Archivo mensual: abril 2011

J.S. Bach – Segundo movimiento de la Suite BWV 1068


Esta canción es algo así como el David de Miguel Ángel, uno se pregunta si existe la posibilidad de que alguien llegue a hacer algo más bello.

Curiosamente los Procol Harum se inspiraron en este aria para componer su fantástico A Whiter Shade Of Pale (ver), que ya puse en este Blog hace no mucho.

(Dankeschön…)

G. Braque - Hommage à J.S. Bach

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7º Desafío Matemático de El País: Un piano gigantesco


Ya está publicado el 7º Desafío Matemático de El País: Un piano gigantesco.

Esto es lo que se publica:

José Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza, presenta el séptimo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse aproblemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 2 de mayo (00.00 horas del martes). Entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que ofrece cada semana EL PAÍS. Este domingo, por 9,95 euros con el periódico en el quiosco, La cuarta dimensión, de Raúl Ibáñez.

Nota importante: Para evitar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado del problema por escrito.

Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?

Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.

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Solución de El País al 6º Desafío Matemático


Aquí está la solución de El País. Ninguna sorpresa esta semana, bueno una, sólo el 25% de las respuestas enviadas han sido correctas… parece entonces que no era tan fácil ¿no?

Acceder desde aquí.

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UNA CUESTIÓN DE SOMBREROS; Mi solución.


Con la siguiente estrategia se salvarán, al menos, 29 de los 30 reclusos:
El último de la fila hace un recuento de los colores de los sombreros que tiene en frente. Como en total son 29, necesariamente uno de los dos colores será par y otro impar. Elige el color de los pares (evidentemente se puede plantear una estrategia análoga razonando sobre los impares).

Egon Schiele - Mujer con sombrero negro

El penúltimo recluso  hace entonces el recuento de los 28 sombreros desde su punto de vista, teniendo en cuenta que entre lo que él ve y lo que vio el anterior, la única diferencia es su sombrero, debe dar una respuesta compatible. Por ejemplo: supongamos que el último dijo: “negro” (negro par) y el segundo cuenta 16 blancos y 12 negros. Su sombrero ha de ser blanco, ya que de ser negro el último habría visto 16B y 13N y habría dicho: “blanco”.

Pierre Auguste Renoir - Muchacha con sombrero blanco

El tercero en elegir verá 27 y hará su recuento, él ya sabe el color del sombrero del anterior, así que se lo suma a su recuento, de forma que el resultado obtenido sólo difiere de lo que vio el último de la fila en su propio sombrero, y como además sabe cuál era el color par desde ese punto de vista, el color de su sombrero deberá ser coherente con esa paridad.
Por ejemplo: El último dice: “blanco” (blancos pares) y el penúltimo dice “negro”. El tercero en elegir cuenta los 27 de delante y observa 8 blancos y 19 negros. Suma el negro del penúltimo y resultan 8B Y 20N; como de los 29 que veía el último sólo desconoce el suyo propio y los blancos eran pares, su sombrero necesariamente debe ser negro para no deshacer la paridad.
A partir de ahí todos los casos son análogos; el recluso que elige en la n-ésima posición hace el recuento de los (30-n) que hay delante, suma a su recuento los colores de los (n-2) inmediatamente anteriores a él y elige el color que no rompa la paridad que declaró el último de la fila.
CONCLUSIÓN: Los 29 de delante le deben la vida al último, que se la juega a cara o cruz, ya que a él sólo puede salvarlo el azar.

NOTA: Esta estrategia es válida para cualquier cantidad PAR de reclusos. Si fuesen impares bastaría con que el último declarase el color del penúltimo, así este ya podría echar sus cuentas…

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La primavera – VIVALDI


Muy elemental, muy básico, pero igualmente delicioso.

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6º Desafío Matemático de El País: Una cuestión de sombreros


Aquí está el sexto Desafío Matemático de El País; Una cuestión de sombreros.

Para acceder, pulsar AQUÍ.

Esto es el texto que se publica:

Javier Lázaro, estudiante de 4º de Matemáticas en la Universidad de Zaragoza, presenta el sexto desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes (00.00 horas del martes). Entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que ofrece cada semana EL PAÍS. Este domingo, por 9,95 euros con el periódico en el quiosco, Los secretos del número Pi, de Joaquín Navarro.

Nota importante: Para aclarar todas las dudas sobre el problema y en atención a nuestros lectores sordos incluimos también el enunciado del problema por escrito. Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13…). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.

Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?

Atención: Para aclarar algunas dudas que han surgido ya entre los lectores. Los prisioneros no pueden hacer señas, ni tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz… deben contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.

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Solución al 5º Desafío Matemático de El País


Ya está aquí  la solución al quinto enigma de El País.

Para los que les gusten los juegos de estrategia, recomiendo esta página:

En ella hay una gran variedad de juegos de estrategia, entre ellos los dos de esta semana de El País. Acceder pulsando aquí.

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