Soluciones Desafío 50: La lámpara


Como sabéis últimamente tengo que estar ausente. Parece ser que esta semana no ha habido seguimiento por parte del desafiante. Me comenta Maito (gracias por tomar la iniciativa) que ha habido dos corrientes:

1.-quienes pensaban que el planteamiento no era correcto porque se produce una paradoja con la cardinalidad Alef cero de los números y

2.-quienes han planteado el problema obviando este problema de infinitud.

Aquí están vuestras respuestas y la solución que me mandó Pixe en su día junto con el desafío (nunca llegué a mirarlo, pensaba que podría ponerme con él cuando tocase…)

Primos PIXE

D50 Jabon
D50 JC
D50 Jose Luis
D50 Jesus Chus
D50 Maito(doc)
D50 Maito(xls)
D50 Pardillano
D50 Ángel
D50 Kaleidoscope

El jueves vuelve a desafiar Superpanzeta. Hasta entonces.

21 comentarios

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21 Respuestas a “Soluciones Desafío 50: La lámpara

  1. Kaleidoscope

    Hola, no sé si ha sido por error u omisión y tal como acabo de mandar un mail, agradecería me indicaráis porqué mi solución enviada no es válida.

    Gracias y un saludo,
    Kaleidoscope

  2. JC

    Parece que para la tercera pregunta hemos tenido 3 posibles interpretaciones (1-alcanzar exactamente una fracción de luminosidad dada; 2-superar una fracción de luminosidad dada; 3-aproximarse todo lo que se quiera a una fracción de luminosidad dada).
    La verdad es que aún no entiendo bien por qué cuando quitamos los múltiplos de 2 ó 3 por ejemplo, de los números que quedan los múltiplos de 5 siguen siendo 1 de cada 5…

  3. Kaleidoscope

    Mi respuesta:
    Supongamos que en la lámpara hay un número enorme, pero finito, de números.

    1) Familia del 1: Se encienden todos (100%)

    2) Familia del 2: Al activar los pares, se encienden la mitad (ahora sí, si el número total es finito, entonces los pares son la mitad) – > 50%

    3) Familia del 3: Uno de cada 3 números es múltiplo de tres. Pero de ellos, la mitad son pares. Así que esta familia tendría 1/(2×3) = 1/6 = 16.666…%

    4) Familia del 5: Uno de cada 5 números es múltiplo de 5 (1/5 del total). De ellos, la mitad son pares, quedan 1/(2×5). De los que quedan, uno de cada tres es múltiplo de 3, quitamos ese 1/3 y quedan 2/3: (2/3)×(1/(2×5)) = 2/30 = 6.6666…%

    5) Familia del 7: Uno de cada 7 números es múltiplo de 7 (1/7). De ellos, la mitad son pares, quedan 1/(2×7). De los que quedan, la tercera parte son divisibles por 3, quedan 2/3, (2/3)×(1/(2×7)). De los que quedan, la quinta parte son divisibles por cinco; quedan 4/5, (4/5)×(2/3)×(1/(2×7)) =(2×4)/(2×3×5×7) = 3.81%

    6) Familia del 11: Repitiendo el argumento, nos queda una fracción (2×4×6)/(2×3×5×7×11) = 2.08%

    7) Familia del 13: (2×4×6×10)/(2×3×5×7×11×13) =1.6%

    8) Familia del 17: (2×4×6×10×12)/(2×3×5×7×11×13×17) =1.13%

    9) Familia del 19: (2×4×6×10×12×16)/(2×3×5×7×11×13×17×19) =0.95%

    10) Familia del 23: (2×4×6×10×12×16×18)/(2×3×5×7×11×13×17×19×23) =0.74%

    ….

    11) Fórmula general: Dado el n-ésimo número primo P(n), la proporción de números que pertenecen a su familia, que llamaremos Q(n), viene dada por
    Q(n) = (1/2)×(1/3)×[Prod( (P(j) – 1)/P(j)]
    en donde “Prod” indica: “producto de lo que sigue para j variando desde 5 hasta n”.

    Si sumamos todas las proporciones hasta la familia del 23, obtenemos un total del 83.64%

    Este sería el resultado. Pero eso sí, siempre que el conjunto de números en la esfera sea finito, de lo contrario, todas las familias harían brillar igual la esfera (al 100%) ¡aunque habría números sin encender!

