DESAFÍO 55: EL CUADRILÁTERO DE SEBAS


Escribe Sebas:

Los amigos Sebas, Lado y Perímetro se encuentran para tomar un refresco y mientras esperan que les sirvan deciden pasar el rato discutiendo de matemática, ayudados únicamente de lápiz y papel.

Sebas: ¿Cual es el cuadrilátero de lados números naturales, el mayor de los cuales mide 67, que tiene una diagonal igual al diámetro de la circunferencia en la que está inscrito?

El camarero, que se encontrada sirviendo los refrescos en el momento en que Sebas planteó el problema, se une a la conversación diciendo: “Entonces el área también es un entero y el perímetro un par”.

Los tres se miran sorprendidos, ¿tiene razón el camarero?

Después de ensuciar papel, la conversación sigue:

Lado: Con estos datos nos es imposible resolver el problema.

Sebas: Tenéis razón, os daré otros datos; a ti, Lado, te diré el valor de uno de sus lados y a ti, Perímetro, el de su perímetro.

Al conocer estos últimos datos ambos consultan sus cálculos y…

Lado: De poco me ha servido la información, sigo sin poder resolverlo.

Perímetro: Lo mismo me pasa a mí.

Lado: Yo no he podido resolverlo, tampoco Perímetro, mucho me temo que no lleguemos a la solución.

Perímetro: Pues yo ahora sí sé las dimensiones.

Lado: Entonces si tú las sabes, yo también las sé.

¿Cuáles son las dimensiones de los lados del cuadrilátero?

Respuestas a desafiossanti@gmail.com hasta el lunes a las 23.59.

50 comentarios

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50 Respuestas a “DESAFÍO 55: EL CUADRILÁTERO DE SEBAS

  1. Superpanzeta

    Yo ya tengo una solución (¿la solución?) sin más que dibujar el esquema con el GeoGebra, pero sigo sin pillar el problema.
    Entiendo que debería haber sólo una solución, ya que el diálogo debe descartar de alguna forma todas las demás posibilidades.
    A pensar…

  2. jabon

    Presentación impecable, sólo tengo una duda.
    Cuando los clientes piensan ¿Tiene razón el camarero?, ¿debe interpretarse que es una pregunta que queda en el aire, o por el contrario, es un hecho cierto?.
    Estaré fuera el fin de semana, espero tener un par de ratitos para sacarlo.

  3. Sebas

    Hola a todos, intentaré estar en el tajo para despejar posibles dudas.
    SPZ, Lado y Perímetro tienen unicamente!!! papel y lápiz
    jabon, ¿Tiene razón el camarero? Hay que demostrarlo, pues el camarero lo afirma
    ¿Algo más?

  4. Sebas

    Tengo problemas para acceder al correo de las soluciones, parece que la contraseña no me funciona, seguiré intentado, pero lo veo negro, parece mas dificil que plantear un desafío

  5. Sebas

    Grácias alfalfa, probaré la nueva contraseña
    No se si te puedes fiar der camarero, el lo afirma, tendria que demostrarse si tiene o no razón.
    Para mi que este camarero es un licenciado en exactas que antes de probar en Alemánia esta quemando los últimos cartuchos en lo que sale (lo normal de ahora)

    • alfalfa

      Me lie con lo del camarero. La condición la había puesto Sebas.

      Me pasa por leer demasiado rápido. Al principio pensaba en rectángulos como únicas soluciones… Y así, sí que no.

  6. jabon

    Aclarado, intuyo que tengo que demostrar algo que no sé cómo voy a demostrar porque no ……
    Ya veremos a la vuelta si hay algo o no.

    • Sebas

      Para resolver el problema no hace falta demostrar las afirmaciones del camarero, pero…. yo me picaría, El demostrarlo ayuda a meterte en el problema.

