DESAFÍO 40+7: UNA CARAMBOLA A TRES BANDAS


The Hustler (El Buscavidas) - 1961

The Hustler (El Buscavidas) - 1961

Escribe jabon:

Nos situamos ante una mesa de billar especial, con forma de triángulo equilátero de 2 metros de lado. En el centro exacto del tapete tenemos una bola blanca y en uno de los vértices se encuentra una bola roja.

Tomamos el taco y con un golpe centrado en la bola blanca, sin efecto, vamos a lanzar la bola blanca en dirección hacia una de las bandas para que consecutivamente se dirija a cada una de las dos restantes y termine golpeando a la bola roja.

Considerando que las bolas se comportan como puntos ¿Podrías decirnos qué distancia va a recorrer la bola blanca en esa carambola?

Nota: Aunque no sea muy ortodoxo, simplemente para facilitar la corrección, se solicita que el resultado se exprese con dos decimales.

Enviar respuestas a desafiossanti@gmail.com. Plazo hasta el lunes por la noche.

62 comentarios

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62 Respuestas a “DESAFÍO 40+7: UNA CARAMBOLA A TRES BANDAS

  1. Perdón a los fieles del blog por el retraso. Últimamente no sé en qué día vivo…

  2. jabon

    Acabo de ver mi correo, y tenía preparado este texto.
    De entrada os diré que conocí un problemilla algo parecido hace más de 30 años, así que si alguien ha visto alguno similar, o incluso idéntico, no me extrañará en absoluto. Simplemente diseñé unas variantes y formatos y elegí el que os propongo.

    Para quienes no lo conozcan, espero que lo encuentren interesante; de no ser así, mis disculpas anticipadas.

    En cuanto a un posible premio, también se me ha ocurrido algo. Esta vez sortearé entre los acertantes (por el método que conocéis los seguidores habituales) un único premio que consistirá en un minilote de unos 15 cromos, en perfectísimo estado, de una colección de la liga española del año 1997; con jugadores que he seleccionado, casi todos ellos conocidos (Guti, Stoikov, etc.).

    Si algo no se entiende adecuadamente, me lo hacéis saber. Puedo pensar que está claro, pero si todos me indicáis lo contrario, será prueba inequívoca de que estoy en un error.

  3. Keith

    Pregunta: supongo que hay que diseñar la carambola y que, luego de cada choque en una banda, la bola sale “reflejada” de la banda?

  4. Divagante

    Me siguen sorprendiendo las imagenes que acompañan a cada desafio. Felicidades por ellas.

    • Superpanzeta

      Sí, ésta por ejemplo es de una precisión casi milagrosa. Sería imposible encontrar algo más apropiado.
      Enhorabuena, Santi.
      ¿O esta vez has sido tú, Jabón?

      • jabon

        Mira que me fastidia un poco porque los dibujos y fotos que nos cuelga Santi, son excepcionales. Este considerarlo una mera casualidad.
        Por cierto, respondiendo a tu comentario anterior. Sigue entrando gente nueva porque he tenido una respuesta de uno que nos acaba de conocer. Así que esto no va a decaer.
        Y ya que ninguno contestáis a Keith le comento que al darle sin efecto a la bola y centrada describirá en cada banda un movimiento como comentas.
        Por cierto Santi, curioseando antes por el blog me he reído bastante con una pregunta y respuesta que aparecen en otro sitio. Discúlpame, me ha hecho mucha gracia. Es algo muy inocente, pero tiene su chispa.

  5. José Luis

    Buenas noches, soy nuevo aquí, os descubrí el martes pasado buscando temas parecidos a los problemas del País, justo a tiempo para no poder participar en el 6º problema.
    Ya está enviada mi solución, espero que sea correcta. Tengo bastante curiosidad por ver cómo lo resolveis vosotros, mi método me ha parecido bastante chapuzas, pero quizás es porque no resuelvo habitualmente problemas.
    Un saludo,

  6. jabon

    Ya estoy recibiendo respuestas, y ya me suponía que alguno conocía algún problema parecido, es inevitable. También he comprobado que otros no lo conocían, pero han sabido resolverlo.
    Como ves, Superpan, a mí no me da ninguna vergüenza mandar un desafío. En mi trabajo siempre mantengo un slogan “sólo hace mal las cosas, el que las hace”.
    Ya ves, estoy preparando otro, que me está llevando su tiempo, y a veces hasta me río yo solo.

