Desafío 19 de El País: Cuadrados que suman grandes cifras


Cuadraditos

Los números cuadrados (o cuadrados perfectos) son los cuadrados de los números naturales, es decir: 1 (1^2), 4 (2^2), 9 (3^2), 16 (4^2), 25 (5^2), etcétera. En el problema de esta semana trataremos de descubrir de cuántas maneras distintas se puede escribir un número dado como suma de cuatro cuadrados. Por ejemplo, el número 39 se puede escribir de dos formas: 39=1+1+1+36 y 39=1+4+9+25. Observemos que se pueden repetir sumandos y que no contaremos como maneras distintas de escritura las que se obtienen al cambiar el orden de los sumandos.

Las preguntas concretas de esta semana son: ¿De cuántas formas distintas se puede escribir 2^2012 como suma de cuatro cuadrados? ¿Y de cuántas formas se puede escribir 2^2011?

Una advertencia: si alguien pretende usar un ordenador para calcular las posibles respuestas, quizás le convenga darse cuenta de que el número de cuadrados perfectos más pequeños que los números que se piden es inmenso (concretamente, mayor que 2^1005). Esto significa que el ordenador más potente del mundo tardaría millones de años en calcular todas las posibilidades, por lo que para resolverlo antes del martes es necesario hacerlo mediante un razonamiento matemático.

NOTA IMPORTANTE: Lo que se pide no es encontrar una manera de escribir los números dados como suma de cuatro cuadrados, sino señalar de cuántas maneras distintas pueden escribirse y describir el razonamiento que se ha seguido para llegar a la solución.

91 comentarios

Archivado bajo OTROS

91 Respuestas a “Desafío 19 de El País: Cuadrados que suman grandes cifras

  1. Ave

    Rebuscado, el puñetero,pero apetece hincarle el diente. Sí, estoy de acuerdo en que promete!

  2. Javier

    Creo que se cuales son los números… pero no sé como explicar que es así…
    veremos los comentarios de los compañeros de este blog haber si recibo alguna inspiración.
    Lo que opino es que los números que busquemos debemos expresarlos como potencias de 2, pues salen números demasiado grandes.

  3. Javier

    Si es cierto lo que pienso, podrían haber puesto un exponente muchísimo más alto que 2012…
    ¿Por qué 2012?.

    • Pedro Correa

      En las olimpiadas matemáticas siempre suelen poner un problema con el año en el que se celebran, el siguiente o el anterior. Puede ser un motivo así.

  4. Pedro Correa

    Durante bastante tiempo he pensado que era el desafío más difícil de todos. Luego me ha venido la inspiración.

    Interesante problema. De momento mejor sin pistas.

  5. jabon

    He leído el desafío (no he visto el video porque no puedo desde el ordenador).
    Una duda, no se nombra el cero ¿no vale entonces el cero al cuadrado?. Tal vez no importe en este caso, pero me da que para otros sí.

  6. Ángel

    Aunque lo desaconsejan en el enunciado, uno es ingeniero informático y ya se sabe que la cabra tira al monte ;-)
    Es cierto que los números pedidos en el enunciado son monstruosamente grandes y por lo tanto el problema es inabordable por muy potente que sea la máquina peeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeero (y ahora es cuando viene la pista que nuestro gran Santi censurará si así lo cree conveniente) si uno se pone a calcular (con su amigo el PC) la solución al problema para “***” descubre cierto patrón muy pero que muy interesante que te da las pistas de por dónde van los tiros.
    Ale, ahí lo dejo…

  7. Jesus

    No se,… por ahora solo llego por el “san cordon bleu espan\ol” de las cuatro “esquinas inglesas” (emulando a jabon aunque incluso mas criptico). Espero que se me ocurra la idea feliz porque es una solucion no muy satisfactoria.

    • Jesús, no has sido para nada tan críptico como Jabón, a mí no me ha costado nada entenderte :-) (también es verdad que mis primeras pesquisas han dado con eso que tú nombras y por lo tanto es más fácil descifrar un código si ya tienes en mente la posible solución…)

      En cualquier caso, estoy contigo: no me parece elegante… bueno, elegante, sí, quiero decir “sencillo”, “intuitivo”, “al alcance de casi cualquiera” ir por ese camino, así que espero y confío en que haya una forma mucho más obvia de resolverlo, la que será la “solución oficial”.

