SOLUCIÓN DESAFÍO 54: EL ASTRÓNOMO Y LA CERVEZA


Escribe Alfalfa:

La astronomía es algo que siempre me ha llamado la atención pero a la que nunca he dedicado el tiempo que desearía. Por eso de hacer unos pinitos, un día me planteé si sería capaz de calcular las horas de sol que tendría un lugar cualquiera. La solución para las posiciones más favorables (los solsticios) era geométrica y muy sencilla, y decidí que se podía plantear como parte de la serie de desafíos que nos estamos proponiendo.



Mi ignorancia en este tema es más bien grande y contribuciones como la de Sebas o SuperPanZ me han servido para ampliar mi vocabulario astronómico con palabros como “ángulo horario” o “terminador”. Espero que al resto les haya servido para despertar su curiosidad por la astronomía. Quién sabe si se ha despertado una nueva afición en alguno.

Con respecto a las soluciones, todos hemos seguido el mismo camino: vista lateral de la tierra seguida de una vista desde el polo norte, un poco de trigonometría básica y a preparar pedidos a la cervecera.

A los recién licenciados astrónomos: hay que tener cuidado porque la duración del día es mayor que la que hemos calculado por culpa de la refracción de la luz en la atmósfera y que el sol es una esfera y no un punto de luz. Es mejor contar con que tenemos quince minutos más de sol y no dejar a los parroquianos, que no hay nada peor que dejar a la gente a medias.

Para calcular la duración exacta, Sebas mencionó unas “ecuaciones de Spencer”. ¿Sabes qué fundamento hay tras ellas? Creo que resultarían muy interesantes para completar la solución.

A todos, gracias por participar aportando desafíos, soluciones y comentarios: esta serie está siendo de lo más instructiva. Y a Santi por dejarnos un sitio en su blog.

Hasta el próximo desafío.

    Alfalfa

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Muchas gracias de nuevo, Santi. Saludos,
  Javier

 

Próximo jueves desafío de Sebastià Roig. Saludos a todos.

 

29 comentarios

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29 Respuestas a “SOLUCIÓN DESAFÍO 54: EL ASTRÓNOMO Y LA CERVEZA

  1. Superpanzeta

    ¡Jajaja! ¡”La Conjetura de los Borrachuzos”!
    ¡Qué bueno, Pardillano!

  2. Superpanzeta

    Por cierto, ¿qué ha pasado con Jabón?
    Su repentina ausencia ha impedido que el número de acertantes repunte.
    Seguimos atascados en el número que rima.
    Con lo majo que es el desafío…

  3. jabon

    Gracias Superpan, por acordarte.
    El fin de semana he estado fuera, y ayer también tuve que marchar.
    No envié la respuesta el viernes porque me daba mal y quería repasarla; pero eso se quedó en la intención. Fin de semana movidito.
    Bueno, al menos veo que iba bien encaminado. No tengo el borrador que hice, pero todo me induce a pensar que cometí algún error de esos que no tienen perdón. En efecto, el radio no era necesario y creo recordar que mi fórmula final era muy similar, pero algo cambiaba por es obcecación.
    Muy interesante Alfalfa, y además ha coincidido con un cambio de hora. Una coincidencia muy curiosa, un tema de actualidad.
    Luego leeré vuestros comentarios anteriores, que me tengo que poner al día.

  4. Sebas

    Muy buenas las tesis doctorales presentadas y muy escueta mi aportación.
    Respecto a la formula de Spencer que mencioné y cita Alfalfa, Spencer es autor de unas formulas para calcular la distancia de la tierra al sol, la declinación y la ecuación del tiempo. A partir de estas fórmulas calculo la declinación y la ecuación del tiempo para una fecha determidada y posteriormente para una hora dada con formulas trigonométricas similares a la que hemos deducido calculo la altura y el acimut del sol
    Para la comprobación de este desafio he calculado para una altura “0” (orto y ocaso) el acimut, ángulo horario que estabamos buscando
    Calculo la ecuación del tiempo (diferencia entre Tiempo medio y el verdadero) para comprobar el funcionamiento de los relojes de sol
    Efectivamente como menciona Alfalfa entre nuestros cálculos y otros mas ajustados hay bastante diferencia si consideramos leyes de Kepler, diametro del sol, refracción…
    …..Vaya que entre borrachera y borrachera hemos pasado el rato
    Saludos

