. El libro es:
    “Mathematical Puzzles. A Connoisseur’s Collection”.
    Pues no tengo ni idea de si está en español, pero el libro es muy famoso, y el autor más aún. Paenza, sin ir más lejos lo cita en alguno de sus libros.
    Una búsqueda por encima de algunas librerías online parece indicar que no está en español, pero no he mirado mucho.
    En cualquier caso, si no lo está, debería estarlo, Con las correspondientes correcciones de Jabón, of course.

    • Superpanzeta

      El mismo autor tiene también otro un poco más nuevo, en la misma línea:
      “Mathematical Mind-Benders” pero no lo he leído.

  13. Maito

    Veo que ya tenéis resuelto el desafío, pero yo debo andar errado, quizás incluso herrado, porque según mi propuesta si el número de filas de la rejilla es impar, el resultado debe ser impar, y varios conoincidís en que la solución de 16*9 es par. Seguiré dándole vueltas.

    • Superpanzeta

      Estoy seguro de que lo haces bien.
      Date cuenta de que 16*9 son los CUADRADOS de la rejilla, no las líneas, que son 17*10…

      • Superpanzeta

        Pensándolo mejor, con 16*9 líneas también sale par… así que tendrás que seguir dando vueltas, me temo.

        • Superpanzeta

          Por si te sirve de algo, con 1000*1000 cuadrados, también sale par.
          Es algo así como:
          5174800493363937192650411501719571…seguido de un porrón de dígitos más que acaba en …4721497942574438576105042792851224
          ¡En total son 1043 dígitos!

          • Superpanzeta

            1000*1000 acaba en 4, 1001*1000 acaba en 4, y 1000*1001 también acaba en 4.

          • Superpanzeta

            Perdón, quería decir que 1000*1000, 1001*1001 y 1000*1001 acaban en 4. 1001*1000 acaba en 3.
            Lo de las filas pares no parece funcionar muy bien.
            ¿Cuál era el razonamiento?

          • Superpanzeta

            Ahora sí. Soy un tarugo. Estos números mayores a 17 me despistan…
            1000*1000, 1001*1000, 1000*1001, 1001*1001:
            TODOS son pares
            TODOS acaban en 4 excepto 1001*1001 que acaba en 2.

  14. Blogadicción

    Lo hice “a pulso” y creo haber dado con la solución, por lo menos la raiz digital = 5.
    Y, ahora tirando de Excel, los resultados para 16*9 y 9*16 coinciden con los expuestos.

  15. ELPRIMO

    Gracias Superpanzeta. No conocía al autor ni al libro y como no lo encuentre en español o con subtítulos en andaluz…voy a seguir sin conocer su obra. Por cierto si tu, que programas en dos lenguajes informáticos y lees libros en ingles llevas herraduras ¿yo que zapatos me pongo?

  16. ELPRIMO

    PERDON PERDON….Superpanceta, el de la broma de “herrado” era Maito y no tú PERDON

  17. ELPRIMO

    Una propuesta (no diré que un clásico pero si hay que reconocer que no es original, sino basada en un desafío anterior elaborada por el Gran Matemático JHA-BOON). Podemos poner un fondo los asiduos a la pagina (digamos 20 personas), poniendo cada uno una pequeña cantidad (digamos 5€).Cada semana podemos jugar 2 cupones el viernes con un reparto a determinar (digamos 2 premios de 1 € a sortear entre los acertantes del Desafío, 1 € para la respuesta que el proponente considere más brillante y los otros 3€ a repartir entre los que hayamos participado en el fondo.) Aquí podemos variar las cantidades de premio si el premiado es un no asiduo al blog y no ha contribuido al fondo (digamos que le regalamos la mitad del euro y el resto se suma a los 3 comunes).
    Todo esto es simbólico pero añade interés, es algo así como una peña de amigos que comparten un juego de Azar y que dedicamos parte del fondo a premiar la inteligencia y la otra parte a jugar al Cupón.
    Si se cumple mis supuestos con 100€ tendríamos para 16 semanas, mas algún reintegro….y quien sabe quizás…..el CUPONAZO
    Esto es solo una propuesta, se admiten cambios y mejoras, se me acaba de ocurrir, así que lo podemos pensar más.