  7. JC

    en principio, si el desafío terminara en la primera pregunta de Sebas, me salían unas 28 posibles soluciones

    • suschus

      creo que te estás dejando algunas posibles soluciones, ya que considerando sólo los paralelogramos me salen más del doble de las que propones

    • Sebas

      El desafío tiene dos partes bien diferenciadas y otro problema oculto,
      1º deducir los posibles cuadriláteros con PAPEL Y LÁPIZ, entiendo que tiene su dificultad y si no se pasa esta fase con seguridad, es absurdo intentar la 2ª. Por lo que en principio se pude aceptar la ayuda de la máquina para los posibles candidatos sin olvidar que hemos quedado a medias. Y el otro añadido ¿como puede el camarero hacer las afirmaciones que hace?, el demostrarlo que lo sabe, si bien no se pide expresamente es fácil hacerlo si nos olvidamos de que existen las máquinas y empezamos con el lápiz y el papel
      Me hago pesado con lo de LÁPIZ Y PAPEL ¿Verdad?

      • Sebas

        He de reconocer que la 2ª parte (muy laboriosa de preparar) es la excusa para el verdadero problema (la 1ª parte), si se respeta las exigencias de cálculo a mano

        • José Luis

          Perdón, Sebas, no te entiendo.
          A menos que se acepte como cálculo a mano el hacer más de 1000 raices cuadradas, me temo que hay que resolver primero lo que dice el camarero, para ir limitando casos.
          ¿Es eso lo que quieres decir con que la segunda parte (la del camarero) es la excusa, es decir, que es lo que permite hacer la 1ª a mano?

          • Sebas

            Como máximo una raiz si me interesa precisar el máximo de operaciones a efectuar y es mas que suficiente a ojo de buen cubero
            Particularmente yo hago dos raices para justificar de manera precisa unas cotas

          • Sebas

            El demostrar que lo que afirma el camarero es cierto o falso no condiciona para nada el resover el problema, la demostración es elemental (parece que me copiaron para el problema de olimpiadas que presentó Gaussianos), pero te familiariza con el desafío
            La excusa es la discusión posterior a la afirmacion del camarero, el verdadero problema es lo que tu supones las mas de 1000 raices, el problema es que no hace falta ninguna de estas raices que supones

    • José Luis

      28 soluciones… mas otras 28 con una simetría pero que dan un cuadrilátero totalmente distinto.
      ¿creo?

      • Sebas

        Efectivamente, por simetria el cuadrilatero será distinto, con los mismos lados por consiguiente igual perímetro y superficie. La pregunta es ¿cuales son las dimensiones……?
        Cuando yo calculo los lado “a” y “b” hago constar que es indistinto “a” o “b” por lo que considero para simplificar a >=b

  8. jabon

    Algo me falla, tendré que releer.
    Mi camino conduce a que si perímetro sabe el perímetro, conoce ya los lados.
    Eso contradice el enunciado. Moraleja, no voy por buen camino.
    Creo interpretar el problema oculto que dice Sebas, y dada su dificultad, lo doy por caso obvio.
    Si puede mañana por la mañana te mando mis valoraciones.
    Ya me comentarás

    • Sebas

      A Perímetro se le dice la suma de los lados, esto no implica que sepa los lados Se podría dar el caso que sabiendo el perímetro supiera los lados, pero el afirma que no los sabe, ….en principio

    • Sebas

      El “problema oculto” como dices, unicamente un poco de trabajo (nada que justifique el uso de hoja de cálculo), se puede usar la calculadora si no se recuerda la tabla de multiplicar y nada de conocimientos elevados, pues como he dicho otra veces, las alturas me dan vertigo

  9. alfalfa

    Estoy obcecado con algo y no veo la luz como Lado y Perímetro. Debe ser por eso de haber tirado del ordenador desde el minuto uno. Vale con lo de las 28 soluciones posibles, pero a partir de ahí me atasco.

    La veracidad o falsedad de lo que dice el camarero se puede ver a priori. Creo que sugieres que usemos esa prueba para luego avanzar, pero no veo cómo aprovecharla. A ver si me viene la inspiración.