    • Superpanzeta

      Madre mía…
      ¿De dónde coño sale esa gráfica tan rara de la Ecuación del Tiempo?
      ¿O sólo me parece rara porque estoy sobrio?
      ¿Por qué hay tantas versiones? ¿Hay alguna teoría detrás? Todas las Ecuaciones del Tiempo parecen absolutamente inventadas para aproximarse a las mediciones de campo por el científico procedimiento de ir probando coeficientes sobre la marcha. Casi podría asegurar que han usado Excel.
      ¿Dónde entra en todo este jaleo el achatamiento polar?

      Y lo más extraño de todo:
      ¿Por qué el cañón y las armaduras en la canción de la chebecha?

      • alfalfa

        Las he encontrado en la red y sí, parecen aproximaciones en serie. Supongo que si se hace así es porque una expresión analítica relativamente sencilla no existe.

        SuperPanZ, ya que preguntas sobre el achatamiento, te puedo decir que no influye en nada, por lo menos en lo que respecta a las horas de sol. Tenía hecho un desarrollo del copón para explicar su influencia en mi respuesta al desafío porque mis cuentas me daban una diferencia de par de minutos con respecto a la esfera. El caso es que si echaba la cuenta en varios pasos, como hice inicalmente, Excel daba un número de horas de sol distinto que en el caso de la esfera. Luego observé que si echaba la cuenta en un solo paso, ¡los tiempos coincidían!

        Repasé las ecuaciones y al hacer sustituciones, empezó a desaparecer todo y volví a la ecuación de la esfera. Sorprendente. O no tanto, pensándolo a posteriori. Y un par de horas perdidas gracias a un error de Excel.

        La única diferencia debida al achatamiento que encontré es que el ángulo que forma el terminador con el plano de la eclíptica cambia (recordemos que es de 90º en el caso de la esfera).

        Estoy seco. Voy a por otra.

        • Sebas

          Considero que el achatamiento influye; En la formula que hemos deducido tenemos el factor “tangente latitud”, siendo la latitud el ángulio del radio del lugar con el plano del ecuador, si la esfera estuviera achatada (elipsoide) este radio seria la bisectriz de los radios vectores, un ángulo algo superior. Reduciendo al absurdo si aplanamos la esfera a poco que se incline o tenemos sol todo el día o quedamos a oscuras. Los relojes de sol ecuatoriales es un ejemplo de ello

          • alfalfa

            Sebas, mi idea era que así era. Tengo hecho un desarrollo matemático (repetido n veces) para intentar responder a esta pregunta. Hay un paso en el que la debo estar liando porque cada vez que lo doy, llego a un resultado diferente. El que di por bueno dice que no hay influencia.

            Me he puesto a repasar los cálculos y tengo una solución más prometedora que dice que, en la notación de tu respuesta:

            sin x = tan L · tan d / (c/a)

            donde c es el radio polar y a el radio ecuatorial. Es coherente con lo que decías del caso del disco.

            Una consecuencia curiosa es que el círculo polar bajaría desde los 66.50º hasta los 66.42º (para una inclinación del eje de 23.5º). Esto viene a ser un desplazamiento de casi 8 km al sur.

            En Madrid, nos da 37 segundos más de luz; en Gijón, 42 segundos; en Cádiz; 31 en Gijón; 22 segundos en Las Palmas de Gran Canaria; y un minuto y 46 segundos en San Petersburgo.

        • Superpanzeta

          Alfalfa, yo tampoco estoy totalmente de acuerdo, ni del todo en desacuerdo. La verdad es que no comprendo bien el razonamiento de Sebas, pero si el efecto del achatamiento no influye, exige una explicación.
          Esto es lo que se me ha ocurrido:

          Para empezar, el terminador es aproximadamente un plano, y no puede variar su inclinación respecto de la eclíptica. Tiene 90º por definición. Otra cosa es que la superficie interceptada por el terminador no sea esférica, y aparezca como algo distinto de una cónica.