  18. Rogelio

    uy, Maito, ha propuesto un desafio muy interesante!
    para que n*m da impar?
    1*m : impar para todo m
    n*(n+2): impar para todo n
    n*(n+3): impar para todo n
    n*(2*(n+2)): impar
    n*(2*(n+2)+1): impar
    Y en general para que sea impar la rejilla ha de ser de la forma:
    1*m
    n*(N*(n+2))
    n*(N*(n+2)+1)
    para todo n,m,N enteros naturales. Si la rejilla no cumple una de estas formas el numero de caminos sera par. En conclusion no importa la paridad de las dimensiones de la rejilla

    • Rogelio

      errata: no era 1*m sino m*1,
      el caso 1*m sera impar si m=3*N o m=3*N+1 de acuerdo con lo dicho arriba

      SuperpanZ, tus calculos astronomicos confirman esta regla!
      (1000*1000 no corresponde con n*(N(n+2)) o con el +1,
      en general ningun n*n corresponde con n>1 )

      • Superpanzeta

        Impresionante.
        Te has dejado un caso: m*0, para todo m, produce siempre 1, que también es impar. Este caso degenerado equivale geométricamente a una rejilla de m cuadrados por 0 cuadrados, lo que naturalmente nos deja una línea de m unos.
        No es más que un caso particular de n * N(n+2) cuando N=0.
        El caso m*1 también se puede asimilar a la otra fórmula n * (N(n+2))+1, sin más que elegir también N=0.
        Así pues, parece que sólo hay dos fórmulas:
        n * (N(n+2))
        n * (N(n+2))+1
        para todo n y M naturales, incluyendo el 0.

        He simulado varios miles de rejillas, y esas dos fórmulas producen siempre impares.
        Por ejemplo, 2012 * 2014, que con 2102 dígitos acaba en 1.
        O el más astronómico aún 7 * 38755, que con 28213 dígitos acaba en 7.

        ¿Qué razonamiento has seguido para encontrar esas fórmulas?
        ¿De verdad cubren todos los impares?

        • Superpanzeta

          Perdón, donde dice una línea de m unos, debe decir una línea de m+1 unos.

        • Rogelio

          cierto! muy bueno ojo y muy buena maquina!
          no pense en incluir el 0, muy buena generalizacion.
          En cuanto a 2012*2014, mi maquina no me llega tan alto, tendria que operar de otra manera… increible.
          El razonamiento no es mas que una extension a la solucion del problema, lo comentare tras la solucion si nadie lo menciona antes. Estoy bastante seguro que cubren todos los impares y si tu has verificado varios miles de rejillas pues aun mas seguro, ;)

          • Superpanzeta

            Mi máquina no es nada del otro mundo. Sólo es cuestión de usar una herramienta más adecuada.
            En mi caso, respondí el desafío a mano, lo comprobé usando una hoja de cálculo, y el resto han sido unas 16 líneas de Python sin el menor estilo.
            El límite lo pone la RAM (yo tengo 4Gb), y no debe andar muy lejos de las cifras que he dado.
            Si fuera liberando la memoria que ya no uso o buscando atajos, o usando disco, podría llegar más lejos, pero no merece la pena complicarse.
            Añadiendo dos líneas más, he explorado todas las combinaciones de n y m hasta donde la RAM y mi paciencia me han dejado y está claro que:
            Para 0*n, los huecos entre impares son de longitud 0 (todo 1)
            Para 1*n, los huecos entre impares son de longitud 1. Hay 2 impares seguidos, 1 par y vuelven los impares.
            Para 2*n, los huecos entre impares son de longitud 2. Hay 2 impares seguidos, 2 pares y vuelven los impares.
            Para 3*n, los huecos entre impares son de longitud 3. Hay 2 impares seguidos, 3 pares y vuelven los impares.

            Para m*n, los huecos entre impares son de longitud m. Hay 2 impares seguidos, m pares y vuelven los impares.

          • Rogelio

            SuperpanZ, yo tambien he escrito un pequenyo codio en Python usando type “long” pero cuando el numero es muy largo se vuelve negativo…
            Por favor, manda el tuyo (supongo que con la solucion) y asi aprendo a hacer estos calculos astronomicos!

          • Superpanzeta

            Rogelio, no me explico qué te pasa. Por lo que has comentado, es como si estuvieras usando un “long” de C. Los “long” de Python no se comportan así.
            Llevo un buen rato pensando, y sólo se me ocurre que estés usando una versión de Python del Pleistoceno, o que estés forzando conversiones de tipo de una manera digamos que desafortunada (una que acaba truncando los números).
            Mi conocimiento de Python es escaso. Empecé con ello hace unos seis meses, y en los tres primeros fui haciendo los primeros 60 problemas del proyecto Euler, cada vez más penosamente, hasta que me detuve pensando que con lo que había aprendido no podría seguir mucho más, y debería empezar otra vez para hacer las cosas mejor. Ahora llevaba tres meses sin tocarlo, hasta este problema.
            Bueno, pues jamás he necesitado usar el tipo “long”. Siempre he entendido que el intérprete promociona el tipo de entero según las necesidades, y no me he preocupado de más.
            Es decir, uso ints, y punto (y normalmente sin declarar).
            Cuando acabe el desafío ya colgaré el programa para que todos veáis
            lo chapucero que soy. Me temo que si esperas aprender algo, te vas a decepcionar… Aggh, ahora tendré que hacerle las ingles brasileñas al programa antes de enseñarlo… :D

  19. jabon

    A mí me parece muy buena idea.
    Pero no sé si estaría bien que uno quiera llevarse el premio sin participar en lo otro. Eso se puede aclarar.
    No haría falta poner, simplemente que cada semana se encargue uno de comprar el boleto o boletos, y así no hay que mover dineros, se hace un listado…
    Bueno, que me apunto.
    Deduzco que no ha tocado esta semana ¿no?

