Archivo mensual: diciembre 2011

Desafío 40+2: La Bomba


Como anuncié en su día, no leo los desafíos que me llegan al mail antes de publicarlos (en la mesa y en el juego… (o eso intento)), así que esta semana ha habido un error; lo que yo creía que era un desafío de Christian Chaya, en realidad era su propuesta (ya publicada) para el funcionamiento de las llamadas “secuelas”. Así que había anunciado su desafío y no era tal. Por lo tanto el turno corre al siguiente: FRANCISCO GALLEGO, que nos propone este desafío:

Tenemos que explotar 84 bombas que funcionan con un interruptor (1- encendido y 0-apagado)  12 de las cuales tienen un defecto que consiste en que  están encendidas en posición 0 y apagadas en posición 1.

Las bombas defectuosas son indistinguibles de las que están en buen estado, esto es no es posible saber si una bomba es defectuosa ó no antes de que explote.

Podemos realizar las explosiones que queramos, sabiendo que en cada una, solo explotarán las bombas encendidas (posición 1, para las que estén en buen estado, ó  posición 0 para las bombas defectuosas)

En cada explosión todas las bombas deben repartirse entre  dos lugares diferentes(A y B), en grupos no necesariamente iguales, cada una con el interruptor en la posición que queramos.

 

 El desafío es encontrar una estrategia  de colocación de las bombas, usando inteligentemente la posición de sus interruptores, para llevar a cabo la explosión de todas las bombas, cumpliendo que en cada explosión el número de bombas que exploten en cada lugar sea el mismo,(el número de bombas que explote en A debe ser igual al número de bombas que explote en B).

La solución el día D a la hora H.

(D–>Miércoles, por aquello del fin de año…)

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DESAFÍO 40+1: SOLUCIÓN


(Escribe Rogelio:)
Antes de nada, muchas gracias a todos, empezando por Santi, por vuestro interes, esfuerzo y por comentar o mandar una solucion (o correccion!). De hecho voy a usar vuestras soluciones para ahorrarme un poco de curro. Han mandado codigos Python y Excel para quien los quiera!. Todas las soluciones estan basicamente bien, la diferencia esta en los detalles.
(Ah, mi teclado no tiene enyes ni acentos)
He recibido unas 9 respuestas, 2 de ellas corrigiendome el enunciado inicial (muchas gracias a Pardillano y Jesus). De las 7 restantes 4 o 5 estan perfectas y a 2 se les pasa aclarar que pasa con algun tipo de segmentos. Hay 2 tipos de soluciones:
1. Usando simetrias
2. Contando segmentos
Lo mas facil, visual y elegante es usando simetrias.  Las soluciones de Maito (su solucion 1) y Miquel son muy buenos ejemplos. JCMM tambien recurre a las simetrias sin esquemas. Las simetrias horizontal y vertical se usan siempre sin problema. Se puede recurrir a las simetrias respecto a las diagonales o no, pero al hacerlo no hay que olvidarse que tanto los segmentos superpuestos a las diagonales como los que las cortan perpendicularmente son la imagen de ellos mismos. Hay que emparejarlos o contarlos y ver que son multiplos de 8 (ver solucion de Miquel). Jabon, tu solucion fue la mas corta pero se te paso contar los segmentos perpendicularres a las diagonales.  De todas estas destaco las de Maito y Miquel por sus ilustraciones (las de Miquel muy navidenyas).
Un poco mas tecnico es recurrir a contar segmentos, ver las soluciones impecables de Javier D y Pedro Correa. JC tambien opto por este camino pero se olvido de las pendientes como x,y=(2,3) o (4,7), etc.
Nadie ha demostrado correctamente que pasa cuando N es impar (Javier D y Miquel lo intuyen sin demostrarlo). Veamos que el unico N impar con segmentos multiplos de 8 es N=3.
Prosigamos con el razonamiento de Javier D (ver pdf: SOLUCIÓN AL 40+1 DESAFÍO).
x,y (lo que el llama f,c) han de ser primos relativos. Esto se cumple si y solo si existen
dos numeros enteros a,b, tal que:
ax+by=1
Para todo par de primos relativos x,y tal que y>2, y>x, existe otro par de primos relativos
dado por: y-x, y
facilmente demostrable pues:
-a(y-x)+(b+a)y = ax+by= 1
Esta propiedad es como otra simetria mas del problema. Por ejemplo para el caso de la diagonal larga
(x,y)=(1,3) su simetrica “primo relativo” es (2,3). Tambien hay un caso que es su propia imagen en
esta simetria, este es (1,2).
Asi pues a partir de y=3 los primos relativos vienen siempre de 8 en 8.
Usando esta propiedad el numero de segmentos para N>4 se puede reescribir como:
(pulsar en la ecuación si no se ve completa)
donde el primer sumando comprende los pares (1,0), (0,1), (1,1) y (-1,1) y es multiplo de 8 siempre.
El segundo sumando comprende (2,1), (-2,1), (1,2) y (-1,2) y solo es multiplo de 8 para N par.
Por ultimo, el sumatorio comprende todos los casos con y>2. La funcion PR(x,y) es 1 si x,y
son primos relativos, en caso contrario PR(x,y) vale 0. Esta ultima contribucion es siempre multiplo de 8.
Aqui ya se puede concluir que solo existe un N impar con segmentos multiplos de 8, N=3
(otro enunciado interesante para el problema). Para simplificar la ecuacion y por cuestiones
didacticas se puede reemplazar el sumatorio sobre x por la funcion indicatriz de Euler (o phi), que nos da el numero de primos relativos  x,y tal que x<y, asi quedaria:
(pulsar en la ecuación si no se ve completa)
La funcion indicatriz de Euler es par para todo y>2.
Todas las formas de calculo me han llevado a que para N=50 hay 476160 segmentos
(como decian alfalfa, Javier D, Miquel y creo que Pedro (no corri el Excel)).
Tal y como decia alfalfa, en esta ecuacion se ve que cuando N es par y no es multiplo de 4 (por lo que
N-2 si es multiplo de 4) todos los terminos son multiplos de 16 (pues 4*(N-2) es multiplo de 16 y 8*(N-2y) con N par tambien es multiplo de 16). Este es otro enunciado interesante para el problema.
Me han gustado mucho todas las soluciones, como son pocas podeis echarles un ojo y elegir vosotros la mejor. Creo que la de Maito es particularmente clara, la de Miquel navidenya y las de Javier D y Pedro rigurosas y tecnicas. Por supuesto esto es solo mi opinion personal, y vosotros que pensais?
Ha sido todo un placer estar a este lado pero sera un descanso volver al lado de los “desafiados”!
Hasta el proximo.
Demostración desafío 40+1 maito
Gráfico-demostración Miquel Garriga:

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Fotomontaje de Nicolau Borja


Mi colega Nicolau Borja nos envía este montaje con los 40 desafíos. Por sí solo ya está muy bien, pero en realidad sólo es el fondo de un archivo flash impresionante, que diseñó para cifrar/descifrar códigos en el D-40. Desafortunadamente wordpress tiene sus limitaciones y ese no puedo ponerlo aquí, aunque si a Nicolau no le importa, se lo puedo mandar por correo a quien quiera echarle un vistazo.

PULSAR PARA AGRANDAR

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Desafío 40+1: Segmentos en red que son múltiplos de 8


Rogelio Tomás nos presenta su desafío matemático, SEGMENTOS EN RED QUE SON MÚLTIPLOS DE OCHO:
Tenemos una red de puntos distribuidos en los
vertices de una cuadricula en un plano. Estos
forman un cuadrado con N puntos en cada lado (ver figura para N=6).
Para N=3 vemos que existen 8 segmentos de linea
recta que contienen y quedan delimitados por 3 puntos de la red (los
segmentos corresponden a los 4 lados, las 2 diagonales y
las 2 que dividen al cuadrado en 2 rectangulos iguales).
El problema consiste en demostrar que para cualquier
N>2, con N par, el numero de diferentes segmentos de linea recta que
contienen y quedan delimitados por 3 puntos de la red es multiplo de 8.
El lunes por la noche, la solución.
Aviso: el próximo desafío, por orden de llegada, será el de Pardillano.

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LOTERÍA NACIONAL


Me han llamado de El País para comentar con ellos el sorteo de hoy… ¡a ver si se me ocurre algo interesante que decir!

 

 

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Solución Desafío 40º – ¡Hasta siempre!


De nuevo muchas gracias a El País, tanto por esta iniciativa tan bonita, como por supuesto por volver a mencionarme e incluso poner un enlace a mi Blog. Increíble. Acceder desde AQUÍ.

La clave para descifrar el mensaje es pensar cómo podemos llegar a 9 símbolos (los números del 1 al 9) a partir de algo que utiliza los símbolos 0, 1 y 2, resultado de escribir en base 3. Resulta que si, en lugar de números de 3 cifras en base 3, consideramos números de 2 cifras en base 3, obtenemos los números del 0(=00 en base 3) al 8(=22 en base3). Esto no es exactamente lo que tenemos, pero casi: habría que sumar 1 para tener los números del 1 al 9.

Así, podíamos deducir que quizás lo que se haya hecho es agrupar las cifras en base 3 de dos en dos, escribir el correspondiente número en base 10 y sumar 1. Un paso previo a descifrar el mensaje podía ser comprobar si esto funciona en los ejemplos que se daban. Observemos que en el caso de PEDRO para agrupar de dos en dos nos falta una cifra, y añadimos un 0 al final (esta es la pequeña diferencia técnica entre número par o impar de letras).

Ejemplo 1: HOLA -> 7,15,11,0 -> 021120102000 -> 02 11 20 10 20 00 -> 246360 -> 357471

Ejemplo 2: PEDRO -> 16,4,3,18,15 -> 121011010200120 -> 12 10 11 01 02 00 12 00 -> 53412050 -> 64523161

¡Efectivamente funciona! Esto podría ser casualidad, pero no es probable, así que vamos a aplicarlo a nuestro desafío a ver qué obtenemos (no escribiremos explícitamente el paso de restar una unidad ni el de volver a agrupar los dígitos en base 3 que estaban separados de 2 en 2). Así:

4 7 1 7 5 4 1 3 3 2 5 4 1 3 3 3 7 3 1 3 2 2 6 2 7 7 1 5 4 1 7 9 4 1 2 3 7 1 5 2 1 5 2 2 7 7 1 -> 10 20 00 20 11 10 00 02 02 01 11 10 00 02 02 02 20 02 00 02 01 01 12 01 20 20 00 11 10 00 20 22 10 00 01 02 20 00 11 01 00 11 01 01 20 20 0 -> 11, 0, 19, 12, 0, 20, 4, 12, 0, 20, 8, 2, 0, 19, 4, 19, 20, 0, 13, 0, 20, 21, 0, 11, 18, 4, 3, 4, 3, 15, 18 -> LASMATEMATICASESTANATUALREDEDOR

(…)

El ganador de la última biblioteca matemática como la que ha venido entregando cada semana EL PAÍS ha sido Francisco López Hernández, de Las Rozas (Madrid). En enero se entregará la colección a los 40 premiados en el sorteo de cada desafío.

Nos despedimos pues con nuestra enhorabuena a los ganadores y a todos los que habéis resuelto los retos que se planteaban; también a quienes, no dando con la respuesta, os esforzasteis en hallarla y nos acompañasteis en esta aventura. Nos sumamos a los agradecimientos expresados por Adolfo Quirós en los últimos vídeos y a su vez le expresamos a él nuestra gratitud, que hacemos extensiva a la Real Sociedad Española Matemática y a los coordinadores de cada desafío en las diferentes ciudades. También a todos aquellos que permitieron la grabación de los retos, desde los presentadores hasta quienes ayudaron desinteresadamente en la parte técnica cuando la logística nos dificultaba llegar a todas partes. A los blogs Gaussianos y Santiprofemates por contribuir a darle difusión a la iniciativa. Y, por supuesto, a vosotros, los lectores, sin los que todo el trabajo de los últimas 40 semanas no hubiera tenido sentido.

A todos… ¡hasta siempre!

SOLUCIONES RECIBIDAS ESTA SEMANA:

Muchas gracias a todos los que han enviado su solución alguna vez, a José Luis Miota -Maito- por su constancia y esta semana a Paco Gallego por su encriptador, me ha ayudado mucho a traducir.

HOJAS DE CÁLCULO:

d_40 ENCRIPTADOR MATEMATICO Paco Gallego
Desa 40 JESÚS CAMPOS

SOLUCIONES EN TEXTO:

desafío 40 Un mensaje cifrado de despedida.Maito
D_40_Bruno Salgueiro
Desafio 40 JESÚS CAMPOS solucion alternativa

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D-40º: Un mensaje cifrado de despedida


Jamás soñé con que este humilde Blog llegase a ser mencionado en El País, ¡no me lo puedo creer! a propósito de esto, lo que tengo que decir con total claridad es lo siguiente:

11462328751947771117913265772312425517962526278794648777
1544614257717823487

Queremos transmitir un mensaje secreto. Para eso vamos a transformar un texto, que está escrito en el alfabeto castellano de 27 letras, de la A a la Z (incluyendo Ñ y W), en otro texto que se escribe usando solo 9 símbolos: los números del 1 al 9. Veamos como lo hacemos y lo ilustraremos con dos ejemplos.

Primero numeramos las letras por orden del 0 al 26, A=0, B=1, C=2, D=3,…, N=13, Ñ=14,…, W=23, X=24, Y=25, Z=26. Por ejemplo:

HOLA-> 7,15,11,0

PEDRO->16,4,3,18,15

A continuación escribimos cada uno de esos números como un número de tres cifras en base 3. Recordemos lo que esto quiere decir: Los números los escribimos normalmente en base 10, usando unidades (1=10^0), decenas (10=10^1), centenas (100=10^2), etc. Así, 3418 representa el número 3×10^3+4×10^2+1×10+8. Para escribir en base 3 usamos potencias de 3, y sólo necesitamos las cifras 0, 1 y 2. Por ejemplo, la expresión 212 en base 3 representa la cantidad 2×3^3+1×3+2, que en base 10 se escribiría como 23.

Nuestras letras quedarán entonces representadas por A=000, B=001, C=002, D=010, …, N=111, Ñ= 112,…, W=212, X=220, Y=221, Z=222. Siguiendo con nuestros ejemplos:

HOLA-> 7,15,11,0 -> 021120102000

PEDRO->16,4,3,18,15 -> 121011010200120

Obsérvese que hemos escrito 3 cifras por cada número (no hemos quitado los ceros a la izquierda) y, también, que hemos escrito todos los números seguidos, sin las comas que los separaban antes. Ahora viene la parte secreta. Haciendo algo que no os vamos a decir, porque descubrirlo es precisamente el desafío, transformamos finalmente nuestros textos en otros escritos usando sólo los números del 1 al 9. En los ejemplos:

HOLA-> 7,15,11,0 -> 021120102000 -> 357471

PEDRO->16,4,3,18,15 -> 121011010200120 -> 64523161

El desafío consiste en leer el siguiente mensaje, que ha sido cifrado usando el procedimiento que hemos descrito, incluida la parte secreta:

47175413325413337313226277154179412371521522771

Algunas observaciones importantes. En el texto original no se utilizan signos de puntuación, acentos, ni siquiera los espacios entre palabras, que serían otro símbolo. Una buena idea es ir probando los procedimientos que se os ocurran en los dos ejemplos. Estrictamente hablando, el procedimiento es ligeramente distinto si el texto original tiene un número par o impar de letras, pero la diferencia no influye en nada en cómo leer los mensajes, es una cuestión puramente técnica que resultará evidente a posteriori. Se considerará válida cualquier solución que haya sido capaz de descifrar el código y dé el mensaje correcto, pero, como siempre, nos gustaría saber cómo habéis llegado a ella.

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