    • Superpanzeta

      Por lo que dices, supongo que alguien ha resuelto el problema del billar por la vía lenta. Yo también he empezado por ahí, y mientras pensaba “menuda sesión de dibujo me voy a tener que currar para mandar la solución paso a paso”, me ha venido la iluminación. Ahora mismo no recuerdo dónde me encontré con esa técnica, pero en mi caso fue hace muy poco tiempo (3 o 4 meses), y por supuesto, no tenía nada que ver con el billar. En aquel caso fracasé miserablemente, pero parece que me sirvió de algo.
      Ya perdonarás lo escueto que me ha quedado. Uno no tiene siempre ganas de enrrollarse, y esta vez lo importante era el gráfico.
      Después de todo, el dibujo habla por sí mismo, y a ver cómo explicas eso sin dibujos…

      Tu futuro desafío tiene que ser tremendo. Ni me imagino de qué te puedes reir mientras lo preparas, pero no lo dejes. El número de respuestas a cada desafío va en descenso (o eso parece), y si esta iniciativa no sigue será una lástima.

      En cuanto a mi desafío, no es que me dé vergüenza.
      Bueno, sí, pero nada comparado con la que pasaré la semana que viene.
      Y mira que he procurado imaginarme a todo el mundo desnudo… jeje.

      En fin, con que haya por lo menos una persona que le vea la gracia (a ser posible después de fallar), me conformo (yo soy de los que fallaría si no supiera ya la respuesta, pero no por la dificultad, sino por lo tonto que soy).
      Y si todo el mundo acierta, pues nada. Se veía venir…
      Sólo espero que el número de participantes no se desvanezca del todo por mi culpa.

      • José Luis

        Por alusiones, y representando a los (o al) de la vía lenta, empecé a dibujarlo, con ángulos alfa y cosas de esas, y a los 5 minutos lo dejé y decidí dibujarlo en Geogebra. Para los que somos torpes con el lápiz, ese programa es la bomba.

  7. Rogelio

    Muy chulo. Con cierta interpretacion del problema tiene 2 soluciones, no?

    • Superpanzeta

      ¿De verdad?

    • Superpanzeta

      Bueno, el enunciado no dice nada sobre si la mesa es plana, así que supongo que en realidad hay infinitas interpretaciones, y otras tantas soluciones.
      Incluso para el caso no euclídeo más simple (superficie esférica), soy perfectamente incapaz de calcular las trayectorias.
      ¿Serían geodésicas?
      ¿Cuél es tu otra interpretación, Rogelio?

      En otro orden de cosas, y por matar el rato, he estado pensando cómo se podría generalizar este problema a las 3 dimensiones y usar un tetraedro y una trayectoria de vectores 3d (¡con espacio euclídeo!) que rebote en las 4 caras antes de alcanzar el vértice. Ni que decir tiene que el atajo plano no sirve. Por supuesto, esto también me supera.

      En fin, volviendo al caso plano, al menos he descubierto que si en vez de 3 rebotes, hacemos 2, la trayectoria medirá x, y si hacemos 5 rebotes, medirá 2x. Los términos generales para n rebotes (uno para n par, incluyendo el 0, y otro para n impar) son muy sencillos.

  8. Sácanos de dudas con lo de la pregunta-respuesta jabon…stop.
    Esta noche me pongo con el desafío, parece muy entretenido. stop.
    Gracias por lo de las ilustraciones, aunque en este caso el dibujo es del propio desafiante. stop.