  8. En principio me parece difícil. Interesante y retador, pero difícil. Según da a entender Pedro, parece ser de éstos de “idea feliz”, de los que, una vez te llega el chispazo, pasa de ser complicadísimo e inafrontable a casi inmediato. Así que seguiré madurándolo un rato a ver si a mí también me visitan las musas.

    Tras darle alguna vuelta en la cabeza, mi intuición me dice que, para el 2^2012 las posibilidades son (censura si quieres, Santi) ******, y para 2^2011, *********, pero soy incapaz de convertir esa intuición en una demostración rigurosa.

    • Sí, yo también tengo esa solución, a la que se llega en cuestión de minutos, ahora hay que demostrarlo. Veamos…

      • Pues por lo que dice Jesús del “san cordon bleu” (o, más bien sería “san cordin bleu”, con “i”), parece que esa primera intución estaba equivocada… Aunque como en este filete empanado con queso también se cuentan las distribuciones para los que alguno de los sumandos es cero (inválidos en este caso), dicha intuición tal vez podría seguir siendo posible… No sé, seguiré dándole al coco.

        • Jesus

          Si,… la cosa es que se puede utilizar para saber cuantas hay (incluso las no validas para el problema) y despues descontar. Una chapuza. Como dices, estoy buscando la solucion intuitiva de Pedro para demostrar que la solucion es correcta con argumentos basicos (aunque con la tranquilidad de que las cuentas salen). Lo dicho, que no me gusta por donde he ido pero que le sigo dando vueltas

  9. Pedro Correa

    Tampoco hace falta mucha inspiración. Se llega de manera intuitiva.

  10. Turner

    Mi “super cerebro” ha dado con las primera solución en 2^1 minutos pero a partir de ahí, saber si es única, o dar con un metodo general para construirlas es otra cosa.

  11. Roberto

    Directamente se me ocurre una solución (censura si quieres, Santi): 2^2012=********* y me no se porqué me da ******************. El problema es que no se como empezar para demostrarlo. ¿alguna idea?. Saludos a todos

  12. rogelio

    Excelente problema. No esta entre los dificiles aunque es un poco tecnico.

  13. pipin

    Buenas tardes, solo he podido encontrar la solución trivial para 2^2012, para 2^2011 ni siquiera eso, ¿o tal vez es que el desafío consiste en demostrar que no hay más soluciones que la trivial?. Espero que os tiréis el rollo para por lo menos tomar por el camino correcto.

    Saludos.

  14. MNilo

    Yo estoy utilizando la induccion en mi desarrollo, pero con la induccion probamos que una potencia de 2, por ejemplo impar, sea del tamano q sea se puede expresar de una determinada forma, pero con eso no probamos q sea la unica forma y aqui nos interesan todas las formas, no? Alguien mas usa esta via?

  15. Ave

    Bueno… creo que algunos tenemos la solución, bastante trivial -por cierto- pero lo que no me ha parecido inmediata hasta ahora es la demostración. Ahí seguimos.

  16. Javier

    Hay un teorema que es el “Teorema de los cuatro cuadrados” que dice que todo número entero positivo puede expresarse como la suma de 4 cuadrados perfectos.
    Aunque para que este teorema sea válido debe ser considerado como cuadrado perfecto el 0.
    Si en el problema no se puede contar con el cero… podriamos decir que: “Todo número entero positivo se puede expresar como la suma de cuadrados perfectos con 1, 2, 3 o 4 sumandos”
    En este problema, por tanto, debemos saber si los números pedidos se pueden expresar con 4 sumandos.
    Por otro lado sabemos que cada potencia de 2 es un cuadrado o la suma de dos cuadrados.

  17. Pedro Correa

    Como dice Rogelio, igual sí es un poco técnico. Cuando terminé COU, no habría sido capaz de resolverlo. 1 ó 2 años después, sí.

  18. TONI

    Hola a todos.