    • Superpanzeta

      Yo tiré el ordenador en el minuto 18, y estoy peor aún que alfalfa, porque no veo cómo limitar las posibilidades a 28. Y eso que he sacado algunas cotas. Seguimos pensando…

    • Sebas

      He intentado que con el enunciado no existieran posibles dudas, no se si lo ha conseguido o no. Ante la masmínima duda creo que lo he aclarado, a estas alturas me supongo que el gran problema que teneis (como se ha apuntado por aquí) es el tener que hacer más de 1000 raices a mano (este desafío no se me habia ocurrido, pero todo se andará)
      Supongo que a mas de uno se le habran pasado por su mente los pitagóricos, no son pitagóricos (¿desilusionados?)
      Supongamos que os pido un listado de unas 30 ternas (evidentemente no múltiplos) de pitagóricos, ¿Se os ocurriria prepararme una hoja de cálculo o un programa informático? ¿O hariais miles de raices a mano?

      • Superpanzeta

        El enunciado es cristalino. Nada de lo que has comentado después era necesario ni añade nada. Y efectivamente, pensé en los pitagóricos.
        La respuesta a tus preguntas sobre las ternas es no, y no.

        .ou sәnd
        …ou!ɯn|! әɯ oɾɐqɐ ɐɔoq opuә!q!ɹɔsә !s ɹәʌ ɐ

  10. Sebas

    SPZ, a tí te esperaba, sabia que no dormias, …. a escondidas has programado, lo he visto.
    Con este rotundo NO y NO, tu sabes buscar pitágoricos…..tira el ordenador
    Aún estas a tiempo de salvar tu alma

    • Superpanzeta

      Que no, malpensado, que no lo he usado.
      Ayer ni siquiera lo encendí. Y hoy lo he usado sólo para contestar el correo y ver un par de vídeos. Lo que sí he hecho es dormir.

  11. José Luis

    Bueno, lo tengo. Creo que he sembrado el desconcierto con lo de las 1000 raices a mano, en realidad se puede hacer una tabla de cuadrados y ahorrarse la raiz. ¡Pero aun así, y sabiendo lo que dice el camarero, me salen muchísimos casos!
    Vale que muchos de ellos son imposibles, y no hay ni que calcularlos, pero creo que me pierdo algo. Voy a revisar en internet a ver si encuentro algo de pitagóricos.

    • Sebas

      Una tabla de cuadrados seria efectuar raices a escondidas. Olvida este camino. Del principio hay que seguir otras sendas conmpletamente distintas, En la deduccion de los lados las operaciones las he hecho salvo una raiz o dos para acotar, todas mentalmente (y no soy una máquina) posteriormente las he comprobado en una hoja de cálculo para que no me pillarais los dedos. Cuando digo mentalmente no es para alardear, sinó porque en MUCHO mejor. En orto campo, por ejemplo, para averiguar el resto de 365/249, ¿Prefieres dividir con la calculadora o hacerlo a mano?

  12. alfalfa

    Creo que he llegado todo lo lejos que se puede y la conclusión me sorprende. Lo que no me sorprendería es que estuviese mal.

    Feliz semana a todos.

  13. jabon

    Con esto de las vacaciones de los chicos, estoy en el pueblo, sin internet, y sin calculadora; sólo con lápiz y papel, como se reitera por ahí.
    Me llevé el enunciado, y apenas he podido seguir vuestros comentarios.
    Como mis conocimientos matemáticos son muy limitados, creo que vivo perdido o en el limbo.
    Voy a ser más explícito, porque creo que a nadie voy a enseñar nada.
    Si no he entendido mal, tenemos un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, cuyo diámetro es una diagonal del polígono, es decir nos aparecen dos triángulos rectángulos, uno en cada semicírculo ¿no?
    Si hasta ahora voy bien, a mí me salen más de 28 posibles casos, sin contar semejanzas y variantes, entendiendo que el diámetro variará cada vez, en función de la longitud del otro cateto.
    Me imagino que será ya mañana cuando entienda realmente dónde me he perdido, porque me cuadra todo tan bien, que no es posible.