  9. jabon

    Un alumno te pregunta por un posible cambio de fechas de un examen. Es una pregunta muy inocente.
    La respuesta también es muy simple y en un tono muy claro.
    Está en la parte de tus alumnos.
    Lo que pasa es que me hizo mucha gracia, tanto la pregunta como la respuesta.
    Insisto, ambas están hechas en un tono muy normal. Ya sabes a lo que me refiero.
    ¡Qué tiempos aquéllos¡, bueno ahora los revivo con mis hijos.
    (Eso de : hoy no has estado en clase, nadie me ha comentado nada….)
    Disculpa Santi, nada irónico, ni peyorativo, algo cotidiano que me hizo reír.
    En cuanto al desafío, en efecto en el espacio también da su juego.
    Rogelio, lo de las dos respuestas, si son diferentes y se basan en una interpretación, házmelo saber, me interesa.
    En teoría, hice varios diseños, y en éste a mí sólo me daba una respuesta (doble),
    También estudié lo de otros números de bandas, (2,3, 4, 5), incluso otras posiciones, pero para dar juego me centrén en las tres bandas.
    La ilustración la busqué porque me gusta que los problemas tengan su aplicación práctica. Lástima lo de los agujeritos, aunque aquí no estorbarían, sólo que la bola terminaría metiéndose en un vértice.

    • Ah, sí, lo recuerdo perfectamente. El final de la historia era lo que parecía, los demás no tenían ni idea del supuesto cambio de fecha y no llegó ni siquiera a debatirse. Asuntos cotidianos en efecto.

    • Rogelio

      como suelo ser el unico que mal-interpreta los enunciados puedo decierlo con tranquilidad. La segunda solucion de la que hablaba consistiria en tirar la bola directamente a un vertice, interpretando que el vertice pertence a las dos bandas, rebotaria tal como vino, rebotaria de igual manera en la tercera banda y volveria al vertice… pero nada, una interpretacion, pues se puede excluir el vertice de las bandas.
      Saludos.

      • jabon

        A veces el lenguaje, puede hacerme alguna jugada distinta, valga la expresión. Quise ser muy escueto en el enunciado.
        Al decir primero a una banda, y luego consecutivamente a cada una…
        quería decir que tiene que hacer ese recorrido. Primero una, luego otra, y luego la que queda.
        Un golpe en el vértice, vendría a ser simultáneo a dos, no consecutivo.
        No sé si me he explicado bien ahora.

        • Superpanzeta

          Pues a mí me gusta.
          Rogelio demuestra tener mucha imaginación. A mí no se me hubiera ocurrido.
          Si reformulas el enunciado para no excluir esta trayectoria tan original, tendrías un desafío con segunda parte.
          Piénsalo para cuando publiques un libro.

  10. Divagante

    Menos mal que Jabón decia que este era facil. que si llega a ser dificil……

    • jabon

      Ya comenté que no era extremadamente fácil, como el anterior. Sólo fácil.
      Fernando, sé positivamente que cuando lo veas, te gustará. Puedo estar equivocado. Me lo haces saber de todos modos.

  11. Anónimo

    Al principio no leí lo de las tres bandas y pense en la carambola recta de Rogelio, luego me enfrenté a lo bruto con la trigonometría y al final, llegó la luz. Me ha encantado, y bienvenido a mi tocayo.

  12. Rogelio

    Bueno, insistiendo en las 2 soluciones diferentes, esto ocurriria “legitimamente” si en vez de 3 bandas se requirieran 6 bandas antes de llegar a un vertice…

    • Superpanzeta

      Pues ahora no te sigo. La respuesta para cualquier número de bandas es única, creo yo. Siempre que los rebotes sean consecutivos de 1 en 1, claro.

      • Rogelio

        Vaya, superpanzeta, estas muy rapido.
        Pues yo insisto en que para 6 bandas hay 2 soluciones,
        y mas aun, para 10 bandas habria 3 soluciones, y suma y sigue

        • Superpanzeta

          Cuenta, cuenta… o mejor espera a que cumpla el plazo para no estropear el desafío.
          Yo diría que te equivocas, pero confío en tu visión original más que en la mía, así que espero sorprenderme.