    He llegado a encontrar una respuesta para cada uno de los dos números. Sin embargo, lo he hecho utilizando sólo demostraciones con potencias de 2 y no sé si eso es suficiente o al demostrarlo así me dejo cosas por el camino.
    ¿Qué creéis?
    Un saludo

  19. MNilo

    A javier:
    De acuerdo en la descomposicion de potencias de 2 q haces pero como pruebas q esa descomposicion es unica?

    • Pedro Correa

      Por inducción y un poco por reducción al absurdo.

    • Javier

      Hola MNilo, el problema de esta semana se me resiste… tengo la solución… la sé… mi dificultad está en demostrar (como siempre) lo que sé o he descubierto haciendo series.
      Con estos desafíos estoy reaprendiendo y aprendiendo, así como comprobando que siempre tengo grandes dificultades para llegar a las demostraciones.

  20. Javier

    Como curiosidad…. 2^2012 es el siguiente número:
    470274332784334653125768479202378540655541330775529554115642465003833860666314880555687725595240968158595467116129264752003939926369507463752061483485861144736276435539199098882821239391191223793372884951300039658625496939095606738728210538661750185864826865902233185521437202864633084516500128653190482662785715851200342038947346369773215985258228844545757195127630339401818145309639808171054153250067278229485143728648281210300022956686758638598311483121262968506593107081583296672399695696759318866966038223190941759604116629173993695268516969610783232718583925968170363989270386498609909150306424324096.

    • Bonito número, a mí es que a partir de 2^1500 ya se me resiste, ;)

    • Joel

      muy curioso, una potencia de 2 impar

      • Javier

        Joel… 2^2012 es muchísimo más largo que el que ha aparecido en pantalla… faltan las últimas cifras… muchas cifras.

        Este es el número:

        47027433278433465312576847920237854065554133077552955411
        56424650038338606663148805556877255952409681585954671161
        29264752003939926369507463752061483485861144736276435539
        19909888282123939119122379337288495130003965862549693909
        56067387282105386617501858648268659022331855214372028646
        33084516500128653190482662785715851200342038947346369773
        21598525822884454575719512763033940181814530963980817105
        41532500672782294851437286482812103000229566867586385983
        11483121262968506593107081583296672399695696759318866966
        03822319094175960411662917399369526851696961078323271858
        3925968170363989270386498609909150306424324096.

        Quizás ahora si se vea completo en pantalla.

  21. Maureen

    Hola.
    No sé por qué no estáis teniendo en cuenta el 0, ya que en el vídeo y en el enunciado no dice que no se pueda usar. De hecho, todos los teoremas de Teoría de Números relacionados lo tienen en cuenta (si no, la cosa no sale).
    Y puestos a ser rigurosos, también hay que tener en cuenta los números negativos (aunque cuando descompone el 39 no los usa, no dice en ningún momento que no valgan, que yo haya oído).
    Desde luego, el problema de esta semana está interesante.
    Un saludo
    Marina

    • Yo entendí que era sólo con N (sin el cero) pero no sé si llega a decirlo o no ¿?

    • Rogelio

      Deja claro que han de ser numeros naturales (enteros positivos SIN el cero). Con el cero no tendria gracia ya que Jacobi encontro (1834) una formula que da las distintas combinaciones para todo N.

    • Jesus

      Si, es cierto que no se dice pero creo que no valen los ceros por la lista que pone en la pizarra (1,4,9,25,…). En cualquier caso, 39 no puede descomponerse usando el cero (las 448 formas previstas de descomposicion de 39 en cuatro cuadrados son o reordenaciones de los mismos numeros o diferentes combinaciones usando numeros positivos y negativos, por lo que solo quedan las 2 que se escriben en la pizarra como validas). Lo dicho, nadie dice que el cero no se pueda tener en cuenta (ni los numeros negativos) pero creo que todos intuimos que no es valido. Se podria poner una nota en la respuesta…

  22. Ave

    Hay una demostración bastante sencilla, aunque imagino que habrá alguna más elegante.Se trata de suponer una solución diferente de la trivial, a partir de ésta, y trabajarla un poco (no mucho). Yo llegué a ella pensando en cuadrados geométricos!, y sus áreas.

  23. Félix

    Creo que para 2^2012 hay ************** y para 2^2011 ***************** (siempre que consideremos los números naturales sin el cero).
    Mi problema surge al demostrarlo por un método distinto a la inducción.
    Ruego alguna pista que ayude.

