Solución Desafío 40+8: Rebajas de Pintura 2012


Escribe Superpanzeta:

Bueno, se ha acabado mi primer desafío.
He de reconocer que ha sido muy divertido. He tenido momentos de euforia, de pánico, de desconcierto… pero ha estado muy bien.

Esta semana ha habido 13 participantes que han enviado una o más respuestas, más 1 que ha acertado incluso sin haber enviado nada. En total 14.
De ellos, han acertado 5. (¡3 de ellos durante los últimos minutos!).
No tenía ni idea de que el desafío iba a resultar tan difícil. De verdad.

LA SOLUCIÓN:
Aquí tenéis la tan esperada solución.
P1- 10 botes de pintura. Base -6, número 23212.
P2- 2 botes de pintura. Base 2011, número 11.
P3- 5 botes de pintura. Base 670, número 32.
P4- 4 botes de pintura. Base 1005, número 22.

Como habréis observado, la mejor base CON MAXIMO 10 no es 6, sino -6.
Si os fijáis en la frase “empieza explorando bases pequeñas y va subiendo hasta la base 10 incluida” no se especifica el límite inferior para ir probando bases.

La mayoría habéis supuesto que el rango a explorar para la primera pregunta iba desde 2 hasta 10. En realidad, en ningún sitio se establece límite inferior alguno.
Y en las otras preguntas, tampoco hay límite inferior. Pero curiosamente, al elevar el límite superior, la base -6 ya no es la mejor. Esta situación tan conveniente para el desafiante, ha despistado profundamente a alguno.

Ahora entenderéis mis pistas sobre las “rebajas”, ampliación de horizontes, límites mentales innecesarios, etc.
Pistas insuficientes, por lo visto. Lo siento. No quería ser muy duro. De no haber habido acertantes (y ha faltado poco), habría terminado dando la solución a base de pistas, y no habría habido desafío alguno.
Había pensado incluso en anularlo todo, pero al final ha salido bastante bien. Parece que a los acertantes les ha gustado. Ya diréis los demás.

Los límites REALES a las bases según el enunciado serían 2012 por arriba, y -2012 por abajo. No es necesario explorar más allá porque aparecen digitos de valor 2012 que no se admiten.
Naturalmente, entre estos dos límites hay siempre un agujero de anchura 3 formado por las bases 1, 0 y -1 que no se pueden usar. Este agujero ha sido una barrera infranqueable para casi todos.
Confieso que yo hice las exploraciones con ordenador, y como ir probando las bases a mano hasta 1000 y 2000 es mucho pedir, dí a las preguntas 3 y 4 carácter secundario y os sugerí usar ordenador.
Jabón ha demostrado que no era necesario ni mucho menos.

La parte difícil del desafío consistía, pues, en probar las 9 bases positivas e ir probando algunas negativas. En la práctica, la base -6 resulta la mejor de todas las negativas hasta -2012.
Probar todas esas a mano es también mucho pedir, pero afortunadamente el caso -6 aparece muy pronto, y aunque siempre quepa la duda de si habrá otra mejor más abajo (no la hay), la respuesta hubiera sido igual de buena.
Naturalmente, si tenemos preparado un programa u hoja de cálculo compatible con bases negativas, podemos usarlo para explorar desde -2012 hasta 2012 para confirmar el evidente mínimo absoluto, y explorar los otros rangos positivos para las otras tres soluciones sin pensar lo más mínimo.
Después de todo lo importante no era hacerlo a mano o a máquina. Lo importante era la idea, y sin ella no había manera de obtener la respuesta.
Y este es el resumen de mi desafío. Espero que os haya gustado y sorprendido tanto como a mí cuando descubrí las bases negativas en el libro “Rosquillas anudadas” de Martin Gardner, que supongo más de uno tendréis.

NOTA SOBRE LOS ALGORITMOS:
Tengo que explicar aquí que mis comentarios sobre las herramientas informáticas adecuadas se deben al hecho de que en muchos lenguajes de programación hay funciones de conversión entre bases, pero normalmente son tan limitadas que no contemplan las bases negativas.
Lo mismo se puede decir de los procedimientos con lápiz y papel o con la hoja de cálculo:  si no se ha previsto la existencia de bases negativas, ningún algoritmo permitirá usarlas correctamente.
Por supuesto, y más importante, hay también que vencer la barrera mental que no permite bajar de la base 2. Por mucho que tengamos un conversor de bases apropiado, si no se nos ocurre preguntar por las bases negativas, no van a aparecer.