        • Superpanzeta

          Ahora lo he visto. Tienes razón. Menos mal que el original sólo tiene 3 rebotes, que si no lo tendría mal por incompleto.

  13. Superpanzeta

    Por cierto, en desagravio previo al próximo desafío, ya he enviado otro para cuando toque.
    ¡Ánimo a los indecisos!

  14. jabon

    No os puedo decir mucho porque me acabo de despertar de una siestecilla.
    A priori hay una secuencia a 0-3-6-9… bandas, y otra a 1-4-7-10…
    Pero vamos, que habría que estudiarlo detenidamente.

    • jabon

      Por supuesto que otra a 2-5-8….
      Bueno, acabo de enviar un nuevo desafío, espero entretener a alguno.
      Está inspirado en un jueguecillo que vi en una ocasión, con otro formato y estudio distinto. Hasta podría darse el caso de que mi respuesta no estuviese bien, será una forma de participar.

  15. Sebas

    Creo que no hay demasiado problemas a una banda, dos bandas, tres ,cuatro….¿alguien lo ha probado a una banda pero en vez de recta circular? Analiticamente lo he resuelto pero geometricamente se me resiste
    Saludos

  16. Sebas

    Bueno.. todo se centra en la igualdad de angulos en los rebotes (rayos reflejados) por lo que no hay demasiados inconvenientes para mi en el rebote a una banda, dos, etc y la posición de estas bandas y su orden. Ygualmente si los rebotes fueran de una pelota en paredes en un espacio 3D. Como decia geometricamente no tengo demasiada dificultad, pero si el rebote es en una pared circular 2D o esferica 3D en vez de recta o plana, lo he resuelto analiticamente (un rollo) pero se me resiste geometricamente (el punto donde debe reflejarse). De todas formas no tiro la toalla
    ¿He aclarado algo de mis insinuaciones? ¿O lo he liado mas?
    Saludos

  17. Sebas

    Un caso concreto: Supongo una mesa de billar circular de 1 de radio con 2 bolas en ella, el problema que estudio es calcular el ángulo del taco para que al dar a una bola rebote en la banda y de a la otra bola. Analiticamente para mi este ángulo es solución de una ecuación de 2º grado, por lo que pude tener solución o no dependiendo de las posición de las bolas. lo he simulado con GeoGebra y me lo confirma
    De momento el calcular este ángulo geometricamente es mi problema, desconozco si se ha resuelto o no.
    Saludos

    • jabon

      Intento no ser muy explícito, porque todavía alguno puede no tener la solución al actual.
      ¿Supongo que conocemos las coodenadas de ambas bolas?, Puedo unir dos puntos con una recta (ya sabemos a cuales nos estamos refiriendo…) y sabré la función lineal de grado uno, con esas dos referencias, incluso la tangente de ese ángulo por el coeficiente de x; ello también me ayuda a saber los grados de esa línea respecto a la horizontal, de ahí el ángulo del golpe está ya a la vista.
      No sé si lo que comento prueba que te he entendido, o he visto un problema diferente al que planteas.

    • Maito

      Sebas, no entiendo bien tu problema. Si ponemos el eje de coordenadas centrado en centro de la mesa y con eje de ordenadas cortando perpendicularmente por el centro el segmento que une las dos bolas, puedes calcular siempre una solución ¿no?
      Las bolas ocuparán (-x0, y0) (x0, y0) y la bola debe rebotar en (0,1) con lo que la tangente de la mitad del ángulo será x0 / (1 – y0).
      Volviendo al billar triangular, me parece complicado encontrar las fórmulas generales a n bandas, según aumenta n, aunque la simetría indica que debería haberlas.