  24. Anónimo

    Hola a todos.

    Santi, me ocurre lo que a bastantes: creo intuir la solución, pero no soy capaz de demostrarla formalmente. Si examinamos las *********************************. No sé si voy bien encaminado…

  25. Ave

    Absurdo!, reducción al absurdo. No me ha hecho falta la inducción.

    Para Maureen: yo creo que queda claro que se trata de N: en el ejemplo no emplea el 0 en las dos posibilidades que da y los enteros negativos no añaden ningún valor al ejercicio.

  26. Salva

    2^2012 no puede acabar en 65 como sugiere Javier , tinene que acabar en 96.

    • Javier

      Acaba en 96… el número completo no ha aparecido…. se sale de pantalla.. El número completo es muchísimo más grande que el que aparece en el blog… por alguna razón se ha cortado.

  27. isabel

    Consigo demostrar fomalmente las soluciones para cualquier 2^n, pero no consigo demostrar que ésas sean las únicas. ¿Algún camino?

  28. En este desafío cuesta dar pistas sin cruzar la raya del chivatazo…

  29. Ave

    Tengo una demostración bastante limpia y sin complicaciones, aunque no sé si es muy ortodoxa porque parece más bien una inducción “a la inversa”. Censura, Santi, a partir de aquí, y dime qué opinas, por favor.

    *********

  30. TONI

    Insisto en que creon que he encontrado una solución para cada caso pero sólo utilizo las potencias de 2 y estoy convencido que eso me deja en el camino otras posibilidades. ¿Pensáis que me dejo algo, verdad?

  31. isabel

    Al intentar reducir al absurdo para las potencias pares, obtengo: **************************************, pero eso no implica que los términos de la izquierda de la igualdad puedan no ser enteros y sumar 2^4. ¿O sí?

    • Claro, pero supongo que impones como premisa que A, B, C, D son naturales, porque si no no tendría sentido hablar de cuadrados perfectos y 2^4 no tendría una suma única… no sé necesitaría más información, pero creo que está bien.

  32. Maureen

    Bueno, han puesto una nota en El País diciendo que el 0 no vale…

  33. pipin

    Buenos días, ¿pero hay más soluciones aparte de la trivial?, cireto que lo pergunté hace un par de días y no ha contestado nadie.

    Saludos.

    • Es que no estoy muy seguro de saber a qué llamas la solución trivial.

      • pipin

        La verdad es que para mí es trivial y también única, la que se obtiene *************************.

        Gracias y saludos,

        • Hombre es cierto que es fácil, pero llamarla “trivial” creo que es un poco demasiado. En fin, esa solución es válida, pero no en todos los casos.

          • pipin

            Bueno es que nada más publicarse el reto, a los pocos minutos, ya se comentaba sobre una solución, digamos que “directa”, por eso la llamo de esa forma algo despectiva. Ah!, y llevas razón en que solo es válida en algunos casos.

            Pero mi cuestión es si ésa es la única solución o hay alguna más; es para saber por que lado buscar, o intentar demostrar por enésima vez que no hay otras.

            Saludos, gracias de nuevo, y quedo a la espera de contestación.

  34. Si leeis un poco mas abajo en la información detallada pone:

    NOTA IMPORTANTE: Lo que se pide no es encontrar una manera de escribir los números dados como suma de cuatro cuadrados, sino señalar de cuántas maneras distintas pueden escribirse y describir el razonamiento que se ha seguido para llegar a la solución. Recordamos que el 0 no se considera un cuadrado perfecto

  35. Félix

    Yo intento primero demostrar que es única, si existe, y después encuentro la solución.
    Para demostrar que es única parto de que los cuatro cuadrados serán todos de números pares, todos de números impares o dos y dos.
    Cualquier cuadrado de un número par es igual a 2^i+2^j+2^k+….(sucesión de potencias de dos).
    Cualquier cuadrado de un número impar es igual a 2^i+2^j+2^k+….+1(sucesión de potencias de dos + 1).
    Por otra parte, para descomponer 2^n en cuatro cuadrados, como estos siempre se descomponen en sumas de potencias de 2 (en el caso de ser impares tendremos el cuadrado de 2 números impares o de 4 números impares) la única solución es que estos cuatro números sean los mismos.
    Con esta premisa encontrar la única solución en el caso de 2^2012 es fácil, así como el hecho de que 2^2011 no tiene solución.
    No sé si la solución es correcta, pero como en El País no te contestan me gustaría saber si el razonamiento es correcto.