El algoritmo típico que consiste en ir dividiendo por la base sucesivas veces y guardando los restos falla miserablemente con las bases negativas porque produce restos negativos.
Adaptarlo es muy sencillo. Cuando se produzca un resto negativo, se añade 1 al divisor, y eso provoca que al resto se le sume el valor absoluto de la base, convirtiéndolo en positivo.
La lista de restos de abajo arriba (como es habitual) es el resultado en base negativa.
Hay un apartado en la página de la Wikipedia sobre bases negativas (en inglés, sorry) que explica el problema de los restos negativos en los programas que usan el algoritmo de división.
La Wikipedia achaca el problema al redondeo de los lenguajes de programación, cuando en realidad ¡los seres humanos tenemos el mismo problema!

EL MEDALLERO:


MEDALLA DE ORO (Respuestas correctas por orden de llegada) ex aequo:
JC
Angel
Ave
Jesús Chus
Larimar

MEDALLA DE PLATA (Mención especial honorífica):
Divagante
Jabón
Maito

MEDALLA DE BACON (Se clasifican automáticamente para la siguiente ronda de desafíos)
Por orden de llegada después de quitar las medallas de plata:
ELPRIMO
José Luis Sánchez del Villar
Rogelio
Alfalfa
Sebas
Pardillano

ELIMINADOS EN EL CONTROL ANTIDOPING:
¡No, es broma!

DESGLOSE DE LAS MEDALLAS DE PLATA:
A Divagante, por varios motivos:
Por su “ojo clínico”. Atentos al primer comentario que recibí: “El primero es fácil”. Ahí es nada. Mucho mejor que la bruja Lola.
Por acercarse peligrosamente a la solución sin siquiera darse cuenta. Habla de bases decimales (que son un concepto en cierto modo más complicado que la solución), e incluso habla de base 1.
Es curioso cómo Divagante es capaz de romper la barrera mental inferior de la base 2 que muchos no pudieron romper, sólo para estrellarse con el 0 y no atreverse a seguir por el otro lado.

A Jabón:
Por su análisis manual de las bases grandes, por su persistencia hasta el final a pesar de decir que abandonaba, por la respuesta más cercana a la solución de todas las que he recibido,  y sobre todo, por su inspiración y apoyo inestimable en la sombra durante mis momentos difíciles.

A Maito:
por hacerme reír con su propuesta de dar la vuelta al número para que se caiga un cero.

FICHEROS:
Aquí tenéis la solución correcta de JC, que fue la primera y la mejor presentada: PON EL ENLACE, SANTI (Desa48_JC.pdf)
Junto con su hoja de cálculo: PON EL ENLACE, SANTI (Desa48_JC.xls)
Y el último intento de Jabón, que ha fallado por muy poco la pregunta 1, y ha sido el mejor en mi opinión contestando las otras tres: PON EL ENLACE, SANTI (Desafio_bases_Jabon.doc)

CURIOSIDADES:
Como bien comenta JC en su solución, los números negativos escritos en bases negativas no necesitan signo. Esto puede ser de utilidad en informática.
Los números enteros escritos en bases negativas tienen representaciones únicas, cosa que no sucede con las bases positivas. Sin ir más lejos, recordad el desafío 40+5: 1 = 0,9999999999

ACERCA DE LA SOLUCION:
Como podéis ver en la red, hay un universo bastante grande de bases disponibles: fraccionarias, imaginarias, complejas, y con seguridad algunas otras hierbas exóticas.
Me gustaría destacar aquí el hecho de que al limitar el cartel del desafío al conjunto de cifras de 0 a 9 sin permitir ningún otro símbolo o signo, estaba intentado suprimir expresiones en las que aparecieran comas decimales o letras i (la raíz de -1).
Con esto pretendía (sin mucho éxito) eliminar las bases fraccionarias e imaginarias, y quedarme sólo con las bases enteras (positivas y negativas).
Ya me imaginaba que podría no estar en lo cierto, pero tenía cierta confianza en que la única solución compatible fuera la base -6.
Ahora he visto que no siempre aparecen las comas o las i. Por ejemplo, usando como base 2i, se pueden representar todos los enteros, imaginarios y complejos con sólo los dígitos 0, 1, 2 y 3. ¡Y sin ningún signo!
La verdad es que todo esto deja abierta la posibilidad de mejorar mis resultados de base -6, por lo menos en teoría. Los ejemplos que hay en la Wikipedia sobre la base 2i parecen tener siempre muchos ceros, así que igual no son buenos candidatos para destronar la base -6. Tal vez algún día lo averigüe. De momento, doy por buena la base -6.