          En cuanto a la no esfericidad propiamente dicha, creo que si el geoide se aparta más de la esfera en los polos (domina el achatamiento), entonces el efecto es que los paralelos son más cortos. Tanto más cuanto más cerca del Polo.
          Esto no significa directamente que tengan más horas de sol, porque el efecto se ve compensado (¿en parte? ¿totalmente?) por su mayor cercanía a la línea de 12h sol/12h sombra (ecuador).
          ¿Qué efecto domina? ¿paralelo más corto, o menor distancia al ecuador?
          Que se cancelen a la perfección me resulta francamente increíble.

          Por otro lado, si el geoide se aparta más de la esfera en el ecuador (domina el abombamiento), entonces el efecto es que los paralelos son más largos, tanto más cuanto más cerca del ecuador. Esto aleja el plano del paralelo del plano del ecuador pero en este caso, ¿los efectos se cancelan a la perfección?

          Tanto en un caso como en el otro, el efecto no debería modificar la relación sol/sombra mientras no modifique la latitud, pero no tengo claro si la latitud se modifica o no.
          Parece claro que todo depende de cómo sea el geoide en realidad.
          Lo único que se me ocurre es que si todas las deformaciones del geoide respecto de la esfera son radiales, entonces los puntos estarán más o menos lejos del centro de la Tierra, pero su ángulo (latitud) no variará.
          Los paralelos se harán más cortos y más cercanos al ecuador, o bien más largos y más lejanos, pero mantendrían la latitud y los efectos se cancelarían.
          ¿Es posible que sea así?

          • Superpanzeta

            Alfalfa, no he hecho ningún cálculo, pero tu estimación de la bajada del círculo polar me parece muy conservadora.
            Si no recuerdo mal, el radio polar es 67 Km. más corto que el ecuatorial.
            Que a la altura del círculo polar eso equivalga a 8 km me parece muy poco.
            Por otro lado, si el único efecto es acercarse al ecuador, no veo cómo puede haber más horas de sol. Si acaso, sería lo contrario. Para una misma latitud, cuanto más cerca del ecuador, más cerca de las 12 horas de sol.

          • alfalfa

            Si tienen interés, pasaré a limpio mi desarrolo para el caso del elipsoide de revolución y lo mando durante el fin de semana. SuperPanZ, podrás ver que el terminador se inclina conforme achatamos (o estiramos) el planeta.

            Leñe, hablando así me siento como un dios. Otra caña, jefe.

          • Superpanzeta

            Alfalfa, me envaino mi estimación anterior. Los 67 Km no son la diferencia entre los radios sino entre los meridianos y el ecuador.
            La diferencia real son 22 Km. Pero aún así, 8 Km para el círculo polar se me antoja poco.
            Esta ronda la pago yo. Y unos calamares.

          • alfalfa

            SuperPan, ten cuidado porque la latitud en un elipsoide no es el ángulo que forma el plano del ecuador con la línea que une el centro de la tierra y la ciudad que quieras estudiar. La latitud es el ángulo que forma la normal local con el plano del ecuador.

            Lo del radio ecuatorial y polar, tenemos 6378.1 km y 6356.8 km, Wikipedia dixit. Y lo del desplazamiento 8 km al sur es medido sobre la superficie, por lo que es menos distancia todavía si lo mides según el eje de rotación. Vaya lío.

            Espera unos días para que tengas una orgía de ecuaciones. Encarga cervezas para soportar el chorreo que te espera.

          • Superpanzeta

            Caramba. Lo que estoy aprendiendo…
            No tenía ni idea de lo de la latitud. ¿Por qué redefinirla?
            O sea que la normal local sólo pasa por el centro del patatoide si el punto está en el ecuador o en los polos.

            Javier, no te sientas obligado a perder unas horas de descanso para enseñarnos tus cálculos. Yo confío en ellos, ya que seguramente no los entenderé.
            Encargaremos cervezas en cualquier caso.

          • Sebas

            Vaya la que he liado…..
            Yo dejo al margen la definicion de paralelo, para mi lo unico que interesa es la inclinacion de los rayos solares respecto de la superficie del lugar,…..que a este ángulo lo llamen colatitud o no me es indiferente para el calculo.