  36. Pedro Correa

    Santi, te he enviado mi solución por correo. Me imagino que es la solución a la que habéis llegado casi todos los que no habéis usado a Jacobi, ¿no?

    Es que entre tanta pista, empiezo a dudar…

  37. Roberto

    Hola a todos. Hasta que he leído vuestros comentarios creía que lo tenía, de hecho ya lo había redactado y estaba a punto de enviarlo. Después de un breve desconcierto inicial me parece que mediante inducción, es uno de los desafíos más fáciles de resolver (sobre todo después de la aclaración con el cero).

    No obstante os leo y pienso que o bien os estáis complicando demasiado la vida o bien yo la he cagado…. aunque por más que reviso la demostración no encuentro el posible error. Mi solución ******************************.
    Un saludo

  38. Anónimo

    Pues creo que, por primera vez en todos los desafíos, por primera vez en 19 semanas, voy a quedarme sin enviar la solución… soy incapaz de dar con el “click”.

    Me es fácil encontar (basta con examinar las posibilidades para 2^1, 2^2, 2^3, 2^4… las primeras potencias de dos, y generalizando para potencias pares e impares) lo que debería salir para 2^2011 y 2^2012, pero me es imposible demostrar de forma rigurosa esa “intuición”, es decir, soy incapaz de demostrar que esos resultados que se intuyen al generalizar son únicos.
    He probado inducción, reducción al absurdo, he manipualdo de mil formas el a^2 + b^2 + c^2 + d^2 para intentar simplificarlo, hasta he tenido un momento en el que he intentado usar logaritmos… pero nada. Siempre encuentro fallos y puntos no cerrados en mis razonamientos, siempre se que me queda un resquicio abierto.

    Por ejemplo, lo más cerca a una solución que he estado fue con algo parecido a lo de Ave (aunque en los comentarios sale censurado, en el mail que me envía wordpress automáticamente con los nuevos comentarios su demostración se veía entera), Santi, tú le dices que te parece una solución correcta pero a mí me parece que tiene un “agujero”: aunque al dejar en el lado derecho 2^4 te asegures que que los únicos sumandos enteros que lo cumplen son 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2, y que por lo tanto la única opción entera para cada uno de los factores del otro lado sea 2… también podría ser que hubiera sumandos no enteros que cumplieran la igualdad para 2^4… pero que a,b,c,d siguieran siendo enteros, no sé si me explico…

    En fin, que lo veo imposible.

    ¿Alguna sugerencia para un desesperado? :-)

  39. jabon

    He vuelto por aquí. Me quedé el viernes con una solución y razonamientos, prácticamente basados en la
    observación y la lógica, pero no he avanzado más.
    A ver si puedo dar con esa respuesta elegante y sencilla que comentáis.

  40. Maito

    Hola, como decís es fácil encontrar las soluciones y el problema es probarlas. Yo lo he justificado por Jacobi, como apunta Rogelio, pero supongo que habrá algo más sencillo que se me escapa.

  41. Joel

    Me pareció más fácil utilizando el teorema de Jacobi. De acuerdo a eso, para los números dados hay 24 posibilidades, pero considerando los ceros y -2 como base. Luego se descartan los repetidos y quedan las posibles respuestas para cada uno de los números. Por cierto, como se sube un archivo?