Y nada, ya sólo queda daros las gracias a todos y deciros que espero hacerlo mejor la próxima vez. 
Me despido desde este lado de los desafíos hasta muy pronto.

ARCHIVOS:

Desa48_JC
Desa48_JC
Desafio_bases_Jabon 

Muchas gracias a todos por seguir manteniendo el Blog calentito y en especial a Superpanzeta por su dedicación esta semana. Espero poder sacar tiempo para siguientes desafíos.

Próximo desafiante: maito.

 

NOVEDAD: La organización, de común acuerdo con Superpanzeta, desafiante de “Rebajas de Pintura 2012” ha acordado rechazar sin paliativos la renuncia de Pardillano a su bien merecida medalla de Uranio. Aquí os colgamos un archivo magnífico realizado por nuestro radiactivo concursante:
Desafio 48 Rebajas pintura 2012 _ Solucion Incorrecta Pardillano

25 comentarios

Archivado bajo OTROS

25 Respuestas a “Solución Desafío 40+8: Rebajas de Pintura 2012

  1. Pardillano

    Puestos a elegir bases que no sean naturales, ahí va la respuesta correcta:
    Pregunta 1. El mínimo número de botes para escribir 2012 en una base menor que 10 es 5, correspondientes a escribir 11111 en base B, donde B es la solución de la ecuación B^4 + B^3 + B^2 + B + 1 = 2012 que tiene un valor aproximado de 6,419967.
    Pregunta 2. Sigue siendo la misma (2 botes en base 2011)
    Pregunta 3. El mínimo número de botes para escribir 2012 en una base menor que 1000 es 3, correspondientes a escribir 111 en base B, donde B = -1/2 + RAIZ(8045)/2 = 44,34696….
    Pregunta 4: El mínimo número de botes para escribir 2012 en una base menor que 2000 es 3, que podemos escribiendo 111 en base B = 44,34696…. o también escribiendo 21 en base B = 1005,5.
    Si te interesa, Superpan, te envío el desarrollo en Word. Lo había preparado para enviarlo como respuesta pero me corté a ultima hora porque me pareció demasiado friki.

    • Superpanzeta

      Sí señor. Insuperable. Lo único malo es que Divagante me obligó a admitir en un comentario que la base era entera. A partir de ese momento, creo que ya no es justo adherirse sólo al enunciado.
      Si no fuera por eso sería la respuesta perfecta, ya que cumple perfectamente con el enunciado y es muy superior a la mía.
      Mándaselo a Santi y que lo cuelgue por aquí, al final de mi “respuesta”.

      En cualquier caso, medalla de Uranio para Pardillano.
      No tenías que haberte cortado, hombre.

      • Pardillano

        Gracias por el elogio, Superpanzeta, pero he de confesar que mi solución con base fraccionaria es incorrecta. Se puede desarrollar cualquier número como sumas de potencias de una base fraccionaria multiplicadas por unos coeficientes, pero este desarrollo no es una base.

        En cualquier caso, he enviado la solución, que incluye una explicación más detallada de por qué es incorrecta a desafiossanti@gmail.com, para que puedas leerla tu aunque no se publique en el blog.

        • Superpanzeta

          Pues por orden del desafiante te quedas la medalla.
          Aunque no sea por mejorar mi respuesta, será por algo mucho mejor: por iluminarnos a todos, empezando por mí. Tu explicación detallada es buenísima y le he pedido a Santi que la cuelgue para que todo el mundo vea que te la mereces.

          Un abrazo

          SuperPanZ

        • Superpanzeta

          Estaba pensando que si tu principal motivo para descalificar como bases las bases fraccionarias es la no unicidad de las representaciones, la base 10 (o cualquier base natural) tampoco sería una base, ya que como dijimos hace 3 desafíos, 1=0,9999999999…
          ¿O esto no se considera una representación múltiple?
          Por lo visto esto no pasa con las bases negativas, aunque no entiendo por qué.

  2. JC

    Me gusta esta solución alternativa, que consigue las bases más económicas. Pero se dijo en un comentario que B era entero….

  3. Maito

    Mi primera impresión al ver el desafío fue que era un poco simple y que se limitaba a calcular a lo bruto. Muchas horas despues de intentar calcular con bases decimales, sustrituyendo ceros por la base y restando uno a la izquierda, girando los números, iterando la base 7 dos veces, y otras ocurrencias que ni siquiera me atreví a comentar con Superpanceta, y sin llegar a buen término, no queda más que felicitar a los acertantes y a Hiperpanceta.