  4. Kaleidoscope

    La enviada, claro está.

    Un saludo,

  5. Kaleidoscope

    Otro enfoque que mandé:

    EL enunciado dice que todos los números naturales que tienen un mismo divisor mínimo diferente de 1, pertenecen a la misma familia.
    Entonces:
    1) Los pares son todos de la misma familia, porque tienen como mínimo divisor al 2.
    2) Todos los múltiplos de 3 no pares son de la misma familia (y no de la anterior) porque tienen como mínimo divisor común el 3
    3) Todos los múltiplos de 5 que no son pares o múltiplos de 3 son de la misma familia (y no de las anteriores) porque tienen como mínimo divisor común el 5.
    4) Dado un número primo cualquiera (por ejemplo el 11 o el 23), su familia está compuesta por todos los números que se obtienen multiplicando dicho número por combinaciones arbitrarias de todos los primos mayores o iguales que él.
    Por ejemplo:
    11
    11×11
    11×13
    11×17
    11×19

    11×11×11
    11×11×13

    5) Si un número no es primo, entonces pertenece a una familia anterior a él, ya que tiene al menos dos divisores más pequeños.
    6) Como el número de primos es infinito, todas las familias están compuestas por un número infinito de números.

    La cuestión de la intensidad de luz: por un lado, estaríamos tentados a decir que al activar la familia de los pares, la esfera brillaría la mitad, ya que “la mitad de los números son pares”. Pero esto no es verdad, es una de las propiedades aparentemente contradictorias de los conjuntos de cardinalidad infinita, pero es demostrable matemáticamente:
    Según la teoría de Cantor, si puedo establecer una aplicación biyectiva entre todos los elementos de dos conjuntos infinitos, entonces los dos conjuntos tienen “el mismo número de elementos” o dicho con rigor matemático, tienen la misma cardinalidad “aleph”. Por ejemplo, los pares y los naturales se pueden poner en correspondencia biyectiva:
    1 — 2
    2 — 4
    3 — 6

    De esta forma cada número par tiene asociado un único número entero y viceversa. Por extraño que parezca, la lámpara brillaría igual activando todos los números o activando solo los pares.
    Y de la misma manera, el número de primos mayor que un primo dado es infinito, con la misma cardinalidad que los números naturales (que se llama aleph-0). La lámpara habría que brillar siempre igual, al 100% sea la que sea la familia que se active.

    NB: Ambas enviadas dentro del plazo.

  6. Kaleidoscope

    Y http://es.wikipedia.org/wiki/El_hotel_infinito_de_Hilbert

    Saludos y enhorabuena a los acertantes. Y también al autor del desafío.

  7. Kaleidoscope

    Que conste que todos mis comentarios son con sumo respeto.
    Un saludo,

  8. Superpanzeta

    Kaleidoscope, desde luego que tus respuestas no son incorrectas (y aunque no contestas a la tercera, tampoco lo hace el desafiante).
    Lo que ha pasado es que el desafiante, que es quien tenía que “corregir”, comentar y seleccionar las respuestas, no ha aparecido.
    Supongo que al final habrá tenido que ser Santi (el jefe) quien haya recuperado (sin evaluar) todas las respuestas enviadas, y la tuya se ha traspapelado.
    Veo que ya está en la lista junto a las demás.

    Menos mal que Pixe no cambió la contraseña de la cuenta de los desafíos (o quizá se la dijo a Santi antes de desaparecer), porque si no habríamos perdido el acceso para siempre.
    Esperemos que Gerardo/Pixe esté bien y vuelva cuando pueda.

  9. JC

    Kaleidoscope, pienso que sí tiene sentido hablar de que el “porcentaje” de los pares es 1/2, aunque ambos conjuntos (“sólo los pares” y “todos los naturales”) tengan en mismo cardinal (aleph-0).
    Como el límite cuando N tiende a infinito del cociente
    [ (número de pares menores o iguales a N) / N ]

    De la misma forma que se estudia el cociente de los primos sobre los naturales π(N) / N
    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_contador_de_n%C3%BAmeros_primos

    • Maito

      Esta semana no ha habido seguimiento, así que como yo fui el último y no se había cambiado la password, anoche entré y remití todas las respuestas a Santi para que las colgase, pero por error se quedó la de Kaleidoscope sin colgar. Ahora si lo está. No se ha hecho ninguna validación sobre las respuestas, las cuales, por cierto creo que son todas correctas según la interpretación de cada cual.