    • Jesus

      Con el teorema de San Cordin Bleu (sic) se puede llegar a la solucion como apunte el viernes pasado (quitandose las no validas, claro), pero creo que la esperada por el pais es la otra por induccion+reduccion al absurdo que empezo a apuntar Roberto (a la que, despues de tal cantidad de pistas, ha resultado mas o menos facil llegar). Aun asi, el bueno de Jacobi te da una confianza total en que no te has colado quedandote como solucion con tan poca cosa (lo que es realmente util)

  42. Ave

    Estoy de acuerdo con Roberto, Santi y otros; lo que mejor funciona es la inducción. Yo creo que lo que ocurre es que estamos mentalmente (algunos, no todos como se ha visto) más acostumbrados a utilizar la inducción para la demostración de una propiedad o solución en n+1 (o en n+2;-) supuesta existente en n, y no tanto a inducir, de idéntica manera, la inexistencia de la propiedad o solución. Aunque frustra un poco no encontrar el mejor camino a la primera cuando se conoce la sencillez de la solución, a mí este desafío me ha parecido más propio que el anterior. Saludos a todos y suerte para el sorteo.
    Por otro lado, imagino que en agosto no suspenderán los desafíos, ¿no?

  43. Josep

    Ahí va mi solución. Agradecería tu opinión:
    Generalizando la solución, demostraremos que para las potencias pares de 2 sólo existe una forma de expresarlas como suma de cuatro cuadrados y para las potencias impares, no existe ninguna.

    Para las potencias pares de 2 se pide obtener los distintos juegos de valores a, b, c y d que satisfagan la siguiente expresión:

    2^(2n)=a^2 + b^2 + c^2 + d^2

    Dejando 2^2 a un lado de la ecuación, tendremos:

    2^2=[a/2^(n-1)]^2 + [b/2^(n-1)]^2 + [c/2^(n-1)]^2 + [d/2^(n-1)]^2

    El cuadrado de 2 solo tiene una descomposición en suma de cuatro cuadrados: 1^2+1^2+1^2+1^2, y además es la única descomponsición en suma de cuatro naturales. Como a, b, c y d tienen que ser naturales, la única solución se da para:

    a=b=c=d=2^(n-1)

    Para las potencias impares de 2 la expresión será:

    2^(2n+1)=a^2 + b^2 + c^2 + d^2

    Dejando 2 a un lado de la ecuación, tendremos que:

    2=[a/2^n)]^2 + [b/2^n]^2 + [c/2^n]^2 + [d/2^n]^2

    Como la única descomposición en suma de cuadrados naturales de 2 es 1^2+1^2, no existirá una solución para a, b, c y d distinta de cero para todos ellos.

    Las soluciones por tanto para las potencias del problema serán:

    Para 2^2012, a=b=c=d=2^1005

    mientras que 2^2011 no se puede expresar como suma de cuatro cuadrados naturales.

  44. Día de Santiago -> día en familia.
    Disculpad por haber dejado desatendido el Blog, pero me ha sido imposible. A los que habéis mandado alguna solución, ahora no puedo analizarlas como se merecen, las dejo pendientes de publicación hasta que se cierre el plazo, que ya queda muy poco.
    Saludos a todos.

  45. Javier

    Interesantes estos enlaces:
    http://www.alpertron.com.ar/4CUADR.HTM

    http://www.alpertron.com.ar/SUMCUAD.HTM

    Del segundo enlace es de donde he sacado el valor de 2^2012.

  46. jesus2

    Hola a tod@s. Éste me ha costado un buen rato. Lo de Jacobi era una opción, elegante y concisa, pero he intentado probarlo de una forma más directa. Lo que he enviado se basa en que, si pones 8k como suma a^2+b^2+c^2+d^2, no nulos, se llega a la conclusión de que a,b,c,d tienen que ser todos pares (suponer uno, dos, tres o los cuatro impares da expresiones que no son múltiplos de 8; si a alguien le interesa puedo poner los detalles). Con esto, si 8k se puede poner como suma de 4 cuadrados, entonces 2k también, y además tendrán la misma “forma”. Por la negación de este enunciado, si 2k no puede expresarse como suma de 4 cuadrados no nulos (también de 2, nos interesa en la demostración), 8k tampoco podrá expresarse de esa forma. Por esto, comprobando las expresiones para las primeras potencias de 2, se deduce la unicidad de la suma de 4 cuadrados no nulos para las potencias pares y la inexistencia para las impares.

    Me gustaría conocer cómo lo habéis afrontado vosotros. Un saludo a tod@s.

  47. Josep

    La demostración es incorrecta ya que no basta con que a sea natural, tendría que demostrar que a/2^(n-1) es natural.
    Igualmente para b, c y d.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s