    • Superpanzeta

      Parece que no hay nada que repartir con Hipatia…
      Bueno, lo importante es que esté bien allá donde esté (Alejandría o donde sea).

      Yo veo muy engorroso lo del fondo.
      En cuanto a seguir con el cupón, desde mi punto de vista ha sido un bonito detalle de Jabón (que es un encanto) aunque yo lo considero algo ajeno al motivo por el que pasamos por aquí. El cupón, digo, no Jabón.

      Si queréis seguir con ello y que el proponente o alguien por turno compre los boletos no me opongo, pero creo que va a ser un jaleo, y se va a convertir en una obligación. Hablo por mí, ojo.
      De momento, y reservándome el derecho a cambiar de opinión, preferiría mantenerme al margen, y por supuesto sin derecho alguno a premio.

      Y si os toca, me alegraré por vosotros, aunque no os lo creáis.
      Qué raro soy. ;P

  20. jabon

    Por cierto, hablando del desafío. Hay una sucesión dentro de este problema que está relacionada con un matemático alemán, cuyo nombre no digo.

  21. JC

    Creo que a este he llegado tarde, que ya tenéis varios una solución general y todo…

    • JC

      vale, también me sale impar

      • Superpanzeta

        Yo no creo que tengamos una solución general.
        Por lo menos yo, no. Como mucho una solución sargento.
        Entiendo aquí como solución general una función del número de columnas y filas que permita calcular la suma final sin sumar cada cruce.
        Se me antoja que de haberla, sería muy complicada.

  22. jabon

    A mí, si el tal Schroder me dice cuál es el término general de su sucesión (que él lo tiene que saber por fuerza), creo que lo tendría más sencillo. No digo que supiese dar con ella, pero me ayudaría muchísimo.

    • Superpanzeta

      Schroder…
      Schroder…
      ¿Puedo comprar una vocal?
      Tengo que confesar que no lo conozco.
      Sólo veo a Fibonacci.
      Dame un pista.

      • Superpanzeta

        Ya he encontrado los números de herr Schröder y ¡puff! no veo como sacar nada útil.
        Mi taruguez me lo impide.

        • jabon

          He visto por ahí el término general de los números de Schröder, pero no entiendo lo que significa eso, así que de nada me sirve.
          Se tratan de las casillas del lateral derecho.

          • Superpanzeta

            Sí, pero además, sólo en el caso de que la rejilla tenga infinitas columnas.
            Al tener nuestra rejilla sólo 4, enseguida los valores se quedan cortos respecto de los de Schröder.
            Qué cantidad de cosas raras hay por ahí, ¿eh?

          • jabon

            Creo que no harían falta las infinitas. En una rejilla n*n van saliendo bien.

          • Superpanzeta

            Bueno, en ningún caso práctico harían falta infinitas. Como tú bien dices, con N x N es suficiente, pero sólo conseguimos N términos iguales a la sucesión a la del sr. Escroto.
            Si no queremos dejarnos medio huevo fuera, hacen falta infinitas.

  23. JC

    Una simplificación del problema, más sencillo pero también interesante porque salen números más pequeños, puede ser el mismo problema pero quitando las diagonales. Aquí, al menos para este caso (3×5), sí que sabemos hallar el “término general”.

    • Superpanzeta

      ¡¡¡Tienes razón!!!
      Ese es el caso clásico que conocía (sin diagonales), pero no había visto esa relación con esa figura tan conocida ni la manera tan sencilla de calcular “el término general” para cualquier rejilla (NxM). Me gusta.

      Es realmente increíble como se complica todo con las diagonales…
      Divagante, no sé si darte la enhorabuena o el pésame.

      • Divagante

        Tengo que reconocer que la primera idea fue sin diagonales, pero pensé que seria demasiado fácil encontrar la via matemática pura y yo buscaba la solución de primaria.

        • Superpanzeta

          Bueno, el clásico al que me refería era sin diagonales.
          ¿Buscabas una solución de primaria para evitar una “fácil”? Jajaja!
          Con una rejilla asimétrica como la tuya (o mejor más asimétrica aún para despistar), y un montón de filas, digamos 100, yo habría tenido que recurrir a un programa. Dudo que se me hubiera ocurrido esa vía matemática tan chula.

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