    • Kaleidoscope

      JC, una cosa es contar (cardinales) y la otra es medir (teoría de la medida). Efectivamente, establecer una medida en el conjunto de números naturales puede ser una cosa muy delicada, pero difícilmente negable de que la mitad de los números naturales son pares.

      Volviendo con el enunciado: creo que sería más delicado uno del tipo “calcula la probabilidad que dos números naturales cogidos al azar sean primos entre sí”, y sin embargo también nos atreveríamos a contestarlo…

      Un saludo,

  10. Pardillano

    Según el argumento de Kaleidoscope, como el número de naturales encendidos cuando solo se activa el interruptor del 2 tiene la misma cardinalidad “aleph” que el conjunto de los naturales, hay el mismo número de naturales encendidos que el conjunto de naturales. Por tanto la esfera brillaría con la misma luminosidad que si están todos encendidos, es decir, el 100%.

    Por la misma razón, prosigo yo, como el número de naturales apagados cuando se activa solo el interruptor 2 tiene la misma cardinalidad “aleph” que el conjunto de los naturales, la esfera brillaría con la misma luminosidad que si están todos apagados, es decir, el 0%.

    De lo que se deduce que es una lámpara cuántica. Está encendida y apagada al mismo tiempo como el gato de Schrödinger.

    Respecto a la pregunta 3, yo dejaría la respuesta así, para que todos tengamos razón:

    – No es posible alcanzar cualquier fracción de luminosidad encendiendo un número FINITO de interruptores.

    – Si es posible si encendemos un número INFINITO, seleccionado adecuadamente. La suma de la serie podría dar un valor irracional, por ejemplo, que no se puede alcanzar con la suma finita.

    Para mostrar esto último, suponed que se dejan los interruptores encendidos o apagados alternativamente. El del 2 encendido, el del 3 apagado, el del 5 encendido, el del 7 apagado, etc. No tengo ni idea de que luminosidad saldrá ni de como calcularla, pero apostaría a que no es un número racional.

  11. Anónimo

    Muchas gracias por vuestras respuestas y aceptad mis disculpas.
    Un saludo,

  12. Kaleidoscope

    Muchas gracias por vuestras respuestas y aceptad mis disculpas.
    Un saludo,

  13. Kaleidoscope

    Una puntualización sobre el desafío y tal como lo entendí. Se pretende que se calculen las proporciones en las que se encuentran las familias asociadas a cada número primo, planteándolo con infinitos números, y en ese caso las proporciones desaparecerían.
    Todos los infinitos Aleph-0 son igual de infinitos, y todas y cada una de las familias asociadas a cada primo son aleph-0. El enunciado dice que la luminosidad sería “dispar” y creo que no es así. En mi humilde opinión si se hubiera planteado con una cantidad finita de números no hubieran dado lugar a dudas.

    De todas formas ha sido un desafío interesante y la manera de plantearlo muy curiosa.
    Un saludo,

  14. Kaleidoscope

    Ese “Anónimo” soy yo.
    Sin querer no puse mi nombre.

  15. suschus

    Estoy de acuerdo con Pardillano en que si nos dejaran seguir encendiendo familias de primos sin poner un límite, nos podríamos acercar todo lo que quisiéramos a cualquier intensidad lumínica.
    Pero lo que no había visto es lo que descubren Maito y JC, que las aportaciones de cada familia son fracciones con factores primos no repetidos en el denominador, y por tanto nunca se conseguiría exactamente 1/2^2.
    Enhorabuena.

  16. Kaleidoscope

    Una cosa es contar -cardinales- y la otra es medir -teoría de la medida- Efectivamente, establecer una medida en el conjunto de números naturales puede ser una cosa muy delicada, pero difícilmente negable de que la mitad de los números naturales son pares.

    Volviendo con el enunciado: creo que sería más delicado uno del tipo “calcula la probabilidad que dos números naturales cogidos al azar sean primos entre sí”, y sin embargo también nos atreveríamos a contestarlo…

    Un saludo,

  17. Kaleidoscope

    Como dice Superpanzeta: “Esperemos que Gerardo/Pixe esté bien y vuelva cuando pueda”

    Un saludo,

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