      • José Luis

        Lo de la mesa circular me parece endiablado, estoy empezando a trastear y no sé ni por donde empezar. Ahora probaré con los ejes de coordenadas que indicas.
        Con el billar triangular, tengo la fórmula a n bandas para n>=0 y entero, cuando se dé la solución al problema podré saber si lo tengo bien. No he podido comprobar si mi solución para n bandas es la única o no.

  18. JC

    Yo estaba aún con el problema original, que era un poco rollo como lo había resuelto, y ahora ya he dado con la forma bonita, creo.
    De esta forma ya entiendo los comentarios de resolverlo para 2 bandas, 3 bandas (el original), 4 bandas,…, n bandas (ó n rebotes, como lo queramos llamar).

  19. Sebas

    Maito: Efectivamente el centro de la mesa (circular) en el centro de coordenadas, con las bolas en cualquier posición la perpendicular al segmento que las une no pasa necesariamente por su punto medio, por lo que tengo dificultad para su estudio con regla y compas, pero analiticamente para mi la pendiente de la recta dirección (taco), como he comentado anteriormente, puede tener solución o no.
    Volviendo al triangular, para mi , la solución pasa por la resolución de un triángulo, he de confesar que estudiando el circular no he estudiado la forma general para “n” bandas, que igualmente se podria hacer en otros poligonos
    Saludos

    • jabon

      Estoy viendo un partido, pero veo la solución gráfica.
      Se forma un paralelogramo, todos sabemos como. Luego hay que hacer un giro para que el cruce de diagonales, coincida con eje vertical de circunferencia. De ese modo garantizamos la trayectoria correcta, ahora ya a sacar cuentas de como quedan los nuevos puntos, con el giro, y ya se podría sacar la tangente de la recta, como dije antes.

  20. Sebas

    El número de visitas al “blog” esta subiendo (no he estudiado su función)….
    ¿esto es bueno o malo?

  21. Sebas

    Respecto al billar circular, cuando afirmo que puede tener solución o no me refiero a la exigencia de una banda u otra (la banda hace referencia a un semicirculo), si no hay restricción de parte del semicirculo existe siempre solución
    Saludos

  22. Divagante

    Bueno. Vislumbrada la solución y solucionado. Muy bonito.

  23. José Luis

    Si no se puede repetir banda, y con un número de rebotes igual al número de bandas, la solución con mesa hexagonal es inmediata. Para mesa cuadrada todavía no la he encontrado, se me repite una de las bandas, y en la otra no reboto.

  24. Joooooooooodeeeeeer, el sábado por la noche estuve una hora entera llegando una y otra vez a una única conclusión (alfa=gamma; alfa+beta=60, alfa=gamma; alfa+beta=60, alfa=gamma; alfa+beta=60, alfa=gamma; alfa+beta=60, alfa=gamma; alfa+beta=60…) ¡por 17000 caminos distintos! hoy en un minuto he ampliado mis fronteras (o las de la mesa, según se mire) y he visto la luz (si fuera judío esto aún sería más cierto). Muy, muy bonito. Ahora me queda lo rutinario, la idea ya está pillada.

  25. JC

    Por ver si nos cuadra, podemos hacer eso que hacéis a veces de poner un número mayor… En el problema del triángulo (el original es con 3 rebotes),
    con 099 rebotes la carambola mide 100,0…
    con 100 rebotes la carambola mide 101,0…
    con 101 rebotes la carambola mide 102,0…

    • Superpanzeta

      Pues sí, para la solución más “directa” me salen ésas, pero ten en cuenta que dependiendo de n, a veces hay más soluciones (longitudes diferentes). No he comprobado si es el caso para 99, 100 ó 101.

  26. jabon, hoy a lo largo de la tarde te mandaré un pequeño reportaje fotográfico con la solución, ¡toma ya!

  27. jabon

    Gracias Santi, y a todos en general. Es de agradecer recibir vuestras respuestas.
    A veces resulta latoso proponer un desafío, pero es muy gratificante ver cómo participa la gente, ya sea en el debate o enviando respuestas.

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