    • Sebas

      Has entendido perfectamente el problema, como no sé con que sistema calculas los posibles lados no puedo opinar respecto del fallo de más de 28 cuadriláteros, supongo que no te refieres a rectángulos, por el enunciado no se puede repetir el lado mayor, por lo tanto tambien es imposible que se repita el menor, efectivamente el diámetro va variando,

      • jabon

        El fallo está muy claro, yo tomaba como posible que se pudiera repetir ese lado mayor…. de ahí la multitud de rectángulos.

      • Superpanzeta

        ¿Dónde exactamente pone que los lados deban ser distintos?
        El enunciado sólo dice que el mayor es 67, y eso no excluye que haya dos, o ya puestos, cuatro.
        De lo que cuentan Lado y Perímetro se elimina directamente el caso de cuatro 67, pero en mi opinión, todos los demás rectángulos tienen que entrar en las eliminatorias.

        • Sebas

          El enunciado dice “el mayor…..” “el” es singular esto hace suponer que el mayor es unico, y necesariamente el menor tambien será unico los otros dos cabe la posibilidad de iguales.
          Esto descarta rectángulos, entonces cuadrados logicamente y no hace falta decir de los rombos y romboides

  14. JC

    Lo de hacerlo “a mano” creo que veré mañana cómo se hace. He ensayado una forma pero no creo que sea la forma a la que se refiere Sebas. Más que a mano yo diría con calculadora sin tecla de raiz cuadrada. Pero hay que hacer bastantes sumas y multiplicaciones.

    • Sebas

      Como he dicho anteriormente los calculos repetitivos los he hecho practicamente mentalmente, insisto, es mucho mejor no abusar de operaciones. Las únicas raices que estan en la solución se puede prescindir perfectamente de ellas como hago notar
      Llegando al final del desafío, no os asusteis, tambien mentalmente, resuelvo 28 sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2 incognitas
      No dudo de que mejorareis mi método

    • Sebas

      Con lo que dices de calculadora he recordado un bonito problema de olimpiadas que se pide “multiplicar” pero unicamente con la teclas de “sumar”, “restar” e “inverso”
      No se si tu utilzas un sistema semejante

  15. José Luis

    Pues yo estoy totalmente perdido. Sólo se me ocurre ensayo y error, es decir, calcular, y son tantos casos que a mano es demasiado largo.
    Sigo sin pillar lo de las ternas pitagóricas, porque nadie dice que la suma del cuadrado de dos lados sea un cuadrado exacto.

    • JC

      perdón, se ha pegado mal el enlace, era esto:

      “a^2 + b^2 = c^2 + 4489 and 0<a0 and c>0, solve integer”

      1 solución, algo es algo

      • JC

        vaya, lo he vuelto a pegar mal, una pena no poder borrar lo que he escrito

        El caso es que jugando con wolfram he visto que se pueden obtener las 28 soluciones. Si acaso cuando se publique la solución lo escribo.

  16. Ángel

    De los 28 casos iniciales, por los comentarios de Lado y perímetro lo dejo en menos de la mitad, pero veo difícl reducirlo más.
    En cualquier caso y dado que es SS se podría ampliar el plazo hasta el lunes 9.

    • Sebas

      La ampliación a mas tiempo lo dejo a la opinión de los demás

    • Sebas

      Si no se me dice lo contrario, mañana por la mañana, enviaré el paquete con las soluciones, pues hay espectativa, pero también parece que los hay que desearián mas tiempo.
      Vosotros opinad

  17. Ángel

    Bueno, como Sebas no ha querido ampliar el plazo he buscado la solución contrarreloj y a eso de las 23:56 la he enviado. Un poco más tarde he enviado una explicación detallada. ¿El camarero se llamaba Brahmagupta?
    Espero que esté bien y por cierto, Perímetro hasta pudo adivinar el número que le habían dado a Lado.

    • Sebas

      Considero que la ampliación de plazo no era decisión mia
      Efectivamente Perimetro puede saber el valor que le han dicho a Lado

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