  4. jabon

    Muy bonito. Me reenganché tarde, aunque ya tenía la idea clara, cuestión de tiempo. Y fue por el 1987, no por otra cosa.
    Reconozco que en un principio llegué a pensar que era una de tus bromas. Pido disculpas, pero tenía motivos porque tu sentido del humor siempre está a flor de piel.
    En su momento llegué a analizar también, los casos de posibles “dos dígitos” por orden, y no mejoraba en ningún caso, las otras preguntas; con negativos no puedo estar muy seguro pero creo que tampoco. Mentalmente no es difícil sacarlo.
    Con Ruffini, se veía muy pronto la cosa porque el 2011 (2012-1), es un número primo y para coeficientes pequeños no hacía falta operar.

  5. Divagante

    Pasmado me he quedado. Felicidades Super

  6. alfalfa

    Bases negativas… Ni por lo más remoto se me hubiera ocurrido esa salida. Felicidades SuperPanzeta. Y muchas gracias por ampliarnos los horizontes.

  7. Superpanzeta

    Estoy encantado con el resultado.
    Estaba casi seguro de que le tenía que gustar a alguien. Si además alguien ha aprendido algo, me doy por más que satisfecho.
    Me siento un poco mal por Pardillano, que me ha dado sopas con honda y encima de una forma muy sencilla. ¿Véis por qué decía que el desafío era chapucero?
    Está claro que el concepto clave del desafío merecía un planteamiento mejor, pero es lo único que se me ocurrió.
    La verdad es que la idea era merecedora de algún problema en algún libro (no tengo constancia de que tal problema exista), y de ahí que yo ideara todo esto.

    Gracias a todos.

    P.D. Santi, ¿puedes añadir la medalla de Uranio al medallero?

  8. De letras

    ¿Como diferenciar el 11 del 2012 en esa base 2011 ? . ¿Se representan igual?. Igual con 32 en 670 y 22 en 1005. Yo no lo entiendo. Si la base tiene 4 dígitos (2011) el 2012 sería 10001. Vamos… 2009, 2010, 10000,100001. O lo tengo mal entendido.

    • Ángel

      Base 10 son diez símbolos diferentes. Base 16 son dieciséis símbolos diferentes. Como solo tenemos diez símbolos arábigos los complementamos con letras: A,B,C,D,E,F. Y se cuenta así:1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11…19,1A.1B,1C,1D,1E,1F,20
      El 11 (base diez) se escribiría B en cualquier base mayor de once.
      En tu ejemplo: “símbolo que representa 2009”, “símbolo que representa 2010”, 10,11,12,13
      Si las base es diferente de 10 hay que indicar su valor con un subíndice del número.
      10 siempre es el valor de la base.

    • José Luis

      Yo lo que he visto usar es un punto y coma ‘;’ entre las cifras.
      En base 2011, sería así:
      11: el símbolo 11, que representa al número 11
      1;1: dos símbolos 1, que juntos representan el número 2012
      Y además, como dice Ángel, lo suyo es poner la base en subíndice.
      PD: Y no, mi hobby no es contar en bases raras, es por un libro buenísimo que leí llamado ‘La Cresta del Pavo Real. Las matemáticas y sus raíces no europeas’. Os lo recomiendo.

  9. De letras

    Base 10, 10 símbolos. base 8 , 8 símbolos . Base -6 ?. ¿Cuántos símbolos tiene ?. Gracias de antemano por la respuesta

    • jabon

      Es una pregunta muy interesante porque a mí me trae otra a continuación.
      ¿Y en el caso de la base 6,00000001 por citar otro ejemplo?
      Para ser de letras, no está nada mal tu pregunta.

  10. JC

    En base -6 hay 6 símbolos (0, 1, 2, 3, 4 y 5).
    Sobre bases negativas está bien este enlace (está en inglés)…
    http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_base

    o éste otro sobre bases en general
    http://mathworld.wolfram.com/Base.html

  11. jabon

    Pardillano, muy, muy, bien. Yo no sé escribir esas cosas tan interesantes.

  12. Divagante

    Sobresaliente para pardillano. Solo una aclaración a su base “erronea” segun mi punto de vista.
    Nos obstinamos en ser mecánicos y como siempre los coeficientes han sido enteros pretendemos que sigan siendolos. Los coeficientes en base 7/3 no son ni 2 ni 3, son 0/3,1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3 y 6/3

    Asi, por ejemplo, el número 35 en base 7/3 es (6/3)(4/3)(3/3)(0/3)

    Este desafio dará que hablar.

  13. Anónimo

    oi amor tu bem como voce

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