          • alfalfa

            Sebas, se cumple que colatitud + latitud = 90º, ¿verdad?

            SuperPan, piensa que la latitud de un lugar la puedes obtener buscando la estrella polar y midieendo el ángulo que hay entre el horizonte y línea SuperPan-Polaris. Esa es la latitud. Como ves, está íntimamente ligado a la horizontal local (y a la normal local, en consecuencia).

            Al final revisaré todo el desarrollo y lo enviaré. No me puedo quedar con el gusanillo.

          • Sebas

            Efectivamente la latitud y la colatitud son complementarios
            Las unidad de distancias en marina es la milla marina que correnponde a un minuto de meridiano, entonces el paralelo 40 estaria a 40 x 60 millas del ecuador, el achatamiento haria que la perpendicular en la superficie del lugar no pasaría por el centro ni concordaría con la forma de situarse en alta mar observando la polar con el sextante, cuidado la polar oscila cerca de 1º de la posición del eje, este dato si se tiene en cuenta pero no me consta correcciones por achatamiento.
            Para la posicion por observación se tiene en cuenta la refraccion tanto en el horizonte como en distintas alturas lo que ma hace suponer que el dato del achatamiento debe se minimo

  5. Sebas

    La Ecuación del tiempo como supongo te habras informado en la RED es la diferencia entre el tiempo medio (el de nuestro relojes) y el tiempo verdadero (el que marca la sombra por la posición del sol), esta diferencia se ve afectada en primer lugar por las 2 primeras leyes de Kepler dando lugar una senoide y en segundo lugar por la declinación, otra senoide, que al acunmular los dos valores tenemos la gráfica, que según la representemos en unos ejes cartesiano, hacemos las lecturas y al llegar a 31 de diciembre volvemos a empezar a 1 de enero, o en forma de lemniscata si dicha representación la hacemos avanzando y retrocediendo en el eje del tiempo (en dicho eje a una parte marcamos de 21 de diciembre a 21junio y luego por la otra parte marcamos retrocediendo de 21 de junio a 31 de diciembre
    En la corrección final debemos acumular la diferencia de longitud respecto del meridiano 0
    ¿He aclarado algo o la he liado mas?

    • Superpanzeta

      Sí, gracias. Eso tiene sentido.
      Estaba de cachondeo, pero no me negarás que la EdT de Spencer no es otra cosa que una aproximación, y bastante fea.
      Para empezar, no refleja la interacción de 2 sinusoides, sino 4.
      Y a la vista de los coeficientes, parece claro que no han tenido más remedio que ir añadiendo sinusoides para encajar a martillazos, y todo para seguir siendo una aproximación. Cualquier día se necesita más precisión y añaden otro término más, más pequeño y del signo que convenga. O eso parece.

  6. Sebas

    Efectivamente es aproximación, ygualmente el cálculo de la declinación que es necesario para EdT según sea el científico de turno difieren unos de otros. Pero para mis necesidades va de sobra, los errores que pueda tener son muy inferiores a mis diseños.

  7. jabon

    He visto un post de Jose Angel, de un concurso, pero creo que va dirigido a estudiantes universitarios de primer año.
    El primero, creo que lo tengo, intentaré el siguiente.

    • Sebas

      Tambien lo he visto, entrenate para el mio de mañana.
      Al primero lo resuelto de varias formas, unas horrosas y una de una forma muy sencilla, supongo que será la que buscan.
      Al segundo aún no lo he probado, no me ha apasionado mucho pues creo que será similar al 1 de GyG
      He pasado por Gaussianos y está el 1º de olimpiadas, creo que lo tengo resuelto de forma sencilla

      • jabon

        En efecto, en el primero he visto una forma sencilla, que hasta yo he dudado de que sea la respuesta. Diríamos que demasiado redondo.
        El segundo no lo sé resolver de la forma que indicas. Esa materia la desconozco totalmente. Con unos condicionantes consigo acotar una serie de valores, y a partir de ahí saco la respuesta. Evidentemente muy lioso. Eso de los módulos me suena a música celestial.
        Esperaremos el